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对备选方案进行排序的多目标DEA方法

摘要：数据包络分析(DEA)作为一种效率评估工具在公共和私营部门组织中得到了广泛的应用。由于决策者往往对根据业绩对评价单位进行完整的排序感兴趣，因此，有效区分评价单位的程序对于设计智能决策支持系统来衡量和评价不同的备选方案以更好地分配资源是至关重要的。本文提出了一种在多目标优化方法下，利用共权DEA对方案进行排序的新方法。因此，理想距离的概念被用来作为一种选择一组权重的方法，使所有决策单元同时处于有利位置。一些数值例子和一个完整的计算实验表明，这里所采用的方法为排序备选方案提供了可靠的结果，并且在区分备选方案方面优于其他已知的方法，因此鼓励将其作为管理者和决策者的有价值的决策工具。

关键词:数据包络分析多目标；优化 Common-weight； DEA排名

1. 介绍

数据包络分析(DEA)是在Charnes, Cooper和Rhodes(1978)中首次引入的一种数学编程技术，用于评估具有多个输入和多个输出的生产系统中齐次决策单元(DMUs)的相对效率。随后的发展证明DEA是一个在许多领域进行绩效评估的有价值的工具，在医疗、教育、银行、制造业等领域有着有趣的应用。在DEA方法中，每一个DMU的效率得分都是由一个加权的输出和与一个加权的输入和的比值来计算的，这样的一组权重可以保证所评估的DMU得到最优的结果。

DEA所处理的问题与多准则决策(MCDM)中所研究的问题非常相似，在多准则决策中，必须根据几个相互冲突的标准对若干备选方案进行评估和比较，以便对备选方案进行排序和/或选择最佳方案。事实上，对许多决策者来说，在实际应用程序中对一组备选方案进行排序常常会变成一个相当棘手的问题，而这可能是他们所需要的专业知识和计算支持，特别是当备选方案和标准的数量增加时，这个问题得到了广泛的研究。特别是DEA和指标之间存在的方法论的关系方法(斯图尔特贝尔顿amp;维氏,1993年,1996年),变得清晰,当我们选择认同研究和标准输入和输出,使一些作者提出使用DEA作为指标的工具(Mavrotas amp; Trifillis柯南道尔和绿色,1993年,2006年,因为2000年)。

然而，当使用标准的DEA技术进行排序时，可能会出现一些困难。首先，DEA效率评分并不总是允许对备选方案进行完整排序，因为许多DMUs通常被归类为效率。缺乏歧视DEA应用良好的文档记录,特别是当输入和输出的数量相对的研究评估,和一些技术提出了缓解这个缺点(阿德勒,弗里德曼,2002年amp; Sinuany-Stern Angulo-Meza amp;林家,2002年,Hosseinzadeh Lofti et al ., 2013)。此外，有人认为，在排名上下文中使用不同的权重集是不合适的，因为这种灵活性阻碍了DMUs在公共基础上的比较(Kao amp; Hung, 2005)。此外，也有人注意到，一些被划分为低效的单元可能比某些高效单元的整体性能更好，这可能涉及到一个不合理的权重方案，该方案是由其自身效率的最大化引起的(Dyson amp; Thanassoulis, 1988)。

上述推理表明，当DEA用于排序目的时，强烈建议使用一组公共权重(CSW)，从而为排名提供了一个共同的基础。DEA文献中提出了几种方法来获得一组共同的权重集合(参见Kao amp; Hung, 2005, Liu amp; Peng, 2008, Wang, Luo， amp; Lan, 2011b及其参考文献)，包括基于多元统计分析、回归分析或交叉效率分析等方法。然而,目前的研究主要感兴趣的是这些方法基于多目标的观点,因为他们代表的自然推广传统DEA方法:寻找DMU-dependent的权重集,每个DMU是最有利的是广义的搜索一组公共的权重是最有利于所有的研究以同步的方式。这个想法可以通过同时最大化所有DMUs的效率得分来实现，从而产生一个多目标编程问题，可以使用折衷的编程方法来解决(tis, 2002, Kao amp; Hung, 2005, Zohrehbandian, Makui， amp; Alinezhad, 2010)。其他一些作者通过同时最小化每个DMU的输入加权和与输出加权和之间的差值来计算共同权重(Chen, Larbani， amp; Chang, 2009, Chiang, Hwang， amp; Liu, 2011)。这样就得到了一个等价于同时最大化效率比的线性规划问题。早期基于类似原理的方法是基于最大化所有单元的平均效率比(Roll amp; Golany, 1993)或最大化最小效率比(Troutt, 1997)。

