A ·The wavelet study the meaning and background

As we all know, image acquisition, digitization and transmission are often subject to a variety of noise interference, so that the digital image contains a lot of noise. Whether obtained from the disturbed signal denoising nature, not only with the interference and the signal form, also associated with the processing of the signal. In practical applications, the different nature of the signal and interference, to find the best processing method to reduce noise, the important issue is widely discussed in the field of signal processing. Currently, there are many methods can be used to signal noise reduction, such as median filtering, low pass filtering, Fourier transform, etc., but they are filtered out by the useful part of the signal details. The traditional signal de-noising method smooth signal only from the time domain or frequency domain are given the results of the statistical average. Time domain or frequency domain characteristics of the effective signal to noise removal, but not taking into account the local and the whole picture of the signal in the time domain and frequency domain. More Practice has proved that the classical approach based on the Fourier transform of the filter, and can not be non-stationary signal analysis and processing, denoising effect can not meet the requirements of engineering application development. In recent years, many papers non-stationary signal wavelet threshold de-noising method. Donoho and Johnstone contaminated with Gaussian noise signal de-noising by thresholding wavelet coefficients. Commonly used hard threshold rule and soft threshold rule set to filter out the noise from the signal high-frequency wavelet coefficients to zero. Practice has proved that these wavelet thresholding method with approximate optimization features, has a good performance in the field of non-stationary signals. The threshold rule mainly depends on the choice of parameters. For example, the hard threshold and soft threshold depends on the choice of a single parameter - global threshold lambda lambda adjustment is critical However, due to the non-linearity of the wavelet transform. Threshold is too small or too large, will be directly related to the pros and cons of the signal de-noising effect. When the threshold value is dependent on a number of parameters, the problem will become more complex. In fact, the effective threshold denoising method is often determined based on wavelet decomposition at different levels depending on the threshold parameter, and then determine the appropriate threshold rule. Compared with the wavelet analysis, wavelet packet analysis (Wavelet Packet Analysis) to provide a more detailed analysis for the signal, it will band division of multi-level, multi-resolution analysis is no breakdown of the high-frequency part of the further decomposition, and according to the characteristic of the signal being analyzed, adaptive selection of the corresponding frequency band, to match with the signal spectrum, thereby increasing the time - frequency resolution. The wavelet packet transform is the promotion of the wavelet transform in signal with more flexibility than the wavelet transform. Using wavelet packet transform to the signal decomposition, the low-frequency part and high-frequency components are further decomposed. Wavelet packet signal de-noising threshold method combined with good application value.

At present, both in engineering applications and theoretical study, removal of signal interference noise is a hot topic. Extract valid signal is band a wide interference or white noise pollution signal mixed with noise signal, has been an important part of signal processing. The traditional digital signal analysis and processing is to establish the basis of Fourier transform, Fourier transform stationary signals in the time domain and frequency domain algorithm to convert each other, but can not accurately represent the signal time-frequency localization properties. For non-stationary signals people use short-time Fourier transform, but it uses a fixed short-time window function is a single-resolution signal analysis method, there are some irreparable defect. Wavelet theory is developed on the basis of Fourier transform and short-time Fourier transform, and it has the characteristics of multi-resolution analysis, have the ability to characterize the local signal characteristics in the time domain and frequency domain, is an excellent tool for signal analysis . Wavelet transform (Wavelet transform) emerged in the mid 1980s when the frequency domain signal analysis tools, since 1989 S.Mallat the first time since the introduction of wavelet transform image processing, wavelet transform its excellent time-frequency local capacity and good to go related capacity in the field of image compression coding has been widely used, and achieved good results. Multi-resolution wavelet transform, time-frequency localization characteristics and calculation speed and other attributes, which makes the wavelet transform has been widely applied in the field of geophysics. Such as: using wavelet transform gravity and magnetic parameters of the extraction, the magnitude of the error of the reconstructed signal with the original signal after the wavelet analysis as a standard to select the wavelet basis

Seismic data denoising. As technology advances, the wavelet packet analysis (Wavelet Packet Analysis) method developed wavelet packet analysis is the expansion of the wavelet analysis, with a very wide range of application. It is able to signal to provide a more detailed analysis of the method, it is the band multi-level framing is not broken down at high frequency portion of the discrete wavelet transform is further analyzed, and according to the characteristics of the signal to be analyzed, adaptively selecting the frequency band corresponding to , with the signal matching, thereby increasing

