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使用小波变换的图像编码

Marc Antonini, Michel Barlaud, Member, IEEE, Pierre Mathieu, and Ingrid Daubechies, Member, IEEE

摘要：图形压缩现在在如数据库的传输和存储应用中是必不可少的。这篇论文提出了一种新的图像压缩方案，考虑了在空间和频率域的精神性视觉特性，这个新方法包括两个步骤。首先,我们使用一个小波变换为了获得一组图像的双正交的子类；原始图像以使用金字塔算法架构的不同层次进行分解。分解沿着垂直和水平方向，并保持图像描述所需的恒定像素数量。其次,根据香农的速率失真理论，小波系数是利用一个多分辨率的码本矢量量化。此外,对小波系数进行编码,我们提出一个噪声整形的比特分配程序，其中假定在高分辨率的细节人眼不可见。最后，为了让接收者以最低的成本尽可能快地识别照片，提出了一种渐进传输方案。结果表明，小波变换特别适合渐进传输。

关键词：小波，双正交小波，多尺度金字塔算法，矢量量化，噪声整形，渐进传输。

1. 绪论

在许多不同的领域，数字化图像正在取代传统的模拟图像作为照片或X射线。描述这些图片所需的数据量大大减缓传播，使存储非常昂贵。因此，图像中包含的信息必须被压缩到只有可见的元素提取，然后进行编码。所涉及的数据的数量因此大大减少。数据压缩的基本目标是减少用于传输或存储的比特率，同时维持可接受的保真度或图像质量。压缩可以通过转化数据，将数据投影在函数基上，然后编码该变换来实现。由于图像信号的性质和人类视觉的机制，所使用变换必须接受非平稳，并在空间域和频域都得到局部使用。为了避免冗余阻碍压缩，变换必须至少双正交，最后，为了节省CPU时间，相应的算法必须要快。由Meyer和Lemarie[31]，[24]，[25]定义的该二维小波，连同其实现所描述的Mallat[27],满足这些条件。我们开发的压缩方法将小波变换和矢量量化的编码方案相关联。小波系数进行编码考虑了噪声整形位分配过程。这种技术利用了图像数据中的精神性视觉以及统计冗余，使比特率缩减。第II部分描述本文采用的小波变换。在一般小波的快速检查后，我们详细解释普通双正交小波基的性质和结构。然后，我们这个一维结构扩展到具有可分离的过滤器的二维方案。新的编码方案在第III部分提出。本节中，我们特别注意小波系数的统计特性，可在子图像用矢量量化来实现的渐近编码增益，在整个子图像优化配置。实验结果列于第四节，给出训练集内外的拍摄的图像。

1. 小波
2. 小波分析的简短回顾

小波是由一个单一函数经伸缩和平移所生成的函数。

（对于这个式子我们假设t是一个一维变量）。母小波必须满足，这意味着至少有一些振荡。（从技术上来说，的条件应该是，这儿是的傅里叶变换；如果时衰减比快，那么这个条件与前一个条件等价）。小波作为一个函数的伸缩，它的定义意味着高频小波对应或窄的宽带，而低频小波对应于或宽的宽带。

小波变换的基本思想是将任意函数f作为子波的叠加。任何这样的叠加将f分解成不同的尺度水平，其中每个水平进一步用适于水平的分辨率分解。要实现这样分解的一个方式是将f写为在a，b上的积分，有适当的加权系数[22]。在实践中，人们更喜欢写f为离散叠加（和而不是积分）。因此，引入了离散化，，，，，。小波分解为 （1）

其中。[14]、[15]研究了这种类型的分解。，时存在特殊的使得组成一个标准正交基，此时，。这种性质的不同基是被由Stromberg[36]，Meyer[31]，Lemarie[24]，Battle[7]，和Daubechies构造的[16]。所有这些实例对应于多分辨率分析，一个由Mallat[发明的数学工具[27]，它特别适用于在图像分析中小波基的使用，并且产生了一个快速计算算法。

在多分辨率分析中，一个真正有两个功能：母小波和尺度函数。还介绍了尺度函数的伸缩平移系，。对于固定的m，是标准正交的。我们通过表示由张成的空间；这些空间描述逐次逼近空间，，分辨率为。对于每个m，横跨中的完全正交补空间；因此，系数描述从一个分辨率为的f的近似到分辨率为的粗糙近似时丢失的信息。所有这个都是翻译成以下的计算算法（更多细节见[27]）：

