分数阶傅里叶变换具有很多传统傅里叶变换所不具备的性质。目前，分数阶傅里叶变换已经被应用在科学研究和工程技术的很多方面，如扫频滤波器、人工神经网络、小波变换、时频分析、时变滤波和多路传输等。另外，它还在解微分方程、量子力学、衍射理论和光学传输、光学系统和光信号处理、光图像处理等众多方面有着十分广泛的应用。

在通信方面，随着技术的逐渐发展和成熟，移动条件下的大容量通信已经开始进入人们的普通生活，但随之而来的技术问题也日益突出，其中快衰落信道就是高速移动通信所不可回避的问题之一。

在当前的移动通信技术中，OFDM技术得到了广泛的应用。OFDM技术能够有效的解决宽带无线通信网络所面临的符号间干的问题，并且有较高的频带利用率，非常适合于移动环境下的高速数据传输。然而，当收发双方的相对移动速度较高的情况下，即系统存在较大的多普勒频移的情况下，OFDM系统中子载波间的正交性容易遭到破坏，从而在各个子载波之间形成严重的干扰，致使系统的性能下降。

如果将基于傅里叶变换的OFDM系统（FT—OFDM系统）中傅里叶变换的过程替换为分数阶傅里叶变换，并选择合适的分数阶傅里叶变换阶次，能够使得OFDM信号能够更好的适应时变信道的特征，减少时变信道引入的子载波之间的干扰，从而使得系统的性能得到提高。

相应的，在通信系统中广泛使用的FPGA芯片上实现DFRFT变换是具有一定的实际意义的。

1.2 国内外研究现状

最早的分数阶傅里叶变换相关的研究始于Wiener。众所周知，傅里叶变换的特征函数是Hermite多项式乘以exp(-t^2)，相对应的特征值是(-j)^n。1929年Weiner开始寻找这种变换核，其特征函数是Hermite-Gaussian函数，但其特征值的形式又比普通傅里叶变换更加完备。Weiner最终将这一特征值修正为exp(-jnα)。在分数阶傅里叶变换的早期发展过程中，Condon,Bargmann,Kober等人都作出了很大的贡献。

尽管分数阶傅里叶变换的研究在20世纪20年代就开始了，但是真正受到重视是从80年代Namias的工作开始的。Namias从特征值和特征向量的角度提出了傅里叶变换的概念，并用于微分方程求解。其后，McBride等用积分形式为分数阶傅里叶变换的概念奠定了基础。1993年Mendlovic和Ozaktas给出了分数阶傅里叶变换的光学实现，并将其应用于光学信息处理。由于分数阶傅里叶变换的光学设备易于实现，因而在光学领域很快得到了应用。在数字信号处理领域，分数阶傅里叶变换具有潜在的用途，但由于当时缺乏有效的物理解释和快速算法，因而在80年代并为得到应有的重视。直到1993年Almeida指出分数阶傅里叶变换可以理解为时频平面的旋转、1996年Ozaktas等提出了一种计算量与FFT相当的离散算法之后，分数阶傅里叶变换才吸引了越来越多的信号处理领域学者的注意，并出现了大量的对相关内容的研究。

随后在离散分数阶变换的基础上，这一领域的研究人员又进一步的根据基于特征分解的离散傅里叶变换，定义了离散分数阶余弦变换，离散分数阶 Hartley 变换等其他离散分数阶变换。

2. 研究的基本内容与方案

在毕业设计中，首先对几种不同类型的离散分数阶傅里叶变换进行一些简要的分析和比较。之后根据FRFT-OFDM系统的特点，选择合适的离散分数阶傅里叶变换算法，并在FPGA上实现。