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网络中的自我表征的一般概念框架

罗纳尔多·罗素 赵星辰

摘要：在这个贡献中，我们考虑一个网络中的一个特定节点，称为自我。我们结合Zipf列表和自我措施来提出一个概念框架，acterizing这个特定的节点。 在这个框架下，我们统一了不同形式的h指数，在特别是在文献中介绍的h度。 类似地，不同形式的g-指数，a指数和R指数是统一的。 我们专注于纯粹的数学和合乎逻辑概念，参考现有文献中的实例。

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1.介绍

最近的一个有趣的发展是出现了h型网络措施，如大厅指数（Korn，Schubert，＆Telcs，2009），h学位（Zhao，Rousseau，＆Ye，2011），合伙能力指数（Schubert，2012a），高等学位（Abbasi，2013）和C指数（Yan，Zhai，＆Fan，2013）。这些指标提供了新的方法

用于探索网络。此外，实证调查（Schubert，2012a; Zhao，Zhang，Li，Tan，Ye，2014）表明h-index的Schubert-Glauml;nzel模型（2007）适用于网络。

献中，我们专注于网络中的一个特定节点，称为自我。因此我们的方法不同从例如（Glauml;nzel，2012），其中主要关注于整个网络。我们结合Zipf列表，进一步定义和自我提出一个概念框架来表征网络中的这个特定节点。在这个框架下，原来的h指数也可以转换成h度。这样我们统一了作者介绍的方法提供了适用于网络的h型指标主题的鸟瞰图。焦点是纯粹的数学和逻辑概念，将读者参考现有文献的实例。

2.无向、未加权网络中的自我

本节中，我们考虑一个无向的，未加权的网络，并考虑不同的方式来表征自我，节点n，作为其邻里的一个功能。着名的中心性措施如亲密中心，偏心，中间性中心性，Katz的影响和特征向量中心性不被认为是计算（极端的）小网络是一个例外）需要一个节点直接邻居之外的信息（Bonacich，1987;卡茨，1953年; Otte＆Rousseau，2002; Wasserman＆Faust，1994）。节点n的一阶邻域表示为N 1（n）和由连接到n的所有节点组成。这样的节点被称为一阶邻居。二级社区的n由链接到第一阶邻居节点n的所有节点和被排除的所有一阶邻居组成。这套是表示为N 2（n）。当我们清楚的是我们只使用一阶邻居，我们表示一阶邻域节点n为N（n）。

2.1 二进制度量

如果节点n具有至少一个邻居（因此一个链路），则二进制度量c（n）取值1，如果有不。

该二进制度量区分连接到至少另一个的未连接的单个和节点节点。

2.2 学位中心（Wasserman＆Faust，1994）

节点n的度中心性，表示为deg（n），等于节点n的一阶邻域中的节点数;因此它等于与n相邻的链接的数量。

2.3 大堂指数

Schubert，Korn和Telcs（2009）将无向非加权网络中节点n的大厅索引定义为最大整数l（n），使得节点n具有至少具有至少等级中心度l（n）的l（n）个邻居。

2.4 二级游说指数

二阶大厅索引的定义方式与（一级）大厅索引类似。 唯一的区别是一个使用N 2（n）

而不是N 1（n）。 显然，可以定义第k个阶段的游说指数，但是我们没有看到任何应用程序更高级的游说指数我们不介入这个。

3.在无向加权网络中的自我

在加权网络中，权重与每个链路相关联。 为了简单起见，我们假设这种重量是自然的数字，不同于零（现在）。

3.1 节点强度

无向加权网络中节点的节点强度被定义为全部的强度（或权重）的总和它的链接（Barrat，Bartheacute;lemy，Pastor-Satorras，＆Vespignani，2004）。 这被表示为d S（n）。 当所有权重等于1时（对应于未加权情况），节点强度成为节点的中心度。

