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物理评论E

三阶非线性薛定谔方程的静态解的稳定性：

应用于玻色 - 爱因斯坦凝聚

L. D. Carr,1,* J. N. Kutz,2 and W. P. Reinhardt1,3

西雅图华盛顿大学物理系华盛顿州98195-1560

西雅图华盛顿大学数学系华盛顿州98195-2420

西雅图华盛顿大学化学系华盛顿州98195-1700

（初稿2000年 7月6日;修改稿2000年12月11日; 2001年5月18日出版）

三阶非线性薛定谔方程是准一维的平均场理论，这种模型稀释玻色 - 爱因斯坦凝聚气体。这个方程的固定解可以表征为孤子波。它表明，对于初始扰动，一列传播的非线性孤子波是稳定的，而对于有互相影响的非线性其行为取决于个体孤子之间在波上的间距。环形和谐波限制，都被认为是对玻色 - 爱因斯坦凝聚实验有意义的。

1. 前言

一维非线性薛定谔方程（NLS）是普遍的，在其他自然现象中，它的模型是在准一维中稀释玻色—爱因斯坦凝聚态气体(BEC)，在光纤中的光脉冲，玻色 - 光子凝聚一个螺旋激励的激励和自旋波磁性材料。本文应用NLS 到BEC是强调，提出当前和BEC的研究不同拓扑的陷阱，在环上周期解的稳定性和监禁在一个潜在的谐波都是感兴趣的问题。

在最近的一次对文章的全套固定NLS的周期解提出了一种环在封闭的解析形式。结果表明,这些状态特征为孤子波。本文扩展了数值研究这些静止的状态应对随机扰动的初始条件的稳定性，它证明排斥非线性孤子波是稳定的，而互相影响的非线性行为取决于个体之间孤子波的传播。认为这些稳定的物质可以被解释的单孤子的稳定性和s孤子和孤子间的动态交互。

一维立方NLS,这些孤子波的全部静止的状态，准一维限制的三维平均场理论,描述了稀薄气体“玻色 - 爱因斯坦”冷凝物动力学。准一维下拥有当冷凝的横向维度的恢复长度和纵向维度远远超过其横向的，如果冷凝的横向尺寸远小于治疗长度的三维平均场理论不再适用，其他物理模型则是必需的。

对互相影响的非线性，在当前的BEC孤子波静止的状态有直接应用实验。类似孤子结构在三维空间中已经可以被创建和观察到。BEC在一个蓝失谐的空心激光束的捕获在表明准一维BEC可以创建和一种工程暗孤子的方法最近被提出。这些技术的结合可以用来创建孤子波。使孤子在一维下能被直接观测到的关键是使用一个盒式，而非谐波，横向的潜力,在参考下的详细解释。参考的潜在准一维实验有这个能力，备用准一维下的定义,针对谐波横向约束,是先进的。我们在这里不考虑这些。

量子涨落影响BEC的程度仍然是一个杰出的理论问题，平均场理论迄今已被证明是一个优秀的模型。然而，实际的BEC的程度将支持高激发态的领域是未知的。在这个意义上可能已经观察到的量子涨落的影响孤子波。最近的研究发展将进一步允许实验超越稀释的近似,低温度和平均场模型中固有维数。孤子波在研究这些重要方面可能是有用的BEC。

对于互相影响非线性,BEC已经在三维陷阱中进行实验室研究。虽然在三维空间吸引力的BEC崩溃，在准一维中，它被预测是稳定的，许多作家已经探索基于维度和初始状态的稳定方案。这里给出的结果表明最优密度和阶段配置文件获取一个稳定的，准一维互相影响的BEC。这些标准也同样适用于在许多物理情况下波现象,例如环激光。

本文概述如下，在第二节,对稳定NLS的全部周期解进行了综述。在第三节，这些解决方案的稳定性初始随机扰动的数值研究和互相影响的非线性。在第节，研究扩展到谐波限制的情况下,近似解在静止的状态下表现出的性质。最后在第五节，给出了结论。

图1

图1：显示在一个维度下五个周期固定解。（a）振幅解；（b）振幅和相位的非线性本质上复杂的解；（c）振幅dn型和cn型解；（d）振幅和相位互相影响的非线性本质上复杂的解。

二、波的周期解

在一维下，NLS有一些数学中描述的特殊属性。它是可积的,可能完全解决逆散射变换，和有一个可数无限数量的守恒量。我们已经利用其特殊性质找到固定的解。周期性的静止的状态的完整的一维下 NLS的环周长L。

与NLS的无限域不同,有限域认为这里需要使用一个额外的参数,但保留可积性。立方NLS的另外一个比例因子,具有非线性的强度，可被写为：

(1a)

或

（1b）

方程的两种形式。（1）有两种不同的物理量，eta;正比于凝聚原子的数目N和原子之间的横波散射长度，在第二个中，xi;是长度，这使冷凝物波函数的长度变化的规模。和这两种形式是相等的。 代表无关或者有关双体原子相互作用,，x和t分别代表空间和时间。

