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基于个人或群体的最小成本和最大回报的两种共识模式

巩在武，张欢欢，Jeffrey Forrest，李廉水，徐晓霞

摘要：在一些重要的团体决策中，代表集体利益的协调者已经预先确定并拥有有效的领导力和强大的人际沟通和谈判技巧，这对达成共识至关重要。在达成共识的过程中，协调者需要说服每个人通过支付最低成本来改变他/她的意见，达成一致意见，而个人必须修改并逐渐接近这个共识意见，期望获得最大的赔偿。本文分别针对所有个体和特定个体提出了两种最小代价模型，通过探索以原始对偶线性规划理论为基础的对偶模型，揭示了这两种模型的经济意义，并建立了条件这两个模型在这两个模型中具有相同的最佳共识意见。数值例子证实了理论分析的有效性。

1.介绍

群体决策（GDM）（Arrow，1963; Palomares，Liu，Xu，andMartiacute;nez，2012）要求众多决策者（DM）的主观判断来解决复杂和非结构化问题，如谈判和冲突解决方案。在GDM过程中，不同的DM可能代表不同的利益群体，即使他们有相同的兴趣也可能有不同的价值或偏好。在GDM中，大多数DM在经过深思熟虑的讨论和多轮谈判之后最终可能会与最相关的替代方案达成某种程度的共识。 （Eklund，Rusinowska和De Swart，2007年，2008年;法国，1981年; Lehrer＆Wagner，1981年; Liu＆Zhang，2013年; Palomares，Martiacute;nez和Herrera，2014年）是做出团体选择的基础。近年来，在共识测量和共识建模领域取得了丰硕的成果。

1.1共识措施

共识测量主要是关于DM的意见（偏好，兴趣）之间的相似性或不相似性。早期的文献提出了一种“硬”的方法（Bezdek，Spillman，1978; Spillman，Bezdek和Spillman，1979）来衡量一个群体的共识水平，其中共识水平的值在0和1之间。指数越接近1，共同体水平越高;相反，指数越接近0，共识水平越低。对共识建模的“硬”方法是基于这样一个前提：团队内部达成了完全一致的协议，这也被TapiaGarciacute;a，Del Moral，Martiacute;nez和Herrera-Viedma称为乌托邦协议2012）。（Cabrerizo，Moreno，Peacute;rez，＆Herrera-Viedma，2010）难以达成如此完整的共识。Kacprzyk和Fedrizzi（1986,1988,1989），Kacprzyk和Fedrizzi（1989,1992,1997）和Fedrizzi，Kacprzyk和Nurmi（1993）提出了一种“软”方法，而不是“硬”方法来衡量共识水平也被称为“软”共识度水平（Chiclana，Tapia Garcia，del Moral，＆Herrera-Viedma，2013）。由于GDM中的关键因素是基于人类思维和主观判断，因此大多数专家只希望达到模糊多数意义上的最佳共识。模糊决策理论和语言决策理论等软决策理论的发展为近年来的“软”方法导向研究提供了丰富的工具（Ben-Arieh＆Chen，2006; Bezdek et al， 1978; Cabrerizo，Alonso，Peacute;rez，＆Herrera-Viedma，2008; Carlsson等，1992; Dong，Xu和Li，2008; Fedrizzi，Kacprzyk和Zadrozny，1988,1999,2007; TapiaGarciacute;a等， 2012; Herrera-Viedma，Martinez，Mata，＆Chiclana，2005; Kacprzyk＆Fedrizzi，1989; Kacprzyk等，1997; Parreiras，Ekel，＆Morais，2012; Xu，Wu和Zhang，2014; Xu，Li， ＆Wang，2013; Xu＆Cai，2013）。通常，通过诸如欧几里得，余弦和Jac卡距离函数的距离度量来计算“软”一致度级别。最近，奇克拉纳等人。 （2013）通过探索统计比较方法证明不同的距离函数对达成共识的速度有显着不同的影响。

1.2共识建模

优化一致性建模基于假设存在最佳共识意见，因此该意见与个别DM的意见之间的偏差应尽可能小。聚合模型假设存在一个合适的聚合算子，它能够将所有个体DM的意见汇总到共识中（Ben-Arieh＆Easton，2007; Ben-Arieh，Easton，＆Evans，2009; Dong，Xu ，李，＆冯，2010;董丽，徐，顾，2014;傅杨，2010，2011，2012;徐等人，2013;徐，2009，2012;徐和蔡，2011; Dong，Xu，＆Li，2011; Zhang，Dong，＆Xu，in press）。技术上来说，共识模型主要是通过使用优化方法构建的，并且属于“硬性”方法。然而，每个优化模型都是基于以下假设而构建的：经过多次动态修正和修改后，个别DM的意见没有超过一致意见的容忍误差（Bryson，1996,1997; Bryson＆Joseph，1999; Dong等，2014; Zhang等，出版中）。这意味着共识建模实际上是“软”和“硬”方法的结合。