（2）

这里并且。事实上，为f在上的投影系数。如果该函数f是采样形式给出，那么可以对最高阶分辨率近似系数进行采样，（2）描述了一种对这些采样值的子带编码算法，用低通滤波器h和高通滤波器g。由于他们与正交小波基相关，这些过滤器给出确切的重建，即：

（3）

大部分的正交小波基已经无限支持，对应过滤器h和g与无穷多个水龙头。在[16]的构造中给出有限的支持，并且因此，对应于FIR滤波器。它遵循在[16]中正交基对应于精确重建性能的子带编码方案，使用相同的FIR滤波器像分解那样进行重构。自从Smith和Barnwell[35]以及Vetterli[37]的著作之后，那样的滤波器就十分闻名了。正交小波分解额外的成分是其将要被分解的信号写为相当平稳的基本构建块的叠加信号。过滤器必须满足附加条件：

当时，衰减快于，时。

这种额外的规律性要求在ASSP文献中通常是不满足准确重建滤波器的要求的。

B.小波基在图像分析中的应用

1）双正交小波基：由于图像大多是平滑的（除了偶然的边缘），图像分析的准确的重建子带编码方案应该对应一个有相当平滑母小波标准正交基似乎是合理的。为了快速计算，滤波器应该短（短滤波器导致更少的平滑度，但是，它们不能太短）。另一方面，希望所用的FIR滤波器是线性相位，因为这样的过滤器可以容易地级联成锥体滤波器结构而不需要相位补偿。 不幸的是，没有精确重建性能[35]的重要正交线性相位FIR滤波器，无论任何规律性的因素。唯一的对称精确重建滤波器对应于哈尔基，即，，其他。

人能通过放松正规化的要求,并利用双正交基保持线性相位(对应对称小波)。然后还可以构造例子，母小波有任意高的规律。

在这个方案中,我们仍然如(2)分解,但是重建变为

（4）

这里滤波器或许不同于。为了有精确的重构，我们利用：

。

到目前为止，我们还没有执行任何不同于通常的精确重构子带编码方案，方案中分解与合成滤波器不同。如果过滤器满足额外的条件：

以及（6a）当时，衰减快于，时 （6b）

然后我们可以对(2)和(4)给下面的解释。定义函数和为和。它们的傅里叶变换是完全无限积（6a），因此，它们是定义良好的平方可积函数，如果和是FIR滤波器则紧支撑。定义，。

那么，（2）中的和可以重写为：

重构只是： （7）

相关联的子波和尺度函数的滤波器组结构被描述在以下的子带编码方案中（图1）。

如果（6a）中无限积的衰变速度甚至超过了上述规定，则、、和将相当平稳。注意（7）与第II-A部分描述的正交分解很相似；唯一的区别在于对基f的扩张使用通过双重基与不同于的计算系数。这种解释并不适用于所有精确重建子带编码方案；特别地，无限积（6a）中的收敛只有在和才有可能。

此外，（7）只有在和时才成立。

大多数重建子带编码方案不满足这些条件。

小波的双正交基已经具有规律性同时又独立地由Cohen，Daubechies和Feauveau[12]和由Herley和Vetterli[38]构建。参考[12]包含一个详细的数学研究，证明了根据上述的条件下，小波确实构成数值稳定基地（Riesz基）和对规律性的充分必要条件的讨论。在[18]Feauveau从多分辨率的空间的观点而不是从过滤器来探索结构。基本上是在双正交的情况下的空间两个层次中，每个相应于一对滤波器。

图1 滤波器组结构和相关小波

它表明在[12]中任意高规律性可由和来实现，假设一个人选择足够长的过滤器。特别地，如果函数和分别是和次连续可微，则三角多项式和必须分别被和整除，使得相对应滤波器的长度必须超过。

通过（5），可被整除意味着让连续时刻为零：

，。

关于本结论的更多细节见[12]。

众所周知，（它可以很容易地通过使用泰勒扩张检查出）,如果有零时刻，那么系数将代表函数f，f是次可微，具有高压缩潜能（许多系数极小）。

很多具有相当合理的和的双正交小波的例子可以构造；对于我们的应用程序，基本构建块的规律性，与的零时刻的数量相联系，比的规律或者的零时刻数目更重要。在支持宽度的限制范围内，我们将，因此，尽可能大选择k。