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一·小波研究的意义与背景

众所周知，由于图像在采集、数字化和传输过程中常受到各种噪声的干扰，从而使数字图像中包含了大量的噪声。能否从受扰信号中获得去噪的信息，不仅与干扰的性质和信号形式有关，也与信号的处理方式有关。在实际应用中，针对不同性质的信号和干扰，寻找最佳的处理方法降低噪声，一直是信号处理领域广泛讨论的重要问题。目前有很多方法可用于信号降噪，如中值滤波，低通滤波，傅立叶变换等，但它们都滤掉了信号细节中的有用部分。传统的信号去噪方法以信号的平稳性为前提，仅从时域或频域分别给出统计平均结果。根据有效信号的时域或频域特性去除噪声，而不能同时兼顾信号在时域和频域的局部和全貌。更多的实践证明，经典的方法基于傅里叶变换的滤波，并不能对非平稳信号进行有效的分析和处理，去噪效果已不能很好地满足工程应用发展的要求。近几年来，许多文献介绍了非平稳信号去噪的小波阈值方法。Donoho和Johnstone提出了通过阈值化小波系数对染有高斯噪声的信号进行去噪的方法。常用的硬阈值法则和软阈值法则采用设置高频小波系数为零的方法从信号中滤除噪声。实践证明，这些小波阈值去噪方法具有近似优化特性，在非平稳信号领域中具有良好表现。阈值法则主要依赖于参数的选择。例如,硬阈值和软阈值依赖于单个参数的选择—全局阈值lambda;，然而由于小波变换的非线性，lambda;的调整显得至关重要。阈值太小或太大，都会直接关系到信号去噪效果的优劣。当阈值依赖于多个参数时，问题将会变得更加复杂。实际上，比较有效的阈值去噪方法往往根据小波分解的不同层次确定不同的阈值参数，进而确定相应的阈值法则。与一般的小波分析相对比，小波包分析(Wavelet Packet Analysis)能够为信号提供一种更加精细的分析方法，它将频带进行多层次划分，对多分辨分析没有细分的高频部分进一步分解，并能够根据被分析信号的特征，自适应地选择相应频带，使之与信号频谱相匹配，从而提高了时-频分辨率。小波包变换是小波变换的推广，它在表示信号时具有比小波变换更强的灵活性。利用小波包变换给信号作分解时，低频部分和高频部分都被进一步分解。因此小波包与信号去噪的阈值方法相结合具有更加良好的应用价值。

目前，无论在工程应用还是理论研究中，去除信号中的干扰噪声都是一个热门话题。针对被频带较宽的干扰或白噪声污染的信号，从混有噪声的信号中提取有效信号，一直是信号处理中的重要内容。传统的数字信号分析与处理是建立在傅立叶变换的基础之上，傅里叶变换是平稳信号在时域与频域间互相转换的算法工具，但无法准确表述信号的时频局域性质。对于非平稳信号人们使用短时傅立叶变换，但它使用的是一个固定的短时窗函数，是一种单一分辨力的信号分析方法，存在着一些不可弥补的缺陷。小波理论是在傅立叶变换和短时傅立叶变换的基础上发展起来的，它具有多分辨分析的特点，在时域和频域上都具有表征信号局部特征的能力，是信号时频分析的优良工具。小波变换(Wavelet transform)是20世纪80年代中期出现的时频域信号分析工具，自1989年S.Mallat首次将小波变换引入图像处理以来，小波变换以其优异的时频局部能力及良好的去相关能力在图像压缩编码领域得到了广泛应用，并取得了良好的效果。小波变换具有多分辨性、时频局部化特性及计算的快速性等属性，这使得小波变换在地球物理领域有着广泛的应用。如：利用小波变换进行重磁参数的提取，以小波分析后的重构信号与原始信号的误差大小为标准选取小波基进行地

震资料去噪等。随着技术的发展，小波包分析(Wavelet Packet Analysis)方法产生并发展起来，小波包分析是小波分析的拓展，具有十分广泛的应用价值。它能够为信号提供一种更加精细的分析方法，它将频带进行多层次划分，对离散小波变换没有细分的高频部分进一步分析，并能够根据被分析信号的特征，自适应选择相应的频带，使之与信号匹配，从而提高了时频分辨率。小波包分析(wavelet packet analysis)能够为信号提供一种更加精细的分析方法，它将频带进行多层次划分，对小波分析没有细分的高频部分进一步分解，并能够根据被分析信号的特征，自适应地选择相应频带,使之与信号频谱相匹配，因而小波包具有更广泛的应用价值。小波包的分形理论由美国科学家B.B.Mandelbrot在20世纪70年代中期创立，它主要研究具有“自相似性”、“自仿射性”的分形体，用维数来定量描述信号的复杂程度，已在许多科学领域广泛应用，包括最近将小波分析与分形理论相结合，用于确定重叠复合化学信号中的组分数和各峰位置等以及DNA序列分形特征的研究。利用小波包分析进行信号降噪，一种直观而有效的小波包去噪方法就是直接对小波包分解系数取阈值，选择相关的滤波因子，利用保留下来的系数进行信号的重构，最终达到降噪的目的。运用小波包分析进行信号消噪、特征提取和识别是小波包分析在数字信号处理中的重要应用。

