摘 要

随着人们生活水平的提高和生产力的发展，数字图像处理受到了非常大的重视和突出的表现，数字图像处理是需要在计算机上进行操作的，然后进行图像的增色和灰度处理等技术和方法。人们可以在很多方面都应用数字图像处理，更重要的是在科学研究上可以有很大的突破。而本文所讨论的离散切比雪夫变换则是数字图像中的一种新型技术，数字图像处理中有许多的算法技术，比如离散余弦变换，金字塔图像，小波变换等，这些算法都可以对图像做到很大的改变。DTT是近些年来才提出的，相对于其他数字图像处理的算法，它有着自己的优势和长处。

本文介绍了MATLAB工具的使用和图像压缩的概念，MATLAB可以算是最适合用于数字图像处理的得力工具，图像压缩技术是指用较少的比特表示以前的像素矩阵的技术，可能出现有损害或者没有损害的。得出图像压缩后给其增色和褪色的结果，然后是自己在编码中的反思和收获，透彻了解离散切比雪夫变换的多项式，矩阵和近似算法。

总之，DTT是一种方便，效率高的数字图像处理技术。DTT有快速迭代计算，非常强的重新构造图像能力的特点，相比于用得较多的离散余弦变换，它的复杂度极低，尤其在计算时间方面上，而且它还使整数比较方便地实现。DTT也已广泛适用于图像的压缩，多聚焦融合。

关键词：数字图像处理 离散切比雪夫变换 MATLAB

Abstract

With the persons’ better living standard and the development of productivity, digital image processing has received great attention and prominent performance. Digital image processing needs to be operated on the computer, then color enhancement and gray processing technology and methods. People can apply digital image processing in many ways, and more importantly, they can make great breakthroughs in scientific research. The discrete Tchebichef transform discussed in this paper is a new technology in digital image processing. There are many algorithms in digital image processing, such as discrete cosine transform, pyramid image, wavelet transform and so on. These algorithms can make great changes to the image. Discrete Tchebichef transform is proposed in recent years. Compared with other digital image processing algorithms, it has its own advantages and advantages.

The use of MATLAB tools and image pressure are introduced. The concept of shrinkage, MATLAB can be considered as the most suitable tool for digital image processing, image compression technology refers to the use of fewer bits to represent the previous pixel matrix technology, there may be damage or no damage. The results of color enhancement and fading after image compression are obtained. And the reflection and harvest in encoding are realized. The polynomial, matrix and approximation algorithm of discrete Tchebichef transform are thoroughly understood.

In a word, discrete Tchebichef transform is a convenient and efficient digital image processing technology. Discrete Tchebichef transform has the characteristics of fast iteration and strong ability to reconstruct images.Compared with the more used discrete cosine transform, its complexity is extremely low, especially in terms of computing time, and it also makes integers more convenient to implement. Discrete Tchebichef transform has been widely used in image compression, multi-focus fusion.

Keywords: Digital image processing discrete Tchebichef transform MATLAB

目录

摘要 I

Abstract II

第1章 绪论 1

1.1研究的大背景 1

1.2研究的目的与内容 3

第2章 离散切比雪夫变换 4

2.1离散切比雪夫变换的背景 4

2.2离散切比雪夫变换多项式 4

2.3二维离散切比雪夫变换 5

第3章 离散切比雪夫变换低复杂度近似 9

3.1离散余弦变换近似 9

3.2离散切比雪夫变换近似 10

3.3最优离散切比雪夫变换矩阵 12

3.4正交与可逆性 16

3.5离散切比雪夫变换的快速算法 17

第4章 离散切比雪夫变换整数近似的MATLAB实现 20

4.1 MATLAB编程环境 20

4.2函数 21

4.3 MATLAB实现 22

第5章 结论 25

5.1总结 25

5.2展望 25

参考文献 26

致谢 27

第1章 绪论

1.1研究的大背景

最近，随着大数据和经济的不断发展，数字图像处理技术受到了各界的广泛关注，而且其中的算法也得到了很大的改进。本文介绍的离散切比雪夫变换就是最近使用最多，最新的算法，它有着降低时间复杂度，变换效率高等特点。随着时间的推移，许多专家也对其进行了更深层次的改造和完善。