就三角多项式和而言，（5）给出的关于和的精确的重建要求条件降低到（对于对称的滤波器）： （8）

和各自被和，这导致（见[12]）：

（9）

这里是的奇数多项式，（和的对称使得为偶数）。

表1

的样条滤波器的滤波器系数

许多例子是可能的。特别地我们学习了以下三个例子，这三个例子属于三个不同的系。

1. 样条滤波器：可以选，，如果是偶数则，如果是奇数则。这对应于[12]中的“样条滤波器”（因为相应的函数是一个B样条函数）或者[38]中的“二项过滤器”[38]（因为只是二项式系数）。接下来：

（10）

从中我们来看一个例子；它对应于，。系数和列于表1；对应的尺度函数和小波绘于图2。

很明显,第一个例子中的两个过滤器有着非常不均匀的长度。“样条滤波器”系的这些例子是很典型的。

1. 少数不同长度的样条变体用：这个系仍然使用（9）的，但是因式分解（9）的右侧，将的多项式分解成拥有实系数的的两个多项式的积，一个分给，另一个分给，以至于让和的长度尽可能近。

这儿呈现的例子是本系中“最小的”（最短的和）；它对应于和。滤波器系数列于表2；对应的尺度函数和小波绘于图3。

注意，不像例子1和例子3的这儿，是有理数，表2截断的条目是十进制无理数的扩展。例1和例2的函数看起来非常相似（比较图2（a）和3（a））；然而，更详细的分析表明例2的更有规律。的消失时刻两个都对应4。

1. 接近正交过滤器的过滤器：最后，存在许多例子，其中。特别地，存在特殊的R使得两个滤波器都非常接近彼此，并且两个非常接近一个正交小波滤波器。

出人意料的是，这一系列的第一个例子，两个滤波器中的一个是在[9]提出的拉普拉斯金字塔滤波器。它对应于，和。滤波器系数列于表3；对应的尺度函数和小波绘于图4。很明显尺度函数和是非常相似的，对应非常相似的和。注意这个例子，滤波器系数又是有理数。

图2 例1尺度函数，和小波，（样条滤波器，，）（a）尺度函数（b）尺度函数（c）小波（d）小波

表2

少数不同长度的样条滤波器的滤波器系数

图3 例2尺度函数，和小波，（样条滤波器，）（a）尺度函数（b）尺度函数（c）小波（d）小波

表3

例3的滤波器系数。条目是有理数，两个滤波器是非常接近的。滤波器对应在[9]提出的拉普拉斯金字塔滤波器。此时，

在这个例子中的两个双正交滤波器均接近[17]中构造的长度6的正交小波滤波器，它被称为一个“coiflet”小波。作为一个正交小波滤波器，该coiflet小波非对称。这个例子的过滤器比例1和2更短，但k也较小。下个例子对应（）；和滤波器长度为9和15；它们都接近长度为12的coiflet。

1. 二维的扩展：存在一维小波变换到更高维的扩展。我们按照Mallat[27]，使用二维小波变换，优选水平和垂直方向。

在二维小波方向中，像一维那样引入尺度函数使得： （11）

这里是一维尺度函数。

为与尺度函数有关的一维小波。那么，三个二维小波定义为：

（12）

图4 例3尺度函数，和小波，（接近正交小波滤波器的双正交滤波器，，）（a）尺度函数（b）尺度函数（c）小波（d）小波

图5 在多尺度图像分解的一个阶段

图5代表一个图像的多尺度金字塔分解阶段：图像的小波系数计算如一维的情况(部分2-A和2-B.1），使用子带编码算法。过滤器h和g是一维的过滤器。这个分解提供了对应于不同分辨率水平和方向的子图象（见图6）。图像的重建计划如图7所示。

为了比较在本文所提出的三种不同的过滤器，我们已经用每个这些滤波器分解图Lena（图16）。结果示于图8。在图8（a），我们可以看到在不同的分辨率级别，，（想不想输）的归一化细节子图像。图8（b）中看到低分辨率级别的子图像。

1. 图像编码应用
2. 小波系数的统计特性

用于给定的分辨率和方向的编码器的性能可以通过相应的子图像的统计来确定，即，其概率密度函数（PDF）。

图6 图像分解

图7 多尺度图像重建一个阶段

一个典型的PDF和不同的逼近图9已给出，此时我们绘制了分辨率水平和方向垂直方向的真实的PDF伴随有三个模型函数：高斯，拉普拉斯，中间的功能，即所谓的广义高斯[2]。

一般的高斯法则被明确给出：

且 （13）

是子图象的标准差，是常用的

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