3.2。 节点的h度

（2011）在加权无向网络中引入了节点的h度，如下。

定义。无向加权网络中节点n的h度（d h）等于d h（n），如果d h（n）是最大的自然

数字，使得n具有至少等于d h（n）的强度的d h（n）链接。如果所有权重为1或0（零，仅当没有链接时），则h度与二进制度量c（n）重合。在2012年舒伯特提出合伙能力指数，表示为？ （Schubert，2012a）。这个概念被介绍了一个共同作者网络，被定义为最大的自然数P，使得一个演员至少有P个伙伴与他们他/她至少有P篇联合文章。有人指出，这个定义可以适应电影等其他网络演员网络，性相遇网络以及爵士音乐家之间的合作（Schubert，2012a，2012b）。很明显所有这些情况只是一个无向网络中的高等学位图示（Rousseau，2012; Schubert，2012a）。确实，使用联合文章，联合电影，性遭遇和联合记录会议记录的数量就足够了权重。

3.3 w-lobby指数（Zhao et al。，2011）

该定义将大厅索引扩展到加权无向网络的情况：该表示为l w（n）的节点n的w-lobby指数（加权网络大厅索引）被定义为最大整数k，使得节点n具有至少k个节点强度至少为k的邻居。显然，如果链接未加权，则w-lobby指数与原始大厅指数一致。

3.4 节点的链路加权度（Abbasi，2013）

在（Abbasi，2013）中，作者研究了无向加权网络，并介绍了邻域加权度节点m被认为是节点n的邻居，表示为wD（n，m），作为节点m的度数和权重的乘积的链接在这个邻居之间和节点n。 如果网络未加权，则wD（n，m）如果节点m为节点m的程度关联到节点n; 否则wD（n，m）等于零。

3.5 Abbasi的Hw学位

Abbasi（2013）将节点n的Hw度定义为最大整数，使得该节点的顶部k个邻居具有每个wD值至少为k。这个值k被称为Hw度。

3.6 节点的链路加权强度

被认为是节点n的邻居的节点m的链路加权强度，表示为wS（n，m），是强度的乘积的节点m和该邻居和节点之间的链路的权重n。如果网络未加权，则wS（n，m）是度数的节点m如果节点m链接到节点n;否则wS（n，m）等于零。

3.7。高强度

（2013）将节点n的Hw度定义为最大整数，使得该节点的顶部k个邻居具有每个wS值至少为k。这个值k被称为节点n的wS度。实际上，Yan et al。 （2013）定义了这个概念在协作网络中，由c（n）表示。当然，它们的概念可以应用于任何加权网络。在下一节中，我们将展示如何使用Zipf列表统一所有这些概念。

4.Zipf列表

考虑一组每个以自然数为特征的元素，称为它们的大小。 S中的元素是然后根据这些数量排列。具有相同大小的元素以任何顺序排列，但具有不同的秩。在卢梭，枪和刘（2008）这样的名单被称为Zipf名单，排名叫做Zipf等级。 h指数Zipf列表被定义为最高等级，使得对应于Zipf等级h的大小至少等于h。它是清楚的是，可以确定每个Zipf列表不仅h指数，而且还可以确定g指数（Egghe，2006a，2006b），a指数（Jin，2006）和R 2指数（Jin，Liang，Rousseau，＆Egghe，2007）。现在清楚如何将上述措施视为适合Zipf清单的h指标。首先我们考虑n个邻域中的节点。

4.1。大堂指数

一个关联到每个节点的N（n）它的度中心。然后根据度数中心性排列节点到Zipf列表，学位中心为大小。该列表的h索引是节点n的大厅索引。

4.2 w-lobby指数

一个关联到N（n）中的每个节点的节点强度。那么N（n）中的节点根据其节点强度进行排序导致Zipf列表，节点强度为大小。该列表的h指数是节点n的w-lobby索引。

4.3 Abbasi的Hw学位

我们将N（n）中的每个节点m与其连接m与n的链路的权重的乘积相关联，这是WD（N，M）。使用该产品的大小和计算相应的Zipf列表的h指数导致Abbasi的HW-度。

4.4力量

一个关联到N（n）中的每个节点m的幅度wS（n，m）。再次，使用wS（n，m）作为m的幅度，相应的该Zipf列表的h索引是自我节点n的Hw强度。

如上所述，我们不仅可以将h指数与每个Zipf列表相关联，而且还可以将g-index，a-index和R 2（或R）指数。其中一些已经在Abbasi（2013）中明确介绍，但其他的从未被提出。就这样一旦Zipf列表被引入，我们就不用再讨论了。在所有这些情况下，我们将大小与n个邻域中的一个节点相关联。然而，同样可以联系

