摘 要

柱矢量光束是一种以对称轴为光束的传播轴的偏振光束，其偏振态空间变化具有柱对称的特性。通过各种聚焦操作可以使该类型光束在光学成像、电子加速、光学捕获、激光加工及表面等离子体激发等领域扮演着重要的角色，从而受到研究者们的重视。

本文研究了非傍轴和傍轴近似下柱对称矢量光束的远场特性。介绍了两种矢量衍射理论方法来推导自由空间中拉盖尔高斯光束的电磁场解析式。通过建立的模型主要分析了偏振阶数、径向模数、束腰宽度与波长的比值、与初始偏振角对柱矢量光束远场传输特性的影响。

首先在矢量角谱公式的基础上，利用稳相法，推导出任意偏振阶的圆柱矢量拉盖尔-高斯光束的远场电磁场解析表达式，继而得到非傍轴和傍轴近似下的能流分布公式。

根据能流分布公式，进行模拟仿真，得到不同参数条件下的柱矢量光束的非傍轴和傍轴近似下的能流分布图。

根据模拟结果可知，束腰宽度与波长的比值和光束阶数这两个参数均对径向偏振光束和角向偏振光束的非傍轴行为产生了重要的影响。当束腰宽度与波长的比变小、光束阶数增大时，径向偏振光束和角向偏振光束的非傍轴性变得更加明显。径向模数、偏振阶数和束腰宽度与波长的比值对光束的演化特性和非傍轴性有重要影响，而初始偏振角仅改变远场能流分布的空间方向。随着偏振阶数的增加，柱矢量光束的非傍轴性变得更加敏感。

关键词：柱对称矢量光束；传性输特；非傍轴行为；MATLAB仿真

Abstract

Cylindrical vector beams is a kind of beam with propagation axis of symmetry. Through various focusing operations, this type of beam can play an important role in the fields of optical imaging, electron acceleration, optical capture, laser processing and surface plasma excitation, so that it has received the attention of researchers.

In this paper, the far-field characteristics of cylindrical symmetric vector beams are studied under non-paraxial and paraxial approximations. Two vector diffraction methods are introduced to derive the analytical formula of laguerre gauss beam in free space. The effects of polarization order, radial modulus, ratio of beam waist width to wavelength and initial polarization Angle on the far-field transmission characteristics of cylindrical vector beams are analyzed.

Based on the vector angular spectrum formula, the analytical expression of the far-field electromagnetic field of the cylindrical vector laguerre-gaussian beam with arbitrary polarization order is derived by using the phase stabilization method.

According to the energy flow distribution formula, the energy flow distribution of cylindrical vector beam under different parameters is obtained.

According to the simulation results, the ratio of beam waist width to wavelength and the beam order have important effects on the non-paraxial behavior of radial polarization beam and angular polarization beam. When the ratio of beam waist width to wavelength decreases and the beam order increases, the non-paraxial property of radial polarization beam and angular polarization beam becomes more obvious. The radial modulus, polarization order and ratio of beam waist width to wavelength have important effects on the evolution characteristics and non-paraxial property of the beam, while the initial polarization Angle only changes the spatial direction of the far-field energy flow distribution. With the increase of polarization order, the non-paraxial property of cylindrical vector beams becomes more sensitive.

Key words: cylindrical vector beams; propagation properties; the non-paraxial characteristics; MATLAB Simulink

目 录

第1章 绪论 1

1.1 柱对称矢量光束的基本概念 1

1.2研究历史及现状 3

1.2.1 生成方法 3

1.2.2 应用前景 6

1.3论文研究目标和内容安排 7

第2章 理论基础 8

2.1傍轴标量理论的不自洽性 8

2.2角谱分析法 9

2.3矢量瑞利-索末菲衍射积分公式 10

第3章 高阶柱矢量光束的远场特性分析 14

3.1 理论公式 14

3.2 仿真及分析 19

第4章 总结与展望 24

4.1 总结 24

4.2 展望 24

参考文献 27

致 谢 29

第1章 绪论

光作为现在研究的热点之一，具有许多重要且特殊的属性，其中最特殊的就是光束的偏振特性^[1]，光波通过各种特殊的偏振可以对各种物质产生重要的影响，使其在激光加工、电子加速、光信息处理、光学捕捉与控制和高分辨成像等各种领域有巨大的潜在使用价值，从而引起了许多研究者的高度关注^[2]。