有学者认为，数字图像处理是将一个个图像通过计算机软件转换为矩阵从而对图像进行各种变换的过程，它主要受三个方面的影响，一个是计算机的快速更新换代还有网络的普及；二是离散数学的创建和完善，还有数学历史的发展；三是各种行业的广泛应用。早期的数字图像处理主要是以人为对象，以人的审美评估为目的的图像改善。首次获得应用的是USA的实验室，它是用作喷气的推进，他们对月球的形状使用了图像处理技术，并考虑了太阳的距离和月球表面气体的影响，通过计算机成功描绘了月球地图，是人类历史上的一个里程碑。随后又进行了更为复杂的图像处理，终于获得了非凡的成果，做成了月球的地形图，色彩图和全局图，推动了许多学科的发展，这其中就包括数字图像处理，在以后的航空航天技术中都发挥着巨大的影响力，如图是经过图像处理后的月球的地形图。之后数字图像处理在国内外发展十分快速而且它的实际应用也很广泛，而且随着计算机技术和人工智能的迅速发展，数字图像处理向更远，更深层次的方向前进。

图1.1月球地形图 图1.2灰度后的图像

同时，对于数字图像处理的目的主要是三个方向，第一是改善图像的质量，如对图像进行亮度变换，增强、抑制图像的某种特质，为了提高人们的视觉上的感觉质量，具体如图1.2所示，表现为进行灰度处理后的图像；第二是为了方便于图像的存储和传输，对图像数据进行变换、编码和压缩。需要使用图像处理系统，这是由计算机和对图像处理的软件而组成的，然后对图像进行输入，加工和输出。第三是提取图像中的特殊信号，通过计算机视觉的预处理或模式识别，来为计算机分析图像提供便利，提取的东西可以是各种特征，比如区域特征，形状特征，灰度或颜色特征等。

现在介绍在国内外的研究现状，在国外，最初是M.K.Hu在20世纪60年代发现了图像的不变矩，这个不变矩一般用来识别图像中的大物体，他这个创造性的理论，引导了人们对不变矩的研究，关键是他还在笛卡尔坐标系下提出了7个。不变矩当中的低价矩，可以和图像的全面特性相联系在一起，它只能描述图像的一两个方面，而且它不能考虑图像的细节。高阶矩虽然可以，但它也有很多的缺点，体现在噪声对它有很大的影响，非常容易产生信息冗余。基于此，Teague于1980年提出Zernike矩的概念，而且核函数为Zernike正交多项式，Zernike矩就是用这个核函数构成的矩函数，因为Zernike矩的各阶矩之间都是相互独立的，可以使用非常少的Zernike重新构造原图像，而且它还有旋转不变性和正交性，还可以简便得出图像中可识别细小信息的不变矩。国外的两位学者比较了Hu不变矩、几何矩等各种类别的不变矩，而且还从这些矩的冗余消息能力、图像处理、对于非正常音的敏锐程度等的方面，Zernike矩都有着最优秀的图像处理的能力和对图片的表达能力。之后Mukundan等人提出了离散正交切比雪夫矩,重构图像效果比Teague提出的矩好得多,但重构图像出现了雪花点现象。然后根据前人的报告和经验，为了得到旋转不变性的方案，Yap等人又相继提出了各种不同形式的不变矩，虽然都得到了较好的应用，但还是没有让它们旋转不变。因为离散正交矩需要变换才可以达到效果，Mukundan于2005年又提出了离散径向Tchebichef矩,因为旋转不变性是离散径向切比雪夫矩的最重要的特点,所以结果实验很完美。因为离散径向矩的天然特性，使得它得到了很大的发展，而且于二十一世纪一个外国人将离散径向切比赫夫矩和另一个不变矩进行了全方位的对比，得出离散径向切比雪夫矩具有高阶旋转不变性，高明的图像处理能力等特点^[1]。

