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一个用来描述网络中自我的综合概念框架

罗纳德·卢梭^a，b，赵星^c，*

a 非洲联盟（非盟），IBM，

b比利时3000鲁汶鲁汶ICU数学系

c中国200241上海华东师范大学信息科学系商学院

文章信息

文章历史：

2014年9月13日被收录

2014年12月7日修订版被收录

2014年12月8日被接受

2015年1月3日网络可用

关键词：

网络分析

h指数

h度

a指数

g指数

齐普夫列表

摘要

在这个投稿中我们考虑了在一个网络中被称作自我的一个特殊节点。我们结合齐普夫列表和自我方法，提出了一个为描述这个特殊节点的概念框架。在这个框架中，我们将文献中介绍的不同形式的h指数，尤其是h度统一化。同样地，将不同形式的g指数，a指数和R指数统一。我们专注于纯数学和逻辑概念，将已存在的文献作为参考实例。

⑥2014年爱思唯尔有限公司保留所有权利

1. 介绍

网络分析中最近有一项有趣的发展，即h型网络测量的出现，例如游说指数(Korn, Schubert,amp;Telcs, 2009)，h度(Zhao, Rousseau,amp;Ye, 2011)，合作能力指数(Schubert,2012a)，Hw度(Abbasi, 2013)和C指数(Yan, Zhai,amp;Fan, 2013)。这些指标提供了探索网络的新方式。另外，实证研究(Schubert, 2012a; Zhao, Zhang, Li, Tan,amp;Ye, 2014)表明用于h指数的Schubert-Glanzel模型同样适用于网络。

在本文中，我们专注于网络中一个被称为自我的特殊节点。因此我们的方法不同于主要侧重于将网络看做一个整体的案例 (Glanzel, 2012)。我们将进一步定义的齐普夫列表和自我方法相结合，以提出一个概念性的框架来描述网络中的这个特殊节点。在这个框架中，原h指数也可以被转换成一个h度 。这样我们统一了上述作者介绍的方法并为应用于网络的h型指标的话题提供了一个鸟瞰。重点在于纯粹的数学和逻辑概念，引起实例的读者对现有文献的注意。

2. 在一个无向未加权网络中的自我

在本节中我们考虑一个无向未加权的网络并考虑用不同方式来描述自我，即节点n，作为其最接近的邻域。著名的中心测量例如邻近中心性、离心率、中介核心性、卡茨影响和特征向量中心性当在计算时都不考虑（除了非常小的网络）节点最近邻域之外的需求信息(Bonacich, 1987;Katz, 1953; Otteamp;Rousseau, 2002; Wassermanamp;Faust, 1994)。节点n的一阶邻域被表示为N1(n)并由与n相连的所有节点组成。这样的节点被称为一阶邻点。节点n的二阶领域由与一阶邻点相连的所有节点构成，其中不包括节点n和所有的一阶邻点。这组节点被表示为N2(n)。当我们明显只使用一阶邻点的时候，我们将节点n的一阶领域表示为N(n)。

2.7. 一个二进制测量

如果n节点拥有至少一个邻点（因此有一个关联），那么二进制测量c(n)的值为1，；如果节点n没有邻点，那么值为0。这种二进制测量区分了无关联的单独点和至少连接了一个其他节点的节点。

2.2.度中心性(Wasserman #aFaust, 7994)

被标记为deg(n)的节点n的度中心性与n节点的一阶邻域中的节点数是相等的；因此它等于相邻于节点n的关联数。

2.3. 游说指数

Schubert, Korn, and Telcs (2009)在一个无向未加权的网络中定义节点n的游说指数为最大的整数l(n)，这样节点n拥有至少l(n)的邻点，这些邻点的度中心性至少为l(n)。

2.4.二阶游说指数

二阶游说指数的定义方式与（一阶）游说指数相似。唯一的区别是其使用N2(n)而不是N1(n)。显然，定义k阶游说指数是有可能的，但正如我们没有看到任何高阶游说指数的应用，我们没有这样做过。

3. 在无向加权网络中的自我

在加权网络中，权重与每个关联都相关。为了简单起见，我们假定这个权重是一个（暂时）不同于0的自然数。

3.1. 节点强度

一个节点在无向加权网络中的节点强度被定义为它的所有关联的强度（或权重）之和(Barrat, Barthelemy, Pastor-Satorras,amp;Vespignani, 2004)。其被表示为ds(n)。当所有的权重都等于1（相对于未加权的情况下），节点强度就成了节点的度中心性。

