摘 要

压缩传感理论是近十几年来发展出的一种新型抽样重构理论。它突破了奈奎斯特采样定理中无失真恢复原始信号采样频率至少为2倍原始信号最高频率的界限。利用观测矩阵对信号进行观测，则可以用一组k-稀疏信号来表示原始信号。

另一方面，机器学习在这几十年的时间里随着计算机科学高速发展，在许多重要领域都取得了重大突破，有相对成熟的算法和技术。将机器学习以及压缩传感理论结合起来，对信号进行时频分析是一种必不可免的趋势。

本文主要介绍了压缩传感和监督学习的基本理论，重点探讨了信号的稀疏表示以及对k-稀疏信号的分类学习。以监测大型机械健康状态为大背景，给定不同类型信号，利用Matlab进行仿真。研究了不同条件下对稀疏表示算法时间以及精度的影响，利用PCA对稀疏信号预处理，然后利用SVM和生成学习算法对信号进行分类，最后分析实验结果，比较这几种算法在对稀疏信号分类处理时的优劣。

关键词： 压缩传感，稀疏表示，分类学习，SVM，生成学习算法

Abstract

The theory of compression sensing is a new kind of new sample reconstruction theory. It breaks through the Nyquist sampling theorem without distortion to restore the original signal sampling frequency by at least 2 times the maximum frequency of the signal limit. Using the observation matrix to observe the signal, you can use a set of k-sparse signals to represent the original signal.
On the other hand, machine learning in the past few decades with the rapid development of computer science, in many important areas have made a major breakthrough, there are relatively mature algorithms and technologies. The combination of machine learning and compression sensing theory for automatic time-frequency analysis of the signal is an inevitable trend.
This paper mainly introduces the basic theory of compression sensing and supervised learning, focusing on the sparse representation of the signal and the classification of k-sparse signals. To monitor the large mechanical health status for the background, given different types of signals, the use of Matlab for simulation. The influence of time and precision on sparse representation algorithm under different conditions is studied. SVM and generation learning algorithm are used to process the signal. Finally, the experimental results are analyzed and the advantages and disadvantages of these algorithms are compared.

Keywords: compression sensing, sparse representation, classification learning, SVM, generation learning algorithm

目 录

摘要 I

Abstract II

第1章 绪论 1

1.1 研究背景及意义 1

1.2 国内外研究现状 1

1.2.1 压缩传感的研究现状 1

1.2.2 机器学习研究现状 2

1.3 本文主要研究内容和文章安排 2

第2章 压缩传感基本理论及机器学习相关概念 4

2.1 压缩传感基本理论 4

2.1.1 信号的稀疏性 4

2.1.2 压缩传感信号重构 5

2.2 信号稀疏表示 5

2.2.1 绪论 5

2.2.2 框架算法 5

2.2.3 匹配追踪算法 6

2.2.4 基追踪算法 6

2.3 机器学习相关概念 6

2.3.1 绪论 6

2.3.2 支持向量机基本理论 6

2.3.3 生成学习算法 7

第3章 压缩传感理论在信号分析中的应用 8

3.1 绪论 8

3.2 基于过完备字典的信号稀疏分解 8

3.2.1 过完备字典设计 8

3.2.2 OMP稀疏分解算法 9

3.3 基于SVM的稀疏信号分类处理 10

3.3.1 支持向量及优化问题 10

3.2.2 核函数的设计 12

3.3.3 SMO算法应用 13

3.4 基于生成学习算法的稀疏信号分类处理 14

3.4.1 基于朴素贝叶斯分类器模型的稀疏信号分类 14

3.4.2 基于GDA模型的稀疏信号分类 15

第4章 压缩传感理论在机器学习领域中的仿真应用 17

4.1 引言 17

4.2 基于OMP算法的信号稀疏分解仿真 18

4.3 基于SVM的稀疏信号分类仿真 20

4.4 基于朴素贝叶斯分类器的稀疏信号分类仿真 22

4.5 基于GDA模型的稀疏信号分类仿真 23

4.6 GUI界面设计 23

4.7 本章小结 25

第5章 总结与展望 26

第1章 绪论

研究背景及意义

自从20世纪以来，信息技术以及计算机科学与技术在不断突破和发展。随着信息技术的发展，根据传统的香农-奈奎斯特定理已经很难对宽带信号进行合适的处理。传统的奈奎斯特定理主要有以下几个不足之处：首先采样速率受到信号带宽的限制，其次传输的速率要求太高，再次信号的可压缩性严重浪费存储空间，最后是对信号进行处理的电路系统设计成本和难度太高。从一方面来说，信号可压缩性没有得到发挥，另一方面说，物理器件的部分性能发挥到了极限，于是现在急需要一种新型的采样理论来支撑当抽样频率远小于奈奎斯特采样频率的时候如何完成信号的重建的问题。

为了解决这一系列的问题，压缩传感(Compressed Sensing)理论随之被提出。由于其独特的理论框架和一些特点，压缩传感理论的提出为信号采样带来了一次新的革命^[1]。

信号的存储、传输方式是信号处理的重要内容之一，信号的时频分析则是信号处理中另外一个重要的领域。传统的信号处理方式大多需要程序员通过采用各种变换分解来实现，碰到问题不便于及时处理。同时也会耗费大量的人力财力以及许多宝贵的时间。

