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傅里叶变换域线性调频信号的振幅特性

摘要

线性调频信号的抽象参数估计是雷达或声纳的重要研究问题之一。分数傅里叶变换(FRFT)能够将LFM的能量集中起来，并且FRFT是估计LFM参数的重要方法之一。FRFT谱峰的位置与LFM的线性调频频率和中心频率密切相关。我们在FRFT领域中搜索的峰值越细，估计的参数就越准确。更好的搜索结果会带来更详细可用的计算结果。本文根据FRFT的定义和性质，推导出FRFT域分析LFM的振幅特性。根据这些特点，提出了提高搜索速度的多分辨率基础的5点，此方法可以加快搜索速度。

1. 简介

线性调频信号(LFM)是雷达、声纳等探测设备中常用的信号[1]，它的参数估计是信号处理领域的重要任务之一[2][3]。对中心频率和线性调频频率的估计是获取目标速度的常用方法[4][5]。分数傅里叶变换(FRFT)是对传统傅里叶变换(FT)的推广。近年来，FRFT在量子力学、光学、雷达、声纳、通信、信息安全等领域得到了广泛的应用[6][7][8]。它是指在时频平面上的旋转[9]，也可以对应为对线性调频信号的分解。线性调频信号的FRFD谱比其傅里叶域谱图像更集中。LFM信号的经过一定角度变换就会是一个脉冲函数[6]。FRFT成为估计LFM参数的重要方法与FRFT谱峰的位置和LFM的线性调频信号率以及中心频率密切相关。如果使用排气搜索的峰值，将会有大量的复杂计算。在另一方面，我们在FRFT领域中搜索的峰值越精确，估计的参数就越准确。本文将根据分析LFM在FRFT领域的振幅特性，快速得到其峰值。

本文的其余部分内容安排如下:第二节中，简要介绍了FRFT的定义。第三节中，推导了线性调频信号，介绍它们的傅立叶变换和线性调频信号的振幅特性。第四节中，介绍了FRFT的离散计算，并且给出了LFM的FRFT和它的数值模拟，振幅特征，并提出了一种基于多分辨率的5点算法，提高了搜索的速度。最后，我们完成了一些仿真，验证了这种新方法的可行性和性能。

二．FRFT的定义

虽然可以用几种不同的方法来定义分数傅里叶变换，但是指定它的线性变换核的方法将会陈述出来。信号x(t)的p阶分数傅里叶变换被定义为

（1）

当时，

alpha;是FRFT的旋转角度，Fa表示FRFT操作符。同时，

尽管FRFT有几个重要的特性：线性，酉性和Parseval，结合性质，这里列举了频移。所谓x(t)在FRFT域的p^th阶数称为X _alpha;(u)。

（2）

观察到FRFT的频移结果是X a (U)的平移和线性调制的结果。

三．线性调频及其傅立叶变换

A.:线性调频

一种线性调频(LFM)信号的频率随时间线性增加或减小，常用在声纳和雷达，一个LFM信号可以表示成

其中A₀，phi;₀，f ₀分别是LFM信号的幅度、初始相位、初始值，初始频率为零，线性调频信号斜率为k₀=B/T。及其截距与斜率的确定从而检测出LFM信号，并对其相关的参数进行估计。

线性调频信号也可以表示成：

.

因此，在等式(3)中的LFM信号的频移表示为times;A₀e^jphi;0。g（t）的新的FRFT表示为，

如果，那么

根据FRFT的频移特性，A₀，phi;₀不会影响FRFT的分布。其的FRFT将会表示成

如果，，(j任取)，那么

这表示在某特定角度(k₀ = -cot(alpha;)) 下FRFT的线性调频频率的LFM信号是一个脉冲函数。信号的能量集中在一定的线性调频的基础上。振幅最大时u = f₀ sinalpha;，所以最大值的角度与线性调频有关，而不是中心频率。中心频率与在u域中的位置有关。线性调频速率和中心频率可以通过位置来估计FRFT的最大值。

C .振幅特性

当时，LFM信号在FRFT域中的振幅可以写成:

或者

其中表示共轭。根据函数的定义，带线性调频的LFM振幅，在FRFT域中的速率子将在角alpha;和u处最大，其中和。第一个表示关于a等于零时的Fa的峰值。当角alpha;是旋转时，它的一阶导数，

LFM在FRFT领域的振幅将会变成，

当是sgn函数时，如果那么，

如若相反那么，

这意味着当时，LFM在FRFT域内振幅单调递增。但是当情况相反时，它是单调递减的。所以我们可以判断alpha;和arctg (k₀)的区别是通过角alpha;的旋转角度。此外，我们还可以在可能发生的情况下提出多分辨率搜索方法，从而能快速获得振幅峰值。

四、离散FRFT计算和数值模拟

虽然它的中心频率和线性调频频率是连续的，LFM对应于其振幅的峰值位置。傅里叶变换域和分数阶傅里叶变换是线性的。积分变换是用标准数值计算的。集成技术不是一种有效的方法。事实上，我们仅仅可以得到连续LFM的采样，我们需要计算分数的样本。傅里叶变换X_alpha; (u)是x(t)的样本值。Ozaktas在文献[6] [11]中提出了一个快速离散的算法。离散傅里叶变换是由直接采样得到的，连续FRFT在FRFT域和时间域，分数变换分解为线性调频信号的乘法和随后的卷积。而另一个线性调频信号的乘法，还需要维度的正常化。对于N点采样的信号，算法计算O(Nlog₂N)的分数变换次数。将缩放参数引入到计算中。所以这两个区间的长度都等于，无量纲量t和f分别在时域和频域。如果我们计算离散信号的傅里叶变换，意味着我们规定观察时间为时间间隔t = t₀，抽样频率则为频率间隔f = f₀。扩展参数和归一化长度为s = (t ₀/f ₀)^1/2和u =(t₀f_s)^1/2