3.2. 一个节点的h度

Zhao et al. (2011)介绍了在加权无向网络中一个节点的h度，如下。

定义 在无向加权网络中，节点n的h度(dh)相当于dh(n)。如果dh(n)是最大的自然数，那么在节点n拥有的dh(n)个关联中的每一个关联都有至少为dh(n)的强度。

如果所有的权重都是1或0（只有当没有关联时为0），那么h度与二进制测量c(n)一致。

Schubert在2012年提出了合作能力指数，表示为 (Schubert, 2012a)。这个概念被引入了一个合著网络并被定义为最大自然数P，这样一个作者至少有P个合作伙伴并与他们合著了至少P篇文章。值得指出的是，这个定义能够适用于其他网络譬如电影演员网络，性接触网络以及爵士乐手合作网络(Schubert, 2012a, 2012b)。很明显，所有的这些案例都只是h度在无向网络中的实例(Rousseau, 2012; Schubert, 2012a)。实际上，只需要运用合著文章的数量、合作电影、性接触、联合录音和记录作为权重就足够了。

3.3. w游说指数(Zhao et al.. 2011)

这个定义将游说指数拓展到了加权无向网络的情形中：

被表示为IW(n)的节点n的w游说指数（加权网络游说指数）被定义为最大的整数k，故节点n至少有k个邻点，它们的节点强度至少为k。

显然，如果关联是无权重的，那么w游说指数与原始游说指数一致。

3.4.一个节点的加权关联度(Abbasi, 2013)

在(Abbasi, 2013)中作者研究了无向加权网络并介绍了作为节点n的邻点的节点m的加权邻域度，被定义为wD(n,m)，作为节点m的度与它和节点n之间关联的权重的乘积。如果网络未加权，wD(n,m)则表示节点m与节点n连接时节点m的度；否则wD(n,m)等于0。

3.5.阿巴西的Hw度

Abbasi(2013)将节点n的Hw度定义为最大的整数，故这个节点的最高k邻点中每一个节点的wD值都至少为k。于是这个值k被称为Hw度。

3.6.一个节点的加权链接强度

将被视为节点n邻点的节点m的加权关联强度是节点m的强度与它和节点n之间关联的权重的乘积，被定义为wS(n,m)。如果网络未加权，那么wS(n,m)是节点m与节点n连接时节点m的度；否则wS(n,m)等于0。

3.2 Hw强度

Yan et al. (2013)将节点n的Hw度定义为最大整数，故这个节点的最高k邻点中每一个节点的wS值都至少为k。这个值k就被称作节点n的wS度。实际上，Yan et al. (2013)在一个合作网络中定义了这一概念并用c(n)来表示它。当然他们的概念可以适用于任何加权网络。

在下一节中我们将展示所有的这些概念在使用齐普夫列表时如何统一。

4.齐普夫列表

考虑一个集合S中的每个元素以一个自然数为特征，称之为它们的量级。S中的元素根据这些量级排序。有着相同量级的元素以任意顺序排列，但有不同的等级。在 Rousseau, Guns, and Liu (2008)中这样的列表被称为齐普夫列表，这样的排名被称为齐普夫行列。齐普夫列表的h指数被定义为最高等级，这样对应于齐普夫等级h的量级至少等于h。很明显，我们不仅可以决定每个齐普夫列表的h指数，还可以决定g指数(Egghe, 2006a, 2006b)，a指数(Jin,2006)和R2指数(Jin, Liang, Rousseau,amp;Egghe, 2007)。

现在已经弄清楚上述提到的措施如何被视为适当的齐普夫列表的h指标。首先我们考虑在节点n邻域的节点。

4.1.游说指数

一个节点与它的邻域N(n)中的每个节点相联是它的度中心性。然后节点依据度中心性排名，生成一个将度中心性作为量级的齐普夫列表。这个列表的h指数即为节点n的游说指数。

4.2. w游说指数

一个节点与它的邻域N(n)中的每个节点相联是它的节点强度。然后在N(n)中的节点依据节点强度排名，生成一个将节点强度作为量级的齐普夫列表。这个列表的h指数即为节点n的w游说指数。

4.3.阿巴西的 Hw度

我们将每个在邻域N(n)里的节点m，它的度与连接节点n和节点m的关联的权重间的乘积相联系，即为wD(n,m)。用这个乘积作为m节点的量级并计算相应齐普夫列表的h指数以生成阿巴西的 Hw度。