二·小波分析的发展与应用

小波包分析的应用是与小波包分析的理论研究紧密地结合在一起的。现在，它已经在科技信息产业领域取得了令人瞩目的成就。电子信息技术是六大高新技术中重要的一个领域，它的重点方面是图像及信号处理。如今，信号处理已经成为当代科学技术工作的重要组成部分，信号处理的目的就是：准确的分析、诊断、编码压缩和量化、快速传递或存储、精确地恢复（或重构）。从数学地角度来看，信号与图像处理可以统一看作是信号处理，在小波包分析地许多分析的许多应用中，都可以归结为信号处理问题。现在，对于其性质随实践是稳定不变的信号，处理的理想工具仍然是傅立叶分析。但在实际应用中的绝大多数信号是非稳定的，而特别适用于非稳定信号的工具就是小波包分析。

近年来结合基金研究项目和企业研究项目。我国在小波包分析的应用中进行了一些探索。

首先，在小波包信号分析中，从应用角度完善了边界奇异性的处理方法和小波包在频域定位中的处理方法。提出了谐波小波包的分析方法，并将谐波小波包与分形结合起来解决工程中的实际问题。

其次，在转子振动信号的运行检测方面，对故障特征分析进行了仿真和实用化研究。在电动机噪声分析方面，用小波包方法分析理论找出了影响阈值去噪声的原因，对车辆的加速度奇异信号，用小波包方法进行了分析，得出了满意的结论，同时把谐波小波包与分形理论相结合。研究了汽车变速箱非线性裂纹故障特征，并在车辆传动系技术设计中率先应用了小波分析与分形理论相结合的方法。解决了中低档农用运输轻型货车传动系工作稳定性不好、工作寿命短的问题，在工程实际应用中探索了一条新路子。

下一步，将采用理论分析、实验和软件实现相结台的方法来进行研究，即利用小波包分析和计算机程序来实现对数字信号的处理。在非平稳信号分析中，分别采用已有的技术方法和小波包分析方法、分形方法进行研究，期望对数字信号处理有所改进。能够反映复杂的信息特征，提高信号分析与检测的准确性，达到国内先进水平。在与他人合作的基础上，完成一套信号处理方法与技术的高速数据处理系统。

近年来，小波包的应用范围也是越来远广。小波包分析能够把任何信号映射到一个由基本小波伸缩、平移而成的一组小波函数上去。实现信号在不同时刻、不同频带的合理分离而不丢失任何原始信息。这些功能为动态信号的非平稳描述、机械零件故障特征频率的分析、微弱信号的提取以实现早期故障诊断提供了高效、有力的工具。近年来，通过我国科技人员的不断努力，已取得了可喜的进展，成功的研制开发出小波变换信号分析仪，填补了国内空白，具有国际先进水平。在理论和应用研究基础上，提供了普遍适用于机械设备在线和离线非平稳检测诊断的技术和装置，取得了经济效益。得到国家科技进步奖励。

（1）小波包分析在图像处理中的应用

在图像处理中，小波包分析的应用是很成功的，而这一方面的著作和学术论文也特别多。二进小波变换用于图像拼接和镶嵌中，可以消除拼接缝。利用正交变换和小波包进行图像数据压缩。可望克服由于数据压缩而产生的方块效应，获得较好的压缩效果。利用小波包变换方法可进行边缘检测、图像匹配、图像目标识别及图像细化等。

（2）小波包分析在故障诊断中的应用

小波包分析在故障诊断中的应用已取得了极大的成功。小波包分析不仅可以在低信噪比的信号中检测到故障信号，而且可以滤去噪声恢复原信号，具有很高的应用价值。小波包变换适用于电力系统故障分析，尤其适用于电动机转子鼠笼断条以及发电机转子故障分析。用二进小波Mallat算法对往复压缩机盖振动信号进行分解和重构，可诊断出进、排气阀泄漏故障。利用小波包对变速箱故障声压信号进行分解，诊断出了变速箱齿根裂纹故障等。

小波包分析在语音信号处理中的应用。语音信号处理的目的是得到一些语音参数以便高效地传输或存储。利用小波包分析可以提取语音信号的一些参数，并对语音信号进行处理。小波包理论应用在语音处理方面的主要内容包括：清浊音分割、基音检测、去躁、重建与数据压缩等几个方面。小波包应用于语音信号提取、语音台成语音增加波形编码已取得了很好的效果。