在过去的几年中，网络技术的快速发展为来自世界各地的大量用户提供了更方便的平台，以自由交流，分享和交流想法。因此，共识建模还需要在共识决策过程中纳入反馈机制：Alonso，Peacute;rez，Cabrerizo和Herrera-Viedma（2013）探索了一种新的Web 2.0社区的语言共识模型，这增加了共识趋同的速度; Peacute;rez，Cabrerizo，Alonso和Herrera-Viedma（2014）建立了一个新的协调模型，它特别考虑了DM的异质性;和佩雷斯，Wikstrouml;m，Mezei，Carlsson和Herrera-Viedma（2013）利用模糊本体的力量建立了一个共识模型，该模型处理谈判心理。在许多有争议的决策过程中，需要时间，需要付出努力，然后需要花费成本说服DM在反馈过程中转变观点。为了对这种共识决策进行建模，Ben-Arieh和Easton（2007）制定了一个最小成本共识模型，以获得所有DM的最佳收敛点：在协商一致过程中引入代表集体利益以协助达成共识的调节者（Bryson，1996; Cabrerizo等人，2008,2010; Herrera，Herrera-Viedma，＆Verdegay，1996; Herrera-Viedma等人，其中他/她已经预先确定并且具有有效的领导能力和强大的人际沟通和谈判技巧。，2005，Herrera-Viedma，Alonso，Chiclana，＆Herrera，2007,2014; Mata，Martiacute;nez，＆Herrera-Viedma，2009; Palomares等，2012,2014;Peacute;rez等，2013; TapiaGarciacute;a等，2012）。一方面，主持人试图通过消耗所有可能的资源形式（如物质，财务，人力和信息）来说服大多数人符合集体利益或价值观。他/她总是希望他/她花费的资源尽可能少（Ben-Arieh＆Easton，2007; Ben-Arieh等人，2009; Zhang等人，2011）。另一方面，每个DM都会关注自己的利益。每个DM都希望他/她的意见值得特别考虑，或者他/她应该通过在共识决策中扮演重要角色来展示自己的意义和价值。当他们不得不改变他们的意见或提供更多有用的意见时，他们应得到补偿或奖励。每个个人DM总是希望他/她的回报尽可能大。最小成本和最大收益分别是主持人的最优目标和各个DM的最优目标，它们在数学上相互对立，有助于进一步探讨达成共识的问题，同时考虑最小成本并获得最大回报。

考虑到主持人的兴趣，Ben-Arieh和Easton（2007）以及Ben-Arieh等人（2009）分别提出了线性最小成本共识模型和二次成本共识模型，以获得最佳共识意见。最近，张等人。 （2011）和Zhang，Dong和Xu（2013）将Ben-Arieh和Easton的工作推广到一个新的共识模型和聚合算子，以在给定的成本预算下获得最大共识程度。然而，关于共识模型的研究很少考虑个人的利益。实际上，达成共识的过程需要平衡现代人和个人的利益。原始 - 双重最优规划理论将有助于讨论如何通过保留双方的利益来获得最佳的共识意见。

本文通过构造原始 - 对偶线性规划模型讨论了两种共识决策问题。首先，当所有人都被纳入考虑范围时，最小成本的最初问题和最大化回报的双重问题就是为所有人达成最大共识。其次，当大多数人的意见没有超过主持人所提出的共识意见的容忍误差（或数学上，在邻里）时，个体DM接受共识意见，但对退货一无所知，而只有除非主持人向他们支付更多款项，否则少数几个DM坚持他们的意见，这意味着他们有条件接受共识意见。为了方便，我们假设只有一个人需要支付。因此，对最低成本的最初问题以及就个人达成最大共识而言的最大回报双重问题也进行了调查。

此篇文章的结构如下。第2节讨论了我们问题的描述。第3部分基于最低成本共识问题和所有个人的最大回报构建了原始 - 对偶模型。第4节通过介绍其双重属性并探讨它们之间的关系讨论了原始 - 对偶模型的经济意义。同样，第5部分建立了基于最小成本和最大回报的原始 - 对偶模型，只考察一个人，并研究这些模型的经济意义。第6节构建了这两种原始 - 对偶模型具有相同最佳共识的条件。最后，第7节将提供未来研究的结论和问题。

