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机载或星载雷达数据中取得垂直雨廓的单频反演方法的相互比较

东芝IGUCHI *

大学空间研究协会，NASA / GSFC，Greenbelt，马里兰州

罗伯特·米内基尼

美国航空航天局/ GSFC，Greenbeh，马里兰州

（1994年1月3日收到的手稿，最终形式为1994年4月15日）

摘要

这篇论文简要的回顾了几种单频降水资料（机载雷达或星载雷达）收集方法，作者描述了不同的方法从不同等式的统一的出发点，这促进了不同方法的比较也提供了对于物理和数学基本方法的更好理解。这几种方法对于机载雷达或星载雷达数据的应用在Convective and Precipitation/Electrification Experiment 中显示出来，最后，作者认为混合方法提供了自然顺畅的转换相比较Hitschfeld-Bordan 方法（在低衰减时反演结果表现很好）和基于表面的方法（相关误差增加随着衰减距离的增加）

1.介绍

关于雷达衰减影响的论文可以追朔到Hitschfeld和Bordan的工作（1954年），他们的论文显示在衰减订正中一个不可接受非常大的误差可能会产生除非雷达常数被准确的测量，在模型中参数选择能很接近的代表实际降水情况。归因于这些困难，对气象雷达衰减的频繁的使用通常被避免。随着星载天气雷达的发展，衰减订正的热度被再次被提升。为了实现准确的空间分辨率而使用天线大小小于两米需要使用短波长电磁波（例如：波长小于3cm）。

在这篇论文中我们阐述了从雷达测量的反射率因子Zm(r)估计雷达真实反射率因子Z(r)的问题。稍后将会讨论从Z(r)转化为降水强度R(r)的模糊问题。

存在衰减时，雷达方程如下：

, (1)

其中：

, (2)

和：

, (3)

在这篇论文中，我们使用以下符号：是雷达接收功率，r是距离雷达的距离，C是雷达常数，m是降水粒子的复折射指数，是衰减系数，我们将称为衰减量。到某一表面的衰减量是（其中是到表面的距离），称为综合衰减路径(PIA)，被称为衰减因子。

如果C,m和r是已知的，我们可以计算Zm(r)从测得的值，为了计算降水强度R(r)，我们需要知道Z(r)或k(r)。当衰减被忽略时，我们可以认为Z(r)等于Zm(r)而且可以通过Z-R关系来估测降水强度R(r)，为了用小的天线获得合理的波束宽度，机载雷达和天基雷达的波长必须要小，因此信号会被降水衰减，在这种情况下，我们需要通过已知Zm(r)求解等式（2）的未知的函数Z(r)和k(r)。

这个问题显然是不适当的，除非Z（r）和k（r）之间存在某种关系，否则不能唯一解决。Hitschfeld和Bordan（1954）由k-Z关系（ ）推导出的一个这样的解决方案，如果衰减效应很小，就给出一个合理的估计。 然而，当衰减量大时,Hitschfeld-Bordan解决方案可能会变得不稳定。为了解决这个不稳定问题，有几种方法被提出。 在下面的一些代表方法（Fujita 1989; Hitschfeld和Bordan1954年 Kozu et al 1991; Marzoug和Amayenc 1991;Meneghini 1978; Meneghini等 1983年 梅内基尼和Nakamura 1990）进行了审查和比较。

2.表面参考方法

表面参考方法通过表面回波功率的降低来估计PIA。 特别地，从在雨中测得的表面回波功率与在相邻无雨区域测得的表面回波功率的比率，可以得出时衰减系数的估计：

Atilde;() = ， （4）

然后，从A（rs）直接得出的PIA估计值用于限制Hitschfeld-Bordan的解。

如果k与Z相关联通过等式，而且在某一距离上是个常量，（2）式可以被写成一个不同的等式以以下方式：

, (5)

其中 和 。注意是关于r的函数，这个等式的通解是：

, (6)

其中是任意常数，并且S（r）被定义：

, (7)