假设一个线性调频信号为100毫秒的持续时间，它的频率持续时间t = 0时的频率是15 KHz和5 KHz。所以它的线性信号调频率是50KH/ s。采样频率为40KHz。在维度归一化过程中将会发生缩放。归一化的线性调频频率和频率在t = 0时和实数的表示分别为：

在t = 0时，k₀，f_0哪一个是真正的啁啾频率和频率线性调频信号。k₀rsquo;，f₀rsquo;归一化的线性调频速率和频率在t = 0时，这个LFM信号的FRFT函数在理论上的顺序是1.0792，而u是23.5339[12]。这个LFM在FRFT领域的振幅则如图1所示。从图1可以看出峰值位置为位于(1.0790，23.5273)并获得估计中心。频率和线性调频频率分别为14.995 KHz和49.894 KHz/s。

图一

图2描述了LFM在FRFT中的最大振幅。如果顺序接近最佳顺序，则振幅迅速增加。如果顺序很远的话，按照最优顺序，振幅接近于零。

图二

五、基于多分辨率的5点

正如第四节中所说，当采样数为N时，如果没有信号的信息，每个角alpha;经过Ozaktas的离散算法需要计算O (N log₂N)次。在此之前，用一个直接的方法来实现详细的峰值搜索。

规定范围从0到2。然而，这个计算成本非常高，尤其是在数据范围比较多的时候，而准确性是必需的。例如，需要用N点FRFT搜索法计算2 x 1 0¹²点。当命令间隔为10e-6时，总

计算量为O (10¹² N log₂N)。对于计算机来说，复杂性可能可行，也很有可能为了实现时间的过度。

如在sectionIII中提到， LFM信号的振幅在分数阶傅立叶变换域是单调的，在最优的两侧排序。这点是p的二阶导数，这意味着这点的振幅比较高，所以更接近于最优顺序。这个指数增长的计算，可使用多分辨率可以减轻复杂性。还有搜索方法，多分辨率搜索方法。但都被限制在附近的最高等级。而通过细分较粗的空间，把在5个点中的振幅分成五个分部，进行搜索。首先，将范围从0到2分为4个分部，每个部分的间距(旧)为0.5，其中只检查5个命令执行。例如按照0、0.5、1.0、1.5和2.0的顺序搜索。最大振幅设为p^new。之后可以重置搜索范围，例如，间距为。我们重复这些搜索直到。这就验证了搜索的准确性，比如10^-6。

虽然我们设置的间隔是10-e3, 2000个命令的FRFT。通过第四节可知，计算成本非常高。

如果采用多分辨率搜索方法，每个迭代中检查5个范围。如果假设搜索精度为10^-6，总订单则需小于80。而对于所提出的搜索方法，则是三阶傅立叶变换，在下一个迭代中需要计算这个迭代。这意味着，在每次搜索范围都不变的情况下增加两个订单。所以总计算顺序是5 (16-1)*2=35。图3描述了搜索次数为迭代次数，x轴是迭代。时间和y轴都需FRFT的一定的顺序。在图3中,色标记表示上次迭代的选定顺序，它的LFM在FRFT域中的振幅在5个中最大。估计中心频率和线性调频速率是14.998 KHz和50.001 KHz/s。

正如预期，10次迭代后每次迭代的顺序差异是很小，估计误差也较小。用于测试多分的辨率搜索方法，参数估计时掺有高斯白噪声。LFM与第四节提及相同，表1显示了结果，信噪比(SNR)值-6 dB， -2dB, 0dB, 2dB。和4 dB。对于每一个SNR，都进行了100次重复试验。通过中心频率的均值和标准差，线性调频频率计算比较，当信噪比超过2dB时，估计更准确。

1. 结论

本文介绍了线性调频的幅值，对分数傅里叶变换域进行了分析，对比得出两边各阶的最大振幅，最佳顺序是单调；顺序之间的距离，最优顺序可以从最大值，振幅的形态来判断。所以提出了多分辨率，搜索方法，以减轻计算复杂度，加快搜索。

马炎的工作在一定程度上得到了国家的支持。例如，中国自然科学基金61101189，部分西北保利技术大学的基础，Grant npuffr-jcy20130108的基础研究，和NPUFFR-JC20110207。

参考文献

[1] S.S. Abeysekera, 'Wideband sonar waveform design using linear FM signals and Hermite-Rodriguez functions.' Oceans 2006, pp 1-3 2006May.

[2] X.G. Xia. 'Discrete chirp Fourier transform and its application to chirp rate estimation'. IEEE Trans. Signal Processing, vo1.48, pp3 122-3 133,2000, Nov.

[3] C. D. Luigi and E. Moreau, 'An iterative algorithm for estimation of linear frequency modulated signal parameters,' IEEE Signal Process.Letters, vol. 9, pp. 127-129, Apr. 2002.

[4] H. L. Van Trees, Detection, Estimation and Modulation Theory, Part I,New York: Wiley, 1968.

[5] S. Stergiopoulos, Advanced signal processing handbook. Boca Raton:CRC Press LLC, 2001

[6] Ozaktas, H.M., The fractional fourier transform with application inoptics and signal processing. New York: John wiley amp;Sons, 2001.

[7] Hong-Bo Sun, Guo-Sui Liu, Hong Gu, Wei-Min Su, 'Application of the fractional Fourier transform to moving target detection in airborne SAR,' IEEE Trans. on Aerospace and Electronic Systems, vol. 38,pp.

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