与n相邻的每个链接的大小，导致另一个Zipf列表。

4.5 h度

可以使用Zipf列表来表达h度。确实，链接根据他们的重量（扮演的角色）进行排名

大小）。该列表的h指数是节点n的h度。

4.6 大厅指数为h度

如果我们通过分配邻域的程度来使节点n的邻域成为（本地）加权网络节点到连接节点到节点n的链路，则n的h度等于其大厅索引。当然，与相邻节点相关联的幅度可以同样地分配给节点n和之间的链路这个邻居节点。这导致链接重新加重。使用新的权重作为Zipf列表的大小显示w-lobby指数，Abbasi的Hw度和Hw强度也可以被认为是与Zipf列表相关联的h指数链接（而不仅仅是与节点相关联的h索引）。以这种方式，h度的概念成为另一个统一的概念。

5.有向网络指标

已经在（Zhao et al。，2011）中，作者指出，他们的定义很容易适应于指导的情况加权网络，导致IN H学位和OUT学位。 （Zhao＆Ye，2012）阐述了这一观察。为了清楚起见，我们在有向网络中制定了IN和OUT h度的定义。

定义。如果d IN-h（n）最大，则有向加权网络中节点n的IN h度（d h - ）等于d IN-h（n）

自然数，使得n具有每个具有至少等于d IN-h（n）的强度的d IN-h（n）的链接。一组链接有助于节点n的IN H度（由d IN-h（n）链路组成）称为该节点的IN-h度核心。将IN替换为OUT字能够显示OUT h度和OUT h度核心的定义。除了在无向的，未加权的网络中的大厅索引可以定义在定向中的IN和OUT大厅索引

网络。节点n的IN-lobby索引等于最大整数l - （n），使得节点n具有至少l - （n）个邻居

至少不饱和中心性l - （n）。同样，我们通过将IN替换为OUT来定义OUT-lobby索引。

6.标准h指数作为网络指标

前面部分中的程序导致了以下问题：标准h指数（Hirsch，2005）可以被描述作为一些网络中的h度？这是可能的。考虑一个作者自己的定向网络（节点A）。一个定向链接将作者与文章的所有文章连接起来，从文章到作者的方向。其他链接在网络中是文章之间的“引用”链接，例如m（一篇由A合着的文章）和第p条之间的链接引用因此，这是一个具体的定向网络。这样的相邻节点m的IN度等于该数量由m收到的引文。因此，A在这个网络中的游说指数等于他（她）（标准）h指数。

现在考虑这个同样的网络，但是将节点p的IN度分配给连接p与m的链路。然后h指数的Zipf大小列表导致了（Zhai，Yan，＆Zhu，2014）中引用的hl-index。最后，我们描述了获得标准h指数为h度的另一种方法。这种做法有意义一个人想同时学习几个自我。考虑由文章和作者组成的二分网络。作者如果作者A是文章a的作者或作者之一，则A和文章a相关联。第一条与其中每一条有关作者。链接由收到的引用数量（在给定的引用窗口）中加权。显然，h度作者A，表示为h D（A），等于A的标准h指数，见图。 1上排。我们注意到，在这种方法中，我们必须允许零重量的链接，对应于零引用的文章。文章的h度，如图所示

该加权二分网络的下一行等于作者人数（如果接收到的引用次数）至少等于作者人数），并且等于接收到的引用次数（可能为零）

7.结论

Zipf列表的概念，Zipf列表和Zipf列表的h索引可用于通过以下方式描述大多数h型索引：节点的大小或链接的大小。 本文的主要理论贡献是（1）提供统一以前引进的不同h型指标;（2）表明可以将焦点从h指数转移到h度;（3）信息概念如Zipf列表和Zipf等级可以放在网络分析框架中。我们建议进一步研究基于此框架开发理论模型。

致谢

鲁道夫的研究由中国自然科学基金资助（NSFC）提供。 71173154和71173185.作者感谢Fred Y. Ye有用的讨论和两位匿名评审员纠正错误

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