本研究的目的是进一步研究DEA作为一种排序工具在MCDM中的应用，因此在接下来的章节中提出了一种新的基于DEA的排序方法，该方法将CSW概念与上述方法的多目标范式相结合。更具体地说，使用到理想值的距离的概念来获得同时对所有备选项有利的公共权重集。距离理想的DMU,定义为一个假想的单位消耗最少的输入输出最多的国家,一直在探索先前cross-efficiency评估的背景下,与每个DMU选择自己的重量最小化其距离这个理想DMU (Wang下巴,amp;罗,2011)以及排名上下文(Jahanshahloo, Hosseinzadeh Lofti, Khanmohammadi, Kazemimanesh, amp; Rezaie,他2010年,太阳,Wu amp;郭,2013)。但是，这里所采用的方法与前面的工作不同，因为它不依赖于这样一个理想单元的定义，而是依赖于在考虑聚合输入和输出度量时映射DMUs的二维空间中理想点的计算。

本文的其余部分组织如下。在此介绍之后，简要回顾了MCDM和DEA方法的主要内容，特别关注了最相关的CSW-DEA方法。第3节介绍了一种新的基于dea的方法，该方法结合了共同权重概念和多目标方法对一组备选方案进行排序。最后几节说明了该方法的有效性，并验证了其作为多迭代决策框架中的排序工具的应用:在第4节中，对一些数值示例进行了检查，第5节总结了计算研究的结果。最后，给出了一些结束语。

2. 方法论的背景

术语“多准则决策”用于描述一组正式方法，这些方法寻求在评估和比较多个备选方案时明确地考虑多个相互冲突的准则。近30年来，MCDA和DEA在专业文献中都受到了相当大的关注，在最初的几十年里相互独立发展。然而，在几个作者建立了一个num-之后MCDM方法与DEA方法之间的类比(Belton amp; Vickers, 1993, Doyle amp; Green, 1993, Golany, 1988, Stewart, 1996)，这两个领域正在以一种更加合作的模式发展。在这项工作中，这两种方法一起来解决一个排序问题。

首先，本节回顾了MCDM和DEA的一些主要概念和技术。

2.1指标预赛

对社会经济现象的多维性的认识以及在判断这些现象时需要考虑多个标准的必要性，激发了人们对多标准决策范式的兴趣。多准则决策问题的数学定义为

vopt (z1(x)， z2(x)，hellip;zk (x)) s t。

xisin;X (1)

其中X表示一组可能的备选方案或可行域，Xisin;X为一个包含决策变量的n维向量，zj为表示决策者想要达到的准则的目标函数，vopt为k个目标函数的同时优化。在这种情况下，由于准则的冲突性质，一般不可能找到一个达到所有目标的最优值的最优解。因此，解决一个多准则问题意味着找到一个有效的解决方案，它不能在不破坏至少另一个准则的前提下改变以改进一个准则。

可以使用许多不同的技术来处理任意的多迭代决策问题(Steuer, 1986)，其中一些技术本质上将多个目标合并为一个目标。特别流行的是加权法，它尝试对k个目标的加权和进行优化，以及折衷规划法，其中选择到理想点的最小Lp -距离的解，即包含所有目标的最优结果的解。这种方法完美地捕捉到了被称为泽莱尼选择公理的东西，即“接近理想的选择比那些较远的选择更受欢迎”(泽莱尼，1982)。

然后，如果zisin;Rk表示理想点的坐标，通过考虑Lp度量的族，那么选择一个尽可能接近理想点的解的目标就实现了最小值k

lambda;i是体重与第i个目标函数和参数1le;ple;infin;的相对贡献个人的偏差有关。特别是,当p = 1的距离措施的总和个人k目标偏差,这是最长的几何意义上的两个点之间的距离,或“曼哈顿距离”,当p = 2的欧几里得距离理想点被认为是最终,p =infin;,最大的偏差完全主宰的距离测量。这样，p = 1表示目标间的总可补偿性，p =infin;表示目标间无可补偿性。因为p的其他值不容易解释，所以它们是最常用的。

2.2。DEA预赛

让我们考虑n个生产单元或DMUs，每一个都用r的输入和s的输出来评估。设xij和yik为非负值，分别表示所消耗的量

图2.1单元

对于第j个输入和第i个备选项的第k个输出所产生的量，i = 1，hellip;n, j = 1，hellip;r, k = 1，..s。同理，设习和yi分别为单位i输入的r维向量和单位i输出的s维向量，如表1所示。