我们已经知道各种光束光束因为偏振态不同而分为各种不同的偏振光，总体上偏振光在横切面上偏振态可分为均匀和不均匀两种情况。过去我们研究过普通的线偏振光束，然后通过高纯度线偏振光改变偏振态可以得到其它类型的偏振光，例如圆偏振光，这类型的偏振光束在在各个位置的偏振态是完全相同的，并不会因位置改变而发生变化，属于比较经典的空间均匀偏振光^[3,4]。相对于非均匀偏振光束，其偏振特性完全不同于均匀偏振光束，这种偏振光束在横切面的不同位置的偏振态是不同的，例如径向偏振光和切向偏振光，因此也就具有了普通的均匀偏振光束所没有的特殊的性质。

随着科学的日新月异，对柱矢量光束的研究和应用得到了极大的进步和发展。通过改变光束在自由空间的偏振态使其有目的产生研究人员所需要的性质，最终实现在各种实际应用中得到新的成果。这种创新性研究目前成为在各种研究中热点。

近年来，虽说具有空间不均匀偏振态的光束受到了广泛关注，但是所研究的光束本质上仍然是线偏振光，这类型的偏振光束在在各个位置的偏振态是完全相同的，并不会因位置改变而发生变化。相对于非均匀偏振光束，其偏振特性完全不同于均匀偏振光束，这种偏振光束在横切面的不同位置的偏振态是不同的，其中包含目前熟知的径向偏振光和切向偏振光。研究以来，柱矢量偏振光束的研究取得了大量成果，在激光加工、电子加速、光信息处理、光学捕捉与控制和高分辨成像等领域有巨大的潜在价值^[5]。

1.1 柱对称矢量光束的基本概念

我们都知道，矢量光是波面具有非均匀分布的偏振态分布，而柱对称矢量光束则是具有柱对称特性的矢量光束，且柱对称矢量光束的传播轴就是光束的对称轴。由于柱对称矢量光束的特殊性质，在很早之前便受到了诸多研究学者的关注，对其的研究也比较深入。柱对称矢量光束包括了很多形式的偏振光，这是通过光束偏振态来进行区分的，其中比较典型的有径向偏振光和切向偏振光，如图1.1(b)和图1.1(c)所示。

由于标量理论的傍轴不自洽性，我们可以根据矢量衍射公式理论具体分析柱矢量光束在自由空间的传播与聚焦场分布^[6,7]。

(a) (b) (c) (d)

图 1.1 线偏振光在光束横截面上的偏振分布，(a)为空间均匀的线偏振光，(b)-(d)为空间不均匀的线偏振光，其中(b)对应径向偏振光束，(c)对应切向偏振光束^[1]

如图1.2所示为柱对称矢量光束在自由空间切面坐标图。横切面上任一点的光束偏振态都为线性偏振。假设 x-y平面是横切面，z轴是柱对称矢量光束的传播轴，是横截面上的一点(中心点除外)，以下等式即介绍了它的偏振方向：

(1.1)

等式中， 是当时对应的初始偏振角，其值为偏振方向与所选取的x轴的夹角；P为偏振级次，表示柱矢量光束沿圆周方向变化一周时偏振方位重复发生变化的次数；故空间方位角会对S点的偏振方位产生重要的影响。

偏振方向

s

r

x

z

y

传播方向

图 1.2 柱对称偏振光束的空间偏振分布^[1]

从上文的介绍，我们对柱对称矢量光束的定义有了一定的了解，当偏振级次的值为0时，其光束形式为空间均匀的线偏振光。当偏振级次的值为1时，其光束形式则为最基础的柱对称矢量光束，此外，当初始偏振角的值取时，柱对称矢量光束的形式为径向偏振光；而当初始偏振角的值取则为角向偏振光^[8,9]。

1.2研究历史及现状

圆柱对称矢量光束的研究可以追溯到1972年，D. Pohl使用模式选择器在红宝石激光器中获得了纯横向电场模式TE01^[1]。Y. Mushiake等人首先从日本东北部通过在激光谐振器中使用具有锥形结构的电解质元件获得径向偏振光，这是实验中第一次产生径向偏振光^[10,11]。此后，对径向偏振光和其他具有对称柱偏振的光束的研究越来越广泛和深入，并逐渐成为近年来光学领域的研究热点之一。2000年，基于Richards-Wolf矢量衍射积分公式，K.S.Oungworth和T.G.Rown对大数值孔径透镜聚焦下径向偏振光和角偏振光的聚焦特性进行了详细研究^[11]。同样，许多学者也研究了通过大数值孔径透镜聚焦斜偏振光。2011年，J.Pu和B.Tian等人利用大数值孔径透镜聚焦双环角偏振光束，获得了焦距较长的亚波长光斑^[11]。

