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利用光子计数统计和最大概率法对模糊图像

实施去卷积过程的研究

N. D. LLOYD and E. J. LLEWELLYN

Institute of Space and Attnospheric Studies, University of Saskatchewan, Saskaroon, Sask., Canada S7N0W0

Received September 21, 1988

文章介绍了一种对模糊图像实施去卷积过程的新方法，是利用了光子计数的泊松统计来确定最大概率的解。该方法能够保证最终的解在物理上是有意义的，并与观测结果相符。同时，我们使用真实模糊图像数据对这一新开发的算法进行了测试，并与使用其它方法的计算结果进行了对比，从而证明了我们这一套新算法能够获得稳定的解，且与真实的解有很好的一致性。

On dkcrit une mkthode de dkconvolution des images brouillkes qui utilise la statistique de Poissdn pour le comptage des photons afin de dkterminer la solution la plus probable. Cette mkthode assure que la solution finale ait une signification physique et quelle soit en accord avec les observations. Lalgorithme developpk est test6 avec des donn6es rkelles dimages brouillkes, et le rksultat est compark avec ceux que Ion obtient par dautres mkthodes. Ces tests demontrent que Ialgorithme fournit des rksultats stables qui sont en accord avec la vraie rkponse.

[Traduit par la revue]

C{A}n. J. Phys. 67, 89 (1989)

1. 引言

多年来，在实验科学中经常遇到测量仪器在测量信号时产生额外的响应问题一直是人们关注的。对于这种问题：通过观测仪器观测原始目标{T}扭曲后得到模糊信号{B}。通常需要假设：观测数据{B}和原始目标{T}之间存在线性关系，而且这种线性关系是可以通过下面的矩阵方程表达的

B=AT hellip;hellip;hellip;hellip;hellip;hellip;hellip;hellip;hellip;hellip;hellip;hellip;hellip;hellip;hellip;hellip;hellip;(1)

矩阵中{A}是描述观测仪器怎样模糊扭曲真实信号{T}，并通过系统传播产生观测信号{B}。从数学来讲这种问题是容易解决的——简单的用{A}的倒数代入方程（1）求{T}。在实践中，{T}的解是很容易受观测信号{B}中的噪声影响。即使有很好的信噪比，也会是生成的解波动很大，所以必须使用替代方法来获得物理上有意义的解。

Frieden ⁽¹⁾发表过有关解决矩阵问题不同方法的综述。其中大部分方法是有针对性的：去卷积模糊数据，使得最终解到一定程度后收敛。例如，Fourier的去卷积方法是在抑制高噪音谐波^（3,4）的时候通过限制二阶导数（2）的变化求解，而且使用极大熵值法获得的平滑解是和数据^（1,5）一致的。无疑每一个算法可以得出一个解，n算法就有n解，所以我们必须选择最合适的方法来解决问题。

本文提出了一种通过技术统计来抑制观测数据求解的方法，这种方法是和之前不一样的。这种方法的优点是：可以计算解的概率。它假设最大概率的{T}的解是矩阵方程[1]的最佳估计值。当然，问题是如何得到{T}值的最大概率。这里通过两个真实例子说明最大概率算法已经成熟，完全可以应用于去卷积。

第一个例子，将一台经过检测的Fabry-Perot干涉仪测量出的模糊谱线去卷积。在正常操作Fabry-Perot测风干涉仪期间已在收集实际数据。为了减少储存数据的大小，我们初步处理观测结果并且去除原始（未加工）的数据。随后，数据预处理会导致观测获得的谱线产生额外的模糊。于是研究时很难使用最大概率算法处理产生的额外模糊。第二个例子中，使用探测火箭的光度计从总强度廓线中的数据测定大量放射廓线。

2. 开发最大概率算法

最大概率算法的理论是容易按照Fabry-Perot干涉仪测量谱线的去卷积方式来描述的。考虑到一种特殊情况：Fabry-Perot干涉仪一致使用独立的谱线照明使得干涉图样集中于一个二维光子计数成像仪上。通过在萨斯喀彻温省大学的空间学会和大气研究所操作这样的仪器，仪器通常使用多普勒频移技术，以557.7nm射线测量大气排放物、监控高层大气的运动。通过Rees et al. (6)描述的电阻阳极检测器，使用光子计数记录干涉图样。

当 Fabry-Perot干涉仪一致使用氪557.0288nm校准线照射时，显示的经典图像见图1。理论上环形图案是均匀对称的，所以低于正常工作状态，可以通过二维的图像减少到一维辐射轮廓来压缩大量数据。在正常的工作状态下，这样的数据压缩是可行的，并且原始图像是无法恢复的。不幸的是：测试后的条纹不是真正的圆，宁可说是扭曲的椭圆形（类似枕形），如同图像探测器显示异常（失真）。因此，如果一个假定圆对称图像经过简单的电脑程序压缩、扭曲后，它的失真区域截面的边缘要么远离中心要么接近中心，并且导致最后的结果：辐射状半径模糊。枕形失真是复杂的空间变体、点分布函数，测出的辐射状半径是一个模糊真实半径的图像显示。在压缩数据中，测量的辐射状半径也对中心坐标的精确度敏感。会导致中心坐标的一些误差产生额外的模糊函数。

图1.是使用光子图像探测器测出的Fabry-Perot干涉环的二维图像。这是Fabry-Perot干涉仪无极放电灯一致使用氪557.0288nm标准线照射产生的环。注意到的是探测器扭曲图像造成产生的环不是真的圆。