假设波函数的形式导出稳定NLS：

其中mu;的特征值对应的化学势BEC，方程的所有稳定解。（2）可能被写成雅可比椭圆函数。这样对函数的性质进行了综述。这就有五个非正常尺寸的，对称破缺，周期性的解上的静止的NLS圆弧。他们见图1。所有5个解类型归因于解决方程2 !标准化和边界条件,并在参考文献中详细描述。真正的静止的状态一一对应的线性量子力学环上的粒子问题：

（3）

和

（4）

分别为排斥力和吸引力非线性。符合他们的函数形式，它们应该被设计为dn-类型和cn-类型。对于j=2的情况，方程3如图一（a）所示，方程4如图一（c）所示。A是振幅，j={2,4,6hellip;}是节点的数量，K（m）是完整的雅可比椭圆积分,这些函数的四个范围,，delta;任意平移偏移，其导致在一个维度Kosterlitz-Thouless型熵，L是该环的圆周，和0 lt; m lt; 1是雅可比椭圆参数。一般符号sn雅可比椭圆函数(uum)标准。

雅可比椭圆参数m决定非线性的强度eta;，正如m→0 ，eta;le;1，sn→sin，cn→cos。

这是线性的，正弦的限制，其再现从线性量子力学中粒子上一个环固定的解，m→1^-，eta;ge;1，sn→tanh，cn→cos。这些都是黑暗和明亮孤子，分别为以NLS上的无限线静止的解，这表明这些静止的解和孤子之间的联系。在环上的第J个固定解是2J个孤子波。

除了上述两种解决方案有三种无节点，对称破列解类型没有类似在上一个环问题上的量子机械学。首先，具有吸引力的非线性的解，是：

（5）

jisin;{1,2,3hellip;}。它被描述为dn型，它的一个例子如图1（c）所示，另外两个是内在复杂类型。F(x)equiv;r(x)exp[phi;(x)]和对排斥的非线性，

（6）

而对于有吸引力的非线性

（7）

其中，在两种情况下，相位必须通过从方程数值积分中找到

（8）

J=1和j=3的相位和振幅如图1（b）和（的）所示，在排斥的情况下，A²gamma;密度极小的常数背景下的深度。当gamma;=1，方程（3）恢复，在有吸引力的情况下，方程（4）和（5）gamma;是在cn型和dn型内置的，在0le;gamma;le;1时，alpha;是积分常数，jisin;{1,1,3hellip;}是分别最小密度和最大密度，每个静止状态都有复共轭,。对于斥力非线性本质复杂的解决方案将被解释为密度型缺口孤子速度c中的环上的移动与速度2c中，这导致在实验室静止状态。密度型缺口孤子有从巴格寥夫声何零之间的速度，分别从最大到零深度。那些没有的最大深度被称为灰孤子，而那些最大深度，因此形成了被称为暗孤子节点。图1（b）显示了有界,量子化的一个固定环灰孤子。

所有有吸引力的对称性破缺,纵向周期，稳定的类型，cn型和dn型表示在图1（b）中，本质复杂的在图1（d）表示，被描述为Cj点对称群，j是峰值。J还有近似的退化解，j至少有一对真的dn-cn解，j=（-2/2）是一对退化本质复杂的解。J是奇数时有真的dn类型解，（j-1）/2一对退化本质复杂的解，因此通过群理论这三个解类型形成周期性的全套静止的状态由均匀间隔的波峰。

无节点的解需要一个最小的存在eta;。基于这一约束,孤子的有效排斥或有吸引力的非线性相互作用长度是2pi;xi;或2pi;xi;。我们将选择xi;=1，因为一个有限区间上重要的数量xi;/L，所以让环的长度确定非线性的强度。三个数量的范围，定义如下：jxi;/Lle;1，是较好的范围，jxi;/L~1，是相邻的范围，jxi;/L~1ge;1，是重叠的范围。这三个有吸引力的非线性机制尤为重要，将在第三节第二部分讲到。

三、动态下的初始随机扰动

应用的BEC孤子稳定的最近的理论研究主要集中在无界或谐波限制单个暗孤。这些研究考虑线性周围的NLS解的巴格寥夫 - 德热纳的方法，并预言，一个暗孤子加速以扩散的方式，类似于戈登 - 豪斯抖动，基本上是由反射声子，这是巴格寥夫准粒子的限制激励。鲁普雷希特等认为，当NLS是谐波驱动巴格寥夫激励对应于波函数的线性响应的共振。在同一篇文章中结果表明,非线性响应也是非常重要的,例如大的振幅函数的创建。

我们的方法是考虑完整的反应,即线性和非线性孤子初始随机扰动波静止的状态。排斥力和吸引力的非线性的情况下处理。这形成用于稳定性研究的参考，并在排斥力的情况下，回答是否孤子波可以作为初始状态进行实验产生的问题，以及他们是否仍然存在的NLS的范围内。随机噪声可以代表任何缺陷在创建过程中,例如,在捕获的潜力。它匹配非线性光学范围内开展单亮区和暗孤子的广泛稳定性研究的进一步优势。孤子波静止状态是否与热波动巴格寥夫的形式相关联的有效期后续问题的准粒子或更高阶的量子效应正在其他地方研究。