随着人类社会科技文明的快速发展，人们对光学的研究也更加的深入，这使得一些亚波长结构进入了我们的视线，如光子晶体结构、微光结构等，柱对称矢量光束因其特殊的传播性质也变得越来越受研究学者们的欢迎。根据传统的传播向量理论和在自由空间中圆柱对称矢量光束的向量特征的结合，一些特殊的方法被建议在自由空间中对这种光束的向量特征进行初步研究。例如通过对电磁场进行矢量分解并利用角谱分析法可以推到出柱对称矢量光束的远场电磁场公式；基于矢量瑞利-索末菲衍射积分方法系统可以研究径向和角向偏振光束的非傍轴传播特性^[12]。本文即使用第二种方法，即通过对电磁场进行矢量分解并利用角谱分析法推导出其电磁场公式。

因此，研究非傍轴矢量光束的远场传输特性具有十分重要的理论价值。

1.2.1 生成方法

生成柱对称矢量光束的方法有很多种，总体上分为 两类，一类是有源生成方法，另一类是、无源生成方法^[13]。两种生成方法各有优缺点，下文进行了详细介绍。

1. 有源生成方法

典型的有源生成方法是将一些光学器件置于激光腔内适当的位置，通过模态叠加或模态选择使激光束以一种特殊的模式—柱矢量光束模式振荡输出^[14,15]。这些光学器件可以是轴向双折射(诱导双折射、形式双折射或固有双折射)或轴向二色性器件。如图1.3所示，利用由孔径光阑、望远镜系统和方解石晶体组成的模式选择器，可以在红宝石激光器中获得纯横向电场模式TE01输出。基于激光器中嵌入光学元件的基本思想，许多产生柱对称偏振光束的成功方法被提出来。例如使用双折射c切向Nd:YVO4晶体可以获得径向偏振光；通过选择径向偏振光或切向偏振光的双聚焦可以实现诱导双折射，最终获得高功率径向偏振光输出，输出功率可达数十瓦^[16-18]。

红宝石激光器产生柱矢量光束的结构示意图如下图所示：

望远镜

系统

光轴

腔镜

孔径光阑

红宝石

腔镜

方解石晶体

光轴

图 1.3 红宝石激光器产生柱矢量光束的结构示意图^[1]

除了向腔内插入轴向双折射器件的方法外，还可以向腔内插入轴向二向色性器件以产生柱对称矢量光束。在钕激光器中内置锥形透镜，可以获得径向偏振的圆形和弧形光束。在Nd:YAG激光器中内置一个圆锥形布鲁斯特棱镜可以获得标准的径向偏振光。此外，一种利用偏振腔镜产生柱对称偏振光束的方法被提出来。与轴向二向色性的径向偏振器，轴向双折射偏振器具有更好的偏振纯度，但是轴向二向色性的径向偏振器的优点是具有更为紧凑的结构^[19]。

腔镜

金属线栅

分束器

增益媒质

腔镜

偏振片

图1.4 内置 Sagnac 干涉仪产生轴对称偏振光束的结构示意图^[1]

另外一种有源生成方法是将干涉仪结构置于激光腔内，从而通过模式干涉叠加的方法得到柱对称矢量光束。如图1.4所示，将Sagnac干涉仪结构置于激光腔内从而进行模式叠加。其中为了控制谐振模式的偏振方向，引入了偏振片和金属光栅，最后得到了一系列不同偏振方向的柱对称矢量光束^[20]。

1. 无源生成方法

无源生成方法主要是通过模态叠加或直接改变偏振态的方法来生成柱对称矢量光束，这就需要用到激光腔外的干涉结构和一些特殊的光学器件实现将其它偏振光束偏振态转换成径向偏振或者角向偏振。通常，比较简单的方法是通过将空间均匀偏振光束直接转化为空间非均匀偏振的矢量偏振光束，其中就包括柱对称矢量光束。

因而，常常使用到能够改变矢量光束空间偏振特性的元器件，例如偏振片。

如图1.5所示, 为使液晶盒内的液晶单元从初始线性偏振方向向所需相应空间分布的偏振方向旋转，可以在液晶盒的上下玻璃基板上分别进行同心圆摩擦或线性摩擦，最终将入射的空间均匀线性偏振光转换成径向偏振光或切向偏振光。要想得到高偏振阶的柱对称偏振光束，可以将多个处理的液晶单元级联。

入射光束

偏振片

液晶盒

切向偏振光

(a)

偏振片

径向偏振光

液晶盒

入射光束

(b)