由于图像的压缩产生额外模糊生成的完整图像接近图1。这个完整图像随后被用于验证最大概率算法修正被压缩模糊图像后产生结果的正确性。假如如图1中的二维图像，通过简单的电脑程序压缩后的结果显示出的模糊辐射状半径如图2a。图2a中辐射状半径的起点是计算许多区域从像素到中心距离（bin）总和平均值，图2是符合假定中心的二维图像。为了参考真实不失真的半径{T}，公认的合适中心坐标和探测器扭曲后的修正值见图.26.这样原始的二维图像已被丢弃。当然，通常精确解是未知的，必须从模糊半径估计，见图2a。

上文描述的枕形失真可以通过在探测器上的规格网络进行图像测量，所以边缘面积有助于估计区域半径接近或远离中心。因此，将矩阵A、不失真的原始目标T和观测数据B线性联系可以表示为：

i是指模糊半径；j是指真实半径；B_i是指在以模糊半径i为半径的圆内光子数目；T_j是指在以实际半径j为半径的圆内单位面积的光子数目；A_ij是以实际半径j为半径圆的面积；n_i是不同区域对观测计算B_i造成非零的贡献；N是区域数量。

应该注意的是：在规定的放射区域，B_i被称为全光子计数，它是n_i的作用面积。还有T_j是单位面积光子计数。

图2.

图中三个辐射状半径表示图1中的图像。用每个像素的统计表示所有3个半径。（A）辐射状半径是没有经过探测器扭曲修正并且假定错误的中心坐标，压缩图1得到的。（B）和（A）相似，除了使用探测器扭曲修正和正确的中心坐标。（c）是分析（A）推断出真实辐射状半径的最大概率的“最优”估计。等同它和观测模糊半径图得到初始估计{T} 。均方根误差超过开始的60区域（在图2B和图2c中是43计数/像素），最大的误差是在区域36，为97计数/像素。

项表示在区域中的光子数目取得的极限平均值，实际上光子数目P_ij在区域A_ij中是随机波动，所以P_ij接近的极限平均值，如果用离散的光子数量P_ij代替A_ij*，那么方程就可以表达为

方程[3]很重要，因为它通常结果正确并且光子数量在每个A_ij区域中关于平均值随机波动。所以，观测数据中的波动可以用B_i表示为每个作用区域A_ij中光子计数的波动。因此，观测数据{B}中的噪声是可以表示为所有噪声的。这是与其他方法有关散射噪声和信号之间的关系描述相违背的，于是引进独立方程（5）

如果数据中的噪声是通过泊松分布进行光子计数统计，那么光子在区域Aij得到Pij平均到每单位面积的概率为

这里的lt;ngt;是平均计数，和A_ij*T_j有关；n为P_ij的实际计数；用A_ij*T_j和P_ij分别代替lt;ngt;和n即可得到下式

Q(P_ij)为在区域A_ij中得到光子数目P_ij的概率，还有这是

独立分布计数的方法。没有已经验证的原始数据和二维图像无法确认分布是否正确，但

是泊松分布计数统计是可以使用最大概率估计的。该分布尽量远离有偏向性的平均值或

是加权平均值，来接近真实平均值。

方程[3]和[5]是应用最大概率方法的。方程[3]是通过查询一些分布，保留观测数据之

和，对最终求解生成N条约束条件。方程[5]表示分布的绝对概率和当概率最大时产生

的“最优”解。

所有半径区域中给定分布的全概率Q_T是每个观测半径区域的概率。[5]中全概率Q_{T}的对数W是

当W取极大时得到最大概率的解。这是由关于独立变量P_ij微分[7]所决定的，使其服从

约束条件[3].因此，得出

在[8]中，阶乘的对数接近斯特林公式（7），

当x的值不大，那么斯特林公式是完全适用的，要是x的值较大会导致期望的有效误差近似值错误。。

公式[8]和由[3]规定的N条约束可以用数学优化技术解决。然而，当P_ij远大于1时，可以用拉格朗日乘数法简单的得到一个解。 [3]中N条约束可以表示为

引入N拉格朗日乘数_k得到下式

和方程[9]

,当光子总数不变的情况下是独立的，当k=i并且m=i时该式右边有意义，即为1.因此，

方程[12]适用于大范围的计数，但是当光子计数P_ij远大于个体时，[12] 得出的解是很

容易用方程[8]求得的。如果只保留[8]右边首项，那么

从约束[3]被发现指数的值(包含拉格朗日乘数) 为

这个值最终可以带入[13],用解析法求P_ij得

方程[15]提供一个直接方法求与真实强度平均数T有关区域A_ij中光子数目的估计值。应该注意的是P_ij表面上的最小值是-1，如果A_ij.*T_j很小那么这就是一种假的光子计数方法，该等式不成立。当然，P_ij最小值是零为了有物理意义的状态。如果放射强度平均值T_ij已知，在每个区域A_ij中的光子数目P_ij是很容易求估计值。但是，问题是T_j是一定要确认的未知参数。在下一部分的描述中，迭代接近法可以用来修正估计值T和去卷积模糊半径。

3实现

最大概率算法不会直接生成解，宁可说是反复求平均半径T的lsquo;最优rsquo;估计。Van Cittert (8)描述的和Jansson (9)完善的这种算法类似于超松弛算法：用红外光谱仪去卷积记录数据中的分子光谱。超松弛算法使用仪器功能A获得一个T的初步估计（【2】）计算后得出一个观测数据B的初步估计。然后应用观测数据B的初步估计值和原始目标T之间的偏差来逐步更正这一估计值。这一过程是无限循环的，直到逐次迭代中T的估计值不在变化或变化很小（即T值收敛）时，才会终止这一循环。同样的，最大概率算法开始时

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