而在国内，胜云龙提出了零点理论，这个理论是指正交不变矩的多项式零点数目越多，而且还不是零星分在各种区域中，这样，重新构造出来的图像效果更好^[2]。正交矩也很好的解决了抽样问题，可以先通过低阶的正交矩读取总体外形的特点。但它也不是完美的，有些矩只能正交于一些限定区域，有些情况会让不变矩变得扭曲，就比如计算的时候会有不精确的情况，用的计量的工具也会不同，而且目标也变得非常不好识别，但它可以用高阶矩获取图像的精确特征。他也在1994年提出了正交Fourier-Mellin矩，这个矩在两个方面都优于Teague提出的矩，这是噪声的反应能力和图像处理能力。而且图像的抽样位置和抽样频率分别用零点位置和零点数目于径向函数上来表示，Zernike矩用于图像描述时的抽样效果不是很满意，因为Zernike矩的零点分布在圆周范围内，而Fourier-Mellin矩之所以效果好，是因为正交Fourier-Mellin矩在径向区域0lt;rlt;q有着均匀分布的零点。可是对于高阶矩而言，图像处理就会遇到困难，面临很大的挑战。平子良提出了切比雪夫-傅里叶矩,它其中的各阶切比雪夫多项式都差不多,且广泛存在于0lt;rlt;1内,但是该矩还是没能将Fourier-Mellin矩中高阶矩对于细节消息的获取^[3]。2003年,阿木古楞提出了变形的傅里叶矩，他将径向多项式和轴向多项式分成两种不同的多项式,终于可以使高阶矩准确高效描绘图像。最近，肖等人提出了一种从原始径向切比赫夫矩中提取尺度和旋转不变量的方法。径向切比赫夫矩的计算虽然不涉及连续积分的离散逼近，但需要将笛卡尔坐标中定义的图像映射到离散的径向极坐标空间。Mukundan引入了一种环遍历算法，实现了图像像素与同心圆周围均匀分布的点之间的一对一映射。该方法能够精确计算出径向切比赫夫矩。然而，为了确定哪个点与当前点属于同一个环，需要计算三个相邻点的距离。这一逐像素迭代过程消耗大量时间。

1.2研究的目的与内容

本文首先介绍了数字信号处理的背景和离散切比雪夫变换的研究目的，学习了DTT的来源，了解前人对于数字图像处理的算法的深入研究，再者详细介绍了DTT的概念和特性分析，根据自己的学习，了解离散切比雪夫迭代公式与离散切比雪夫矩阵的形成，然后是推导了离散切比雪夫的近似，而且还识别了最优近似，最后得出整数DTT的近似算法，本文使用的是MATLAB软件，了解MATLAB里面的函数，或自己创建函数，对DTT用于实践有着更深的理解，具体研究框图如下:

近似低复杂度算法

二维离散切比雪夫变换

离散切比雪夫变换多项式

MATLAB实现算法

讨论可行性

图1.3研究框图

1. 离散切比雪夫变换

所介绍的离散切比雪夫变换的正向和反向变换是无乘法的，并且需要减少加法和位移操作的数量^[4]。

2.1离散切比雪夫变换的背景

离散切比雪夫变换是可以用于信号编码和数据去相关的，它是一个非常有效的工具。这些年来，DTT可用于多种数字图像处理的实际问题，比如盲完整性验证、图像压缩和编码器的应用。其中重要的是，8点DTT已被用于盲法取证和盲法鉴证，也被用于医学图像的完整性检查^[5]。对于图像的压缩，8点的DTT比8点离散余弦变换在比特流编码中的平均比特长度方面有着很大的优势。而在编码器方面，也提出了基于DTT的机器，它能够减少编码和译码的时间，提高图像处理的质量，成为最先进的基于离散余弦变换的方法的竞争者。但由于DTT有大部分的加法和浮点乘法，因此它有很高的算数复杂度，所以更需要计算结构。它这么高的算数复杂度可能成为人们采用它用于低复杂度电路和低功耗的现代设备的障碍，所以需要采用低复杂度近似。

2.2离散切比雪夫变换多项式

首先对于离散正交矩来说可以没有任何近似的数据，这满足正交性的性能，就放心用离散正交多项式作为基础，对图像处理进行优化。而离散变量正交多项式是几个超几何差分方程的解^[6]。这类正交多项式的经典应用有很多。比如，这种多项式被用于计算力矩函数，这在很大程度上被用于图像重建^[7]。虽然一个离散正交系统中这些函数只是在很小的范围内变化，但它们和图像的坐标位置的范围有着相差甚远的区域，比如有些多项式只是在一定的区域内才有定义，而有些特殊的径向多项式，仅在特定的图形内有用。当然有些多项式可以通过对自己的变量进行减小和增大，但这样会加大算法的复杂度。

所以在一个有着离散正交特点的多项式的集合中最简单的是切比雪夫多项式，它有一个单位权重，并且有一个定义域，非常适合于大小为n*n像素的正方形图像^[7]。由离散切比雪夫多项式导出的离散切比雪夫矩可形成一组正交矩函数。这些函数不是基于连续函数的离散近似，它们在离散域上是正交的。

第k阶离散切比雪夫多项式由以下表达式表现为：