随着日益增长的需求，机器学习这一理论在上世纪就被提出，而机器学习这一领域的内容变得日益重要。简单来讲，机器学习就是教会机器学习知识的一种技术方式。就像儿童在上学一样，设计者就是计算机的老师，教会机器在面对未知样本及问题的时候能够自动进行处理。现在机器学习已经广泛应用在无人驾驶，互联网大数据处理，技术预测等领域中^[2]。如果能把机器学习的理论应用到信号处理的方向，对于信号的时频分析也许就能事半功倍。

从压缩传感理论和机器学习理论提出至今，针对它们的研究已经取得了许多重要的成果^[3]。但是从长远角度来看，两者之间的结合应用是一个不可避免的趋势。

国内外研究现状

1.2.1 压缩传感的研究现状

获取信号样本，用特殊的方式对其进行加工处理是信号处理的基础。1928年美国贝尔电话实验室的电信工程师H.Nyquist提出了经典的奈奎斯特定理^[3]：如果对于一个信号进行采样，只要采样频率高于原始信号最高频率的两倍，那么一定可以通过样本将原始信号完全重建。

为了应对传统采样定理的不足之处，2004年由E.J.Candes 、J.K.Romberg 以及T.Tao 等众多科学家提出了一种新型的采样理论^[4]——压缩传感（Compressed Sensing）理论。压缩传感理论通过开发信号的稀疏性，首先将信号变换到一个恰当的变换域，然后用一个变换基不相关的测量矩阵进行测量，然后通过一些少量的线性测量值近乎完美的恢复出原始信号。压缩传感理论技术的核心是将压缩和抽样一起完成，突破奈奎斯特抽样界限^[5]，避免了传统的先抽样再压缩，这大大节省了采样和压缩的时间，同时不需要在采样的时候进行告诉的A/D转换，将数据处理从传感器转移到后台，这也大大减轻了传感器的负担。

1.2.2 机器学习研究现状

机器学习是人工智能的研究与发展进行到一定程度之后的必然产物。在上世纪五十年代到七八年代中，机器学习处在“推理期”。即赋予机器有推理能力，具有一定的逻辑运算的能力。

E.A.Feigenbaum等人认为，如果要让机器具备更高智慧，必须能够教会机器知识^[6]。从二十世纪七十年代中期开始，人工智能的研究发展到了“知识期”。但是随着不断研究发展，人们发现，如果总是人类自己把知识总结出来再教给机器的话，工作量太大，不便于实现。于是有人提出，要让机器自己学会学习知识。

人工智能发展到了二十世纪八十年代的时候，就是各种学说流派百家争鸣，百花齐放的场面了，包括从样例中学习，在问题中求解和解答，从指令中学习，通过观察和发现学习等^[7]。

当人工智能发展到九十年代中期的时候，统计学习便登上了舞台。其中最为著名的就是SVM(Support Vector Machine)以及核方法(Kernel methods)。统计学习开始逐渐取代连接学习（例如神经网络）的传统地位。直到中后期的时候，人们便普遍接受了SVM。核技术也几乎被人们用到了机器学习的每一个角落。

然而到了二十一世纪，连接学习又卷土重来了，开始带起一股“深度学习”的热潮。最主要的原因是神经网络对计算和数据量的要求都特别高，不过恰巧赶上计算机科学飞速发展以及大数据时代，硬件软件技术都是几十年前无法比拟的。

本文主要研究内容和文章安排

压缩传感和机器学习领域现有的一些研究成果对后续的研究提供了基础，但是现有的一些研究中对它们之间的综合应用还有待探讨。本文以模拟检测大型机械工作状态为大背景，将压缩传感理论应用在信号的传输和存储过程中，将机器学习应用到对信号的分类处理。综合两者得到一种更优的机械检测系统。

本文结构如下：

第1章：绪论。阐述了相关背景以及研究意义，总结当前研究现状，并对本文结构安排做一个简述。

第2章：压缩传感理论及机器学习相关概念。综述压缩传感和机器学习的一些相关概念，重点讨论信号的稀疏分解以及部分适用于信号时频分析的监督学习算法。

第3章：压缩传感在信号分析中的应用。重点研究了OMP等几种信号稀疏分解的算法。重点研究并讨论了将SVM，朴素贝叶斯分类器以及GDA模型应用到信号分析处理中。

第4章：压缩传感理论在机器学习领域中的应用仿真。针对第三部分提出的将机器学习中监督学习算法应用到稀疏信号分类中的仿真。以及对不同算法优劣性能进行比较。

第5章：总结与展望。对全文进行一个总结，并针对本文未探究的一些内容进行展望。

第2章 压缩传感基本理论及机器学习相关概念

2.1 压缩传感基本理论

压缩传感理论又被称为压缩感知(Compressed Sensing)理论^[8]。CS理论属于一种非线性的变换，利用观测矩阵将原始信号进行线性投影，从而获得测量值(k-稀疏信号)，然后通过重构算法来对其进行恢复。

整个理论的重点步骤在于将信号稀疏表示以及将稀疏的信号重构为原始信号。为了便于讨论，接下来用数学语言对其做一个总体探讨。

2.1.1 信号的稀疏性

定义一个信号x，如果信号x中的非零元素个数k远小于信号x的长度，即，当，我们认为x是一个k-稀疏信号。