2.问题描述

假设有m个决策者（DMS）D = {d₁... d_m}，参与GDM。 让o_i属于R代表在DM中DM di（i 属于 M = {1; 2; ...; m}）的意见。 不失一般性，我们总是假设o₁ lt; o₂lt; ... lt;o_m。 根据美国传统词典，共识被定义为“一个团体作为一个整体达成的意见或立场”。 这意味着在群体决策中，理想的状态是存在一个理想的观点o₁=o₂..=o_m。 当这样一个理想的观点得出时，我们会得到一个完整和一致的协议或乌托邦共识。但是，根据Ness和Hoffman（1998）的观点，协商一致意味着“当大多数成员同意明确的选择时达成的决定，而少数反对它的人认为他们有合理的机会来影响选择; 所有团队成员都同意支持该决定， 这意味着这种理想的观点是绝对的，而且很难获得，那么主持人不得不提出一个相对令人满意的意见来满足大多数人的偏好。我们称这种orsquo;为可接受的共识意见（或者，简单地说，一致意见）。首先，我们假设存在orsquo;。在事实上，它可以通过稍后构建的编程模型来解决：让|orsquo;-o_i|是个人的意见和共识orsquo;之间的偏差。显然，值越小，个人的意见越接近共识意见。w_i表示主持人支付的单位成本说服个人d_i改变他/她的意见。然后所有个体成本和表示主持人说服的费用。个人d_i这个值越小，个人意见和共识意见之间的距离越近，并且个人di的成本越低。

对于所有人，因为他们需要提供有价值的东西意见，他们也必须动态调整意见以符合对共识意见orsquo;，因此他们应得到一些补偿，根据决策意见的变化进行补偿。让y_i为单位回报

。对于每个人来说，补偿值越大，总收益越高。我们假设所有的人都是理性的，而且他们只需要适当的单位价值回归，这也有助于达成共识。我们也证明这个单位的回报率实际上在经济意义上是一个影子价格（Jensen＆巴德，2003年）。从主持人的角度来看，他/她希望实现最大的共识，同时支付所有的最低成本个人。从每个人的角度来看，他/她希望为他/她的变化获得最大的赔偿意见。在数学上，这两个目标是相互对立的。接下来，我们构建两个数学规划的共识模型，并探讨这些模型之间的关系。

3.为获得原始最低成本及其对偶最高回报问题

在第2节中，如果我们增加由主持人支付的所有成本以说服个人d_i，那么我们得到一个加权算术平均值。它表示支付的总成本由主持人说服所有的个人DMs到达达成共识。对于主持人来说，这个值越小，更接近个人意见和共识之间的距离意见，以及对所有个人的总成本较低。如果我们添加所有的回报预计由改变他/她的意见，那么表示总收益所有人都希望改变他们的观点。对于所有这些个人，值越大，所有人的预期总回报越高。现在所有决策个体的成本和可以看作是总成本（资源），由主持人支付以获得共识。总成本的值越小，代表将获得更大的共识程度。因此，我们在前提下构造一个非线性优化模型有个共识的意见，以便获得的总成本共识是最低限度的：

在这个模型中，如果，则一定存在，且。那么上述条件成立。 线性规划模型LP（w）和非线性规划模型P（w）的格式如下：

这就是所谓的加权线性共识问题。很容易证明这一套可行的解决方案， 模型（2）的解是非空的。它也可以表明，基本可行解的数量模型（2）是有限的，并且模型（2）的最优解可以是很容易解决（Jensen＆Bard，2003）。在模型（2）中，目标函数 可以用下式表示被认为是获得该项目的最低总成本最大共识。 限制条件（2-1）表示对共识意见和个人意见之间的偏差的限制。 显然，在限制条件下达成最大共识的成本尽可能小（2-1）

和（2-2）。 接下来，我们进一步探讨其中的具体含义讨论模型（2）的双重问题。 随着原始对偶线性规划理论的双重问题模型（2）如下：

模型（3）是模型（2）的双重问题。 这很容易证明即可行解的集合到模型（3）是非空的。 基本可行解的数目是有限的，而且解的数量是有界的。 我们想进一步提到这一点如果存在最优解对于模型（2），那么显然orsquo;gt;0, 基于双线性的互补松弛特性（Jensen＆Bard，2003）

程序设计理论，限制条件的等同性（3-1）成立，即条件y<s

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