原DEA比率模型(Charnes et al ., 1978)效率测量的比率被定义为输出的加权和加权和的输入和选择是允许选择自己的输入和输出的权重最有利的方式,只要有效成绩的研究计算出相同的重量不超过一个。因此，将uq和vq表示为每一个待求DMU q的向量输入和输出权值，对于每一个qisin;{1，hellip;，n}，分别制定如下非线性程序:

εr =ε1rεs =ε1s 1 r和1 s是适当的单一向量维度和ɛ任意小正的常数,使获得的权重为零。由此可见，每个单元的效率相对于其他单元进行了评级。此外，可以这样说，如果DMU q不能通过这个权重选择过程获得最大效率等级(Eq = 1)，那么它也不能通过任何其他权重集获得。上述问题可以适当地转化为一个等价的线性程序，通常称为CCR模型，该模型以其作者Charnes, Cooper和Rhodes的名字命名:

从图中可以看出，为了得到所分析的所有单元的效率得分，必须解决问题(4)n次。上面的方法对于识别那些行为低效的DMUs特别有用，但是如果分析的目的是根据单元的性能对其进行排序，那么它有一些重要的缺点。通常，几个DMUs将被评估为有效的，相应的最优权重将在不同的单元之间变化。因此，尽管DEA方法能够将单元划分为有效组和非有效组，但模型并不总是在每个组中提供排名(Sarkis, 2000)。

已提出若干战略，以便在评价单位之间实现更好的区分。在不需要决策者提供先验信息的方法组中，Angulo-Meza和Lins(2002)强调了三种主要的方法:超效率、交叉评估和多目标方法。超效率模型通过消除模型(4)中的qth约束，使得效率得分大于1，但可能会出现一些不可行的问题。交叉效率模型试图用同行评价的观点来补充DEA模型的自评价观点，从而计算效率得分，平均n个效率值，当使用n个DMUs的最优加权方案时得到的效率值。模型(4)可能有多个最优解，这使得交叉效率评估变得复杂，因此需要考虑一个次要目标，以确保每个DMU有一组唯一的最优权值，该最优权值可能对另一个DMU具有良好或积极的性能。多目标DEA模型改进差异(4)通过考虑额外的目标模型,最初提出的李,里夫斯(1999)和进一步开发的其他作者(落下帷幕,Orkcu, amp; Celebioğ卢,2010年,Ghasemi,伊格那丢,amp; Emrouznejad, 2014),然而保持自我评价过程的计算效率分数。这些策略或多或少地解决了歧视问题，但仍然是基于单位相关的权重方案。为了建立一个公共基础进行比较和排名单位DEA的背景下,一些作者暗示的可能性降低了灵活性的选择输入和输出的权重通过使用一组通用的权重评估表现在相同范围内的所有单位。

2.3Common-weight DEA模型

DEA中共同权重的概念在90年代后期开始受到越来越多的研究兴趣，主要是在一些工作证明其适用性之后(Roll amp; Golany, 1993, Roll, Cook， amp; Golany, 1991)。从那时起，DEA中常用权重法的研究逐渐发展起来，由于其理论和实践上的趣味性，这一领域仍在不断探索。

各种不同的方法研究了多变量分析技术,如相关分析或非线性判别分析(1997年弗里德曼amp; Sinuany-Stern Sinuany-Stern amp; Friedman, 1998),以及cross-efficiency的概念(柯南道尔,1995年,王amp;下巴,2010)被用来获得对所有研究常见的权重。最近,王et al。(2011 b)开发了一个世界基督教联合会方法基于最小二乘回归,气和郭(2014)介绍了世界基督教联合会方法使用香农熵,雷蒙,鲁伊斯,和Sirvent(2012)试图minimiza-tion世界基督教联合会的偏差从传统DEA权重的有效研究和王罗,梁(2009)提出了一个解决一系列LP问题的过程,获得一组的权重往往是常见的。

特别有趣的是通过使用多迭代范式来寻求CSW计算的研究路线，而这个精确的领域正是这项工作的贡献之处。表达的想法作为多目标DEA的问题程序可以归功于Kornbluth(1991)及其应用在日间环境中自然出现,直观的扩展传统的DEA范式:而不是让每个DMU选择最优惠的权重集,以最大化自己的效率,选择一组独特的输入和输出权重同时受益的所有选择。这种思想导致了n效率比的最大化，n效率比被表示为一个多目

资料编号：[4991]