具体来说,我们数值调查涉及的初始随机噪声的时间演化静止的状态呈现在第二节。所使用的算法使用四阶龙格 - 库塔在时间和空间中的滤波伪谱法来传播在感兴趣时空间隔的解。随机噪声通过加入到每个傅立叶模式的高斯分布的随机数均值为零，方差乘以强度系数包括在内。强度利用系数在以下部分中所示的数据通常是0.5除以傅里叶模式的数量。然而,广泛的强度系数进行了测试,结果不依赖于噪声的强度,提供它的振幅不相同的顺序的静止的状态。尽管一些解决方案说明在短时间尺度上出于演示的目的,所有模拟进行时间尺度比实验BEC的寿命更长。

图2：稳定性排斥非线性，环的周期解。（a）密度，（b）真正的阶段,sn-type与初始随机噪声解，（c）密度，（d）阶段的内在复杂的解。最低的解是为每个类型显示。短的时间尺度是用来照亮阶段，但同样的稳定性能容纳超过幅度较长时间的顺序。被绘制的相位模为2pi;。（e）激发态的内在复数解是稳定的由最初的随机噪声扰动，尽管缓慢漂移。（f）连续噪声积聚因为在NLS没有耗散项，但最多甚至高激发解表现出类似的单孤子的戈登 - 豪斯抖动扩散漂移。

A: 排斥非线性

为应对随机噪声密度缺口孤子波漂移，其它稳定。这可通过外推法由单一孤子的稳定性属性来理解。单密度缺口孤子辐射的发射和在速度和深度的变化，以随机扰动响应。速度和深度是单个参数的函数，有时也被称为孤子相位角。全面的分析必须不断的背景和密度缺口分开考虑。Kivshar和杨都用变分法完成了这项分析的无限长线单孤子。在图2(a)和2(b)由公式描述的SN型静止状态的演化随机初始噪声中方程3。这是环上最低等的状态。在一个较长的时间尺度有一些漂移。在这种情况下，两个密度槽口保持其间距和相位关系。在框中同一静止状态高于基态的第一激发。数值研究，虽然这里没有显示，表明中央的单密度缺口框边界之间随机漂移，直到接近之一，此时它改变方向突然。这可以通过解释在边界关闭波函数的下降沿作为固定孤子进行说明。其排斥中心密度缺口当它涉及的相互作用长度内pi;xi;。

图2（c）和 2（d）表示由方程（6）和（8）描述初始随机噪声中的内在复杂的静止状态的演化。这是在环上的最低对称性破状态。它由两部分组成的背景相位斜坡和密度缺口的，并且是相当稳定。因为相位量子数是保守的NLS，背景不能扰动到较低能量状态。灰密度缺口有扰动相同的响应为暗密度缺口。所以两个一起发出辐射，并在较长时间尺度上，随波逐流，否则保持不变。

在图2（e）高能状态的演化所示。这表明，对于斥力非线性，有在重叠，相邻的，或良好的分离机制孤子波静止状态的稳定性能没有区别，这一事实从单个孤子考虑不是显而易见的。在图2（f）连续的随机噪声增加。这个扰动方程，而不是初始解。因为是在NLS没有耗散项，噪声积聚以非常高的水平超过1000个时间单位。孤子火车呈现扩散漂移，类似一个暗孤子的戈登 - 豪斯抖动。最后，虽然这里没有显示，我们注意到，在10％的水平增加五次非线性有权对孤子波静止状态无破坏作用。

图3：亮孤子相互作用的依赖阶段。如图是碰撞亮孤子的密度时空投影。两个解之间的相位差是（a）0，（b）pi;/16，（c）pi;/8，（d）pi;/4，（e）pi;/2，（f）pi;。每种情况下的时间比例是50个时间单位和相互作用长度为2pi;，注意，该环的圆周比这里示出的长度规模大得多。

B：有吸引力的非线性

孤子波的研究从单一的孤子或两个孤子不同的相互作用，因为它不再足以考虑分离良好的极限。两个明亮的孤子之间的相互作用的精确公式也已经完全戈登得到。因为它是难以解释并不完全分离的解，他已经考虑了非重叠极限，并发现：

（9）

2q是两个分离的孤子，2psi;他们的相对相位。交互指数取决于分离和相对相位上呈现正弦。Desem和Chu使用这项工作评估交互最小化方案的光纤。我们发现，关键是理解由吸引力非线性随机初始扰动噪声本质上复杂的定态的稳定性，在这两个孤子相互作用的重叠区域布局。图3示出了我们的研究结果。以下图中由左到右，从上到下的六个子板，显而易见的是，从连接到断开的相位的空间 - 时间分布的变化拓扑从0变化到第pi;。一个洞中心打

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