图1.5 利用液晶偏振转换器生成切向(a)和径向偏振光(b)的结构示意图^[1]

产生圆柱对称矢量光束的无源生成方法还有很多。例如，可以使用亚波长金属光栅，它的在形式上具有轴向双折射的特性，可以使矢量光束的周期和方向在自由空间中发生变化，造成的相位延迟。此外，还可以通过光栅可以将圆偏振光束转化为圆柱对称矢量光束，因为光栅上在不同的凹槽位置，其周期和方向也不相同。这种方法得到任意偏振阶的圆柱对称矢量光束，并且输出更加稳定，但加工工序的较为复杂和困难是这种光栅最大缺点。

1.2.2 应用前景

柱对称偏振光的光强分布呈中空环形分布，并且具有柱对称的偏振结构，使得其在各种领域都有应用的可能。其中径向偏振光和角向偏正光是柱矢量光束的两个典型特例；径向偏振光不仅具有横向电磁场，还具有沿轴向的纵向分量，纵向分量因其强度大、光斑小的电场使其在电子加速、光学显微镜、光学捕获、激光加工和光学存储等领域发挥出重要的作用；而角偏振光不仅包括横向电磁场，还沿轴线产生纵向分量^[21]，角向偏振光束因其中空环状的模式也可以应用于光镊来进行微小颗粒的捕获与操控。这些特点使其在一些物理研究和工程应用中显示出独特的优势，引起了国内外相关研究者的广泛关注。

柱矢量光束在很多领域都有着不错的应用，其中主要的应用为以下几个方面。

（1）电子加速

由于径向偏振光在光轴上不具有电场横向分量，反而其电场的纵向分量在光轴上具有最大值，因而可以沿轴向加速电子，从而极大的增加电子的能量，故可以将真空中的自由电子加速到千兆电子伏的级别。

（2）表面等离子体波的激发与聚焦^[22]

表面等离子体波的激发与入射矢量光束的偏振分布息息相关，在光学捕获、光学成像、微粒操控及激光切割等方面有巨大的应用潜力。 （3）光学捕获 柱对称矢量光束在高数值孔径聚焦下可以用于捕获金属粒子的潜在性同时可以实现多个粒子的同时捕获和操控^[23]。 （4）材料加工

柱对称矢量光束由于其独特的聚焦和偏振分布特性，在材料加工中也显示出巨大的潜力。通过对柱对称矢量光束的聚焦整形，可以精密的控制焦斑的尺寸，最终可以使切割效果得到精密的控制，实现完美的激光切割。此外，研究结果表明，柱对称偏振光比线性偏振光和圆偏振光在激光打孔中具有更高的效率和质量，柱对称矢量光束独特的聚焦特性与偏振分布特性使其在激光加工领域有着较为广阔的应用前景^[24]。

1.3论文研究目标和内容安排

本文主要的研究内容是研究高阶柱矢量光束在自由空间中的远场传输特性。这需要我建立系统的理论计算模型，然后通过数值计算具体分析和讨论了径向偏振光束和角向偏振光束这两种典型的柱对称偏振光束。首先基于矢量角谱公式，可以推导出自由空间中的柱对称偏振拉盖尔—高斯光束的传输光场的解析表达式^[25]。然后根据公式建立的仿真模型，并模拟结果进行讨论。

柱对称偏振的光束是一个统称，其中最经典的也是研究最多的就是径向偏振光束和角向偏振光束，因此，接下来将具体研究径向偏振光束和角向偏振光束的远场传输特性和非傍轴行为，通过已经建立的数字模型可以得到任意偏振阶圆柱矢量拉盖尔-高斯光束在远场的非傍轴能流仿真模型，观察并分析束腰宽度与波长的比值、光束阶数、初始偏振角和径向模数这四个参数对径向偏振光束和角向偏振光束的非傍轴行为产生的影响。建立三维立体仿真模型对我分析高阶柱矢量光束在自由空间中的传输性质是十分有帮助的，其结果清晰可见，易于分析。

具体来说，本文大体内容可以简述为以下几个内容：

第1章是绪论部分，主要讲述柱矢量光束的基本概念、研究历史及现状、生成方法和应用前景。在研究历史中提出了研究柱矢量光束的远场特性的必要性。

第2章是理论基础。介绍了高阶柱矢量光束的数学概念，圆柱矢量光束是麦克斯韦方程在柱坐标系的解。同时介绍了两种矢量衍射方法—矢量瑞利-索末菲衍射积分公式法和矢量角谱公式分析法，都可以得到任意偏振阶圆柱矢量光在自由空间的电磁场公式。