4.4. hw强度

一个节点与在它的邻域N(n)中每一个节点m都相联是它的量级wS(n,m)。再次将wS(n,m)作为m节点的量级，这个齐普夫列表相应的h指数即为自我节点n的Hw强度。

如上所述，我们不仅可以将一个h指数与每一个齐普夫列表相联系，还可以将一个g指数、a指数和R2指数（或一个R指数）与每一个齐普夫列表相联系。其中一些已经在阿巴西 (2013)中明确地介绍了，但其他的一些却从未被提及。由于这是一次简单的齐普夫列表介绍，因此我们不再讨论更多。

在所有这些情况下，我们将一个量级与节点n邻域中的一个节点联系起来。然而，同样可以将一个量级与和节点n毗邻的每个关联联系起来，由此生成另一个齐普夫列表。

4.5. h度

h度可以通过一个齐普夫列表来表示。实际上，关联是根据它们的权重（代表量级）来排名的。这个列表的h指数即为n节点的h度。

4.6.作为h度的游说指数

如果我们通过将一个相邻节点的度分配给连接这个节点和n节点的关联，从而将n节点的邻域变成一个（本地）加权网络，那么n节点的h度就等于它的游说指数。

当然，与相邻节点相关联的量级同样可以分配给n节点和相邻节点的关联。这将致使关联的再加权。使用新的权重作为齐普夫列表的量级说明w游说指数、阿巴西的 hw度以及Hw强度也可以被视为与关联相关的齐普夫列表的h指标（并且不止作为与节点相联系的h指数）。这样，h度的概念成为了另一个统一的概念。

5.定向网络的指标

在(Zhao et al., 2011)中作者就已经指出他们的定义可以轻易适用于定向加权网络的情况，由此产生了一个内 h度和一个外 h度。这个观察结果在(Zhaoamp;Ye, 2012)中得到了阐述。为了清晰起见，我们在一个定向网络中表述内h度和外 h度的定义。

定义 在一个定向加权网络中，节点n的内 h度(dh-)等价于dIN-h(n)，如果dIN-h(n)是最大的自然数，那么节点n有dIN-h(n)个关联，每个关联的强度至少等于dIN-h(n)。生成了n节点的内 h度的关联集（由dIN-h(n)个关联组成），被称为这个节点的内h度核心。将单词内替换为单词外则可以得到外h度和外 h度核心的定义。

除了在无向未加权的网络中的游说指数，我们也可以在定向网络中定义一个内游说指数和一个外游说指数。节点n的内游说指数等于最大整数I-(n)，故节点n有至少I-(n)个内邻点，这些内邻点的度中心性至少为I-(n)。同样的，我们将内替换为外可定义外游说指数。

6. h指数作为一个网络指标的标准

在前面章节应用到的程序导致了一个问题：标准的h指数(Hirsch, 2005)在某些网络中能被描述为一个h-degree吗？这确实是可能的。考虑一个以作者为其自我（节点A）的定向网络。一个定向关联将一个作者与其所有文章以从文章到作者的方向相联。在网络中的其他关联都是文章之间的“引用”关联，例如，如果p引用了m，那么m（一篇与A合著的文章）和文章p之间存在一个关联。这样就存在一个明确的定向网络。这样一个相邻节点m的内度等于m收到的引用数量。因此，A在这个网络中的游说指数等于其（标准）的h指数。

考虑现在这个相同的网络，但将p节点的内度分配给连接p节点和m节点的关联。那么这个表示量级的齐普夫列表的h指数会产生h1指数作为被导入量 (Zhai, Yan,amp;Zhu, 2014)。

最后，我们描述另一种方法来获取标准h指数作为一个h度。当我们想同时研究几个自我时，这种方法是富有意义的。考虑一个由文章和作者两部分构成的网络。如果作者A是文章a的作者，或者是文章a的作者中的一位，那么作者A和文章a是相关联的。文章a与其每一位作者都相关联。关联根据被收到的引用数量（在一个给定的引用窗口中）加权。显然，定义为HD(A)的作者A的h指数等于A的标准h指数，见图1的上一行。我们注意到，在这种方法中，我们必须允许关联的权重为0，对应于0引用的文章。在这个加权双边网络的下一列中展示出的文章的h指数，等于作者的数量（如果被收到的引用数量至少等于作者的数量），在其他情况下还等于被收到的引用数量（可能是0）。

7.结论

齐普夫列表、齐普夫排序和齐普夫列表的h指数这些概念可以通过节点或关联的量级，被用于描述大

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