小波包分析在数学和物理中的应用。在数学领域，小波包分析是数值分析强有力的工具，能简捷、有效地求解偏微分方程和积分方程。亦能很好地求解线性问题和非线性问题。而由此产生的小波有限元方法和小波边界元方法，极大的丰富了数值分析方法的内容．

在物理领域中，小波包表示了量子力学中一种新的凝聚态。在自适应光学中。目前有人研究可利用小波包变换进行波前重构。另外，小波包变换适宜于刻画不规则性，为湍流研究提供了新的工具。

小波分析在医学中的应用 。淋巴细胞微核的识别在医学中有重要的应用价值。可用于环境检测、药品等各种化台物的毒素检测。在微核的计算机自动识别中，用连续小波就可准确提取胞核的边缘。目前，人们正在研究利用小波包变换进行脑信号的分析与处理，这样可有效地消除瞬态干扰，并检测出脑电信号中短时、低能量的瞬态脉冲。

小波包分析在神经网络中的应用 。小波包理论提供了一个对前传网分析和理论框架，小波形式在网络构造中被用来使包含在训练数据中的频谱信息具体化。使用小波包变换设计处理网络，可使训练问题大大简化。不像传统的前

神经网络构造的情况，这里函数是凸的。因此全局授小解是唯一的把小波包分析与神经网络结台起来，可对设备进行智能化诊断。利用小波包分析可给出惯性导航系统初始对准的线性和非线性模型。

小波包分析在工程计算中的应用 。矩阵运算是工程中经常遇到的问题，如稠密矩阵作用于向量(离散情况)或积分算子作用于函数(连续情况)的计算。有时运算量极大，利用快速小波变换，可使得运算量大大减少。另外，在CAD/C AM、大型工程有限元分析、机械工程优化设计、自动测试系统设计等方面都有小波包分析的应有实例。

小波包分析也可以用于设备的保护和状态检测系统，如高压线路保护和发电机定子匝间短路保护等。另外，小波包分析也应用于天体研究、气象分析识别和信号发送等领域。

三·基础知识介绍

近年来,小波理论得到了非常迅速的发展,而且由于其具备良好的时频特性,实际应用也非常广泛。这里希望利用小波的自身特性,在降低噪声影响的同时,尽量保持图像本身的有用细节和边缘信息,从而保证图像的最佳效果。其中图像的小波阈值去噪方法可以说是众多图像去噪方法的佼佼者。

小波理论：一种数学方法

本节介绍了小波分析理论的主要思想，这也可以认为是对信号分析技术，最根本的概念。FT定义使用基函数的傅里叶分析和重建功能。向量空间中的每一个向量可以写成在该向量空间基础上的向量的线性组合，即一些常数乘以数的向量，然后通过采取求和的产品。信号的分析牵涉到这些常量数字（变换系数，或傅立叶系数，小波系数等）的合成，或重建，对应的计算公式的线性组合。

这个主题中所有的定义及相关定理都可以在Keiser的书中找到，是一个很好的指导，但是要想对小波函数是如何工作的有一个专业的理解，必须要了解小波理论的基本原则，入门级的知识。因此，这些信息将提交本节。

小波合成

连续小波变换是一种可逆的变换，只要满足方程2。幸运的是，这是一个非限制性规定。如果方程2得到满足，连续小波变换是可逆的，即使基函数一般都是不正交的。重建可能是使用下面的重建公式：

公式1小波逆变换公式

其中C_psi是一个常量，取决于所使用的小波。该重建的成功取决于这个叫做受理的常数，受理满足以下条件：

公式2受理条件方程

这里 psi^hat(xi) 是 FT 的psi(t)，方程2意味着psi^hat(0) = 0，这是:

公式3

如上所述，公式3并不是一个非常严格的要求，因为许多小波函数可以找到它的积分是零。要满足方程3，小波必须振荡。

连续小波变换

连续小波变换作为一种替代快速傅里叶变换办法来发展，克服分析的问题 。小波分析和STFT的分析方法类似，在这个意义上说，就是信号和一个函数相乘，{它的小波}，类似的STFT的窗口功能，并转换为不同分段的时域信号。但是，STFT和连续小波变换二者之间的主要区别是：

1、Fourier转换的信号不采取窗口，因此，单峰将被视为对应一个正弦波，即负频率是没有计算。
2、窗口的宽度是相对于光谱的每一个组件变化而变化的，这是小波变换计算最重要的特征。
连续小波变换的定义如下：

公式4

从上面的方程可以看出，改变信号功能的有两个变量，tau;和s，分别是转换参数和尺度参数。psi(t)为转化功能，它被称为母小波。母小波一词得名是由于如下所述的两个小波分析的重要性质：

这个词意味着小波浪。小指的条件是本（窗口）函

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