如果初始条件：

在 , (8)

给定，则为1，这对应于Hitschfeld-Bordan解：

, (9)

注意，具有该初始条件的微分方程（5）等效于积分方程（2）其中，如果相反，在r = rs给出Z（r）的最终条件，则必须满足以下条件：

, (10)

将这个代入（6）式可以得到：

, (11)

如果我们定义为：

, (12)

由此得：

, (13)

解可以写成：

, (14)

我们以后将称之为“终值法”。 这个解决最终价值问题的解决方案相当于Marzoug和Amayenc（1991）提出的解决方案。 事实上，

,

,

, (15)

我们定义为：

, (16)

（15）式可以转变为：

, (17)

这与Marzoug和Amayenc（1991）得出的形式相同。应当注意，不需要从表面参考测量A()获得Atilde;()，例如，从与雷达相同的频率具有相似波束宽度的辐射计确定的As的估计将足够。

“终值法”使用PIA作为求解的单一条件，不像Hitschfeld 和Bordan等式的前向解决方法，这个解法是稳定的。由于这个解法是从表面后向求解，它只取决于在相关点和表面之间的测量值，范围r（即雷达与相关点之间的范围）的测量值不会影响方程的解。这是“终值法”一个优点，由于在大气高层降水粒子的雨滴谱未知，近似的去建立k-Z关系会很困难。由于综合常量要调整满足表面条件，解不会满足自然的最初条件。

为了去满足最初条件和PIA条件，去引入一个调整参数显得很有必要，不同的表面参考方法调整不同的模型参数，使得具有调整参数的Hitschfeld-Bordan解计算的总衰减等于PIA。 数学公式揭示了不同方法之间的差异和相似之处。

让我们引入一个纠正因子，定义为：

, (18)

如果模型参数alpha;，beta;精确地代表了k-Z关系，PIA估计和雷达校准没有出错，则等于1。这是当总衰减等于从具有假定的k-Z关系的检索的Z（r）计算的衰减的情况。 请注意，上述陈述的反义并不一定是真实的， 等于1并不一定意味着模型参数没有误差。

alpha;调整方法（Meneghini et al.1983; Meneghini and Nakamura 1990）将系数alpha;调整为因子并使两个衰减相等。订正的Z(r)由下式给出：

, (19)

该解法使用两种不同的表达格式，为了简单的分别比较Hitschfeld-Bordan方法（9）和“终值法”（14）。这两种形式的等价性可以通过使用关系式（18）转换。

雷达常数调整方法（Meneghini et al.1983; Meneghini and Nakamura 1990）调整雷达常数C，使两种衰减量相等，订正的Z(r)由下式给出：

, (20)

显而易见从式(9),(14),(19),(20)中得到，还有以下不等关系：

如果 εgt;1，则 gt; gt; gt; ,

如果 ε=1，则 = = = ,

如果 εlt;1，则 lt; lt; lt; 。

特别要提及以下几种特殊的情况，由式（21）表明，如果订正系数ε是1，这就表明不需要订正，那么解就是显而易见的，也可以在式（14）和（19）得到结论在表面S(r)=S(),因此。在另一方面，如果总的路径衰减很大（）,则在靠近衰减不是很显著（）降水顶层。

Kozu等人提出的方法与上述为k-Z和Z-R定律独立选择的方法相反（1991）,提出了一种方法，其中调整雨滴大小分布谱的数密度以满足PIA条件。 当被调整时，k-Z和Z-R关系中的系数相应地改变。 如果在alpha;或C调整方法中使用的k-Z关系中的未调整系数与初始中该模型中使用的系数相同，并且如果k-R关系几乎是线性的，例如，对于Ka波段雷达探测的小雨 那么这种方法给出一个类似于C调整方法给出的雨廓。（见附录。）

Fujita（1989）获取相邻范围二进制数据的比例，从而从方程式中消除雷达常数C。Z-R和k-R关系用于以R表示Z和k。最后，引入路径上的综合降雨率作为附加约束，使得联立方程组成为可解的。 可以使用PIA条件作为约束，而不是路径综合降雨率（PIRR）。 在这种情况下，从Fujita方法获得的解决方案与通过调整方法给出的解决方案相同（除了在有限合并效果中），因为两种方法都明确或隐含地调整雷达常数C，以找到以PIA约束（2 ）的解。 然而，Fujita方法需要非线性最小二乘拟合程序，并且非常慢。

3.迭代方法

迭代法（Meneghini 1978）直接通过假设k-Z关系的迭代来解决（2）式。 这种方法相对于Hitschfeld-Bordan方法的优点之一是可以为k-Z关系选择任何函数形式。 特别地，与表面参考技术和Hitschfeld-Bordan方法不同的是，需要假定功率beta;是恒定的，所以在迭代方案中不需要这个假设。

如果使用与常数beta;相同的幂律k-Z关系，则迭代法收敛于Hitschfeld-Bordan估计，条件是Hitschfeld-Bordan方法本身收敛。 如果在迭代中使用测量的Zm（r）作为Z（r）的第一近似，则对于固定r，解的第n个近似是n的递增函数。 然而，收敛是不统一的。

,

,

图1，描述了不同的降水检索方法，缩写词H-B、FV分别代表Hitschfeld-Bordan，“终值法”，其它符号在上文中定义。

在由近到远的范围向外移动，Hitchfeld-Bordan的迭代方法收敛，换句话说，如果Hitschfeld-Bordan估计是真实估计，即使在近距离范围内的估计近似正确的情况下，以有限次序停止的迭代解也将在远程范围内低估。即使Hitschfeld-Bordan解决方案发生偏差，我们可以通过以特定的顺序停止迭代来获得非发散的估计。但是，由于迭代不是在整个范围内收敛，这一估计不及Hitschfeld-Bordan估计的可靠性。

实际上，当Hitschfeld-Bordan方法收敛时，如果衰减很小，则二阶或三阶迭代通常给出相当好的估计。由于我们不知道使用k-Z关系而不是具有恒定幂的幂律的任何雨模型，并且由于迭代方法在幂律k-Z关系的情况下给出与Hitschfeld-Bordan解决方案完全相同的解决方案，所以我们不会再考虑这个方法了。

4.讨论

图1总结了本文综述的各种方法。一般来说，简单的Z-R方法在衰减不可忽略时给出负偏差估计 。[在本文中Z(r)用于计算Z-R关系中的降雨率R而不是Z（r）的方法被称为Z-R方法。] Hitschfeld-Bordan方法试图补偿这种衰减效应。从测量的Z m（r）廓线估计的补偿因子由给出[参见式（9）]。如果例如对于范围r的双向衰减为20 dB，则如果beta; = 1，则该因子必须为100或qS（r）= 0.99。如果qS（r）高估了1％，则补偿因子变为10000（或估计衰减为40 dB）并且反演到的降雨率变得高度偏差。另一方面，qS（r）被低估了1％，同样的因素变为50;即估计衰减为17 dB，相当于-3dB偏差。该示例显示该解决方案对于综合衰减的估计非常敏感。表面参考方法强制该估计在测量的最远点处独立获得的积分衰减，从而避免这些不稳定性。

图2显示了所有的纠正方法给出了几乎相同的廓线，在这个图和下面那个图中，订正方法应用于Ka波段机载雷达数据在对流和降水/电气化实验1991年7月在佛罗里达州附近（Iguchi et al 1992），雷达有两个通道，X波段（10 GHz）和Ka波段（34.5 GHz）及其波束匹配，所显示的数据全部取自海洋，表面参考方法所需的总衰减量由雨水区域与无雨区域的降雨量的降低计算得出。 使用固定的Z-R关系将所反演的Z廓线转换成R廓线。也在图中显示了X波段机载雷达数据使用Z-R关系来计算的降水强度。对于两个波段来说，Z-R关系

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