1. 研究目的与意义（文献综述）

众所周知，目前在计算流体力学领域内最具有挑战性的前沿问题之一便是针对对流项的数值离散算法的研究。大量的学者在不断地进行探究，改进现有的离散算法并提出新的高精度算法。从最早提出的传统低阶离散算法，如一阶迎风格式（fou），发展到传统高阶离散算法，如二阶迎风格式（sou），再到现在被广泛讨论并研究的构建在有界性与高阶格式基础之上的现代高精度离散算法，如tvd/nvd系列算法等。

在对流扩散方程的数值求解过程中，对流项的数值离散格式是求解精度最关键的影响因素之一^【1】。对流项的处理，期待在解的光滑区域具有较高的精度，而在变化剧烈时计算稳定，且结果单调有界。而上述要求是传统离散格式所不能满足的。传统低阶离散格式，如一阶迎风格式（fou）、指数格式（exponential）、乘方格式（power-law）等，虽然具有绝对的有界性以及良好的稳定性，但由于只具有一阶截断误差，这些离散格式通常会导致过度的假扩散效应，因此也只具有较低的精度；而传统高阶离散格式，如二阶中心差分格式（cds）、三阶quick格式（对流运动的二次迎风插值）以及三阶cui格式等，虽然较前述低阶离散格式而言，提高了数值求解的精度。但其稳定性和收敛性较差，特别是在对流主导的流动现象中，当输送变量的精确解中包含间断解或者陡峭梯度解时，最典型的是空气动力学中的激波问题，水动力学中的水击问题以及溃坝水流问题等，由于上述高阶格式本质上的无界性，都容易产生非物理的伪震荡效应，从而导致计算结果稳定性差甚至无法收敛的问题。

为了克服上述传统离散格式的数值计算缺陷，将对流有界性与高阶精度相结合的现代高精度离散算法应运而生。自boris and book在1973年提出第一种 现代高精度算法--fct算法以来，在过去的几十年间，各种高精度算法被国内外学者相继提出并发展。其中比较典型的包括fct系列算法、tvd系列算法、nvd系列算法、eno系列算法等。上述算法既拥有良好的稳定性、有界性、单调性，又能够避免引入过度的数值扩散^【2】。其中，tvd/nvd系列算法被大量学者广泛研究，在实际工程问题中也得到了广泛的应用。

2. 研究的基本内容与方案

2.1研究的基本内容

与tvd格式相似，nvd格式最初也是在均匀结构网格上推导而来的。在过去的几十年里，基于标准隐式cbc限制准则和标准显式cbc准则，学界提出了大量的nvd格式，如：smart格式^【5】、clam格式^【6】、stoic格式^【7】、hoab格式^【8】、waceb格式^【9】以及cubista格式^【10】等。同时，针对nvd内在的一些不足之处，也有一些改进措施被不断提出。如文献^【11】中便指出由gaskell and lau提出的cbc准则只关注于有界性而忽略了精确性的限制，同时文献中也提出了改进的bair条件，以同时保证有界性和较高的精度^【12】。

同时，由于nvd格式是在均匀结构化网格上推导出的，上述格式都需要使用一种无界性指标来决定需要进行离散介入的区域，但是这些都需要两个上游节点值，而这对于非结构网格来说是不合适的。因为就非结构化网格而言，真正意义上的迎风节点是不能确定的或者说是不存在的。因此，直接将nvd高精度格式应用于任意非结构化网格是不容易的^【13】。然而，在实际的流体计算问题中，经常会遇到复杂几何体的网格划分，如果仍然采用均匀结构化网格进行划分则会非常困难，并会消耗大量时间。此时，非结构网格的发展与应用则显得十分重要。同时，针对非线性对流占优的问题，其数值解可能存在间断解和尖锐梯度成分。如果继续运用均匀结构网格对其进行网格划分，则极易导致尖锐梯度处的模拟失真，导致数值解的精度较差。相反地，若运用非结构化网格进行划分，在光滑解区域划分稀疏，而在间断解区域进行比较稠密的划分，则既能更好地模拟间断解区域的梯度形状，使得数值解更好地逼近精确解，同时也能提高计算效率。因此，针对非结构化网格问题，传统的nvd格式需要被改进，以增强其适用性，使其能够胜任任意非结构化网格问题。h.jasak,h.g.weller and a.d.gosman在文献^【14】中提出了gamma格式，该格式引入常数βm，对ud与cd之间的转换进行人为干预，以期获得平滑过渡。通过多种网格下的案例检测，并与其他tvd、nvd格式的结果进行对比，发现gamma格式能够比较稳定的获得高精度解，并能够很好地解决非结构化网格问题。

由上述可知，目前nvd系列格式能够胜任于广泛的对流离散问题，具有良好的稳定性、有界性、单调性。但也存在一些问题，如在关注有界性的同时容易忽略数值解的精确性以及在任意非结构化网格中的使用仍存在一些困难等。同时，在进行非线性对流占优扩散问题（精确解中包含了间断或尖锐梯度成分）的求解时，传统高阶格式已不能满足要求，因此必须发展将有界性和高阶格式相结合的现代高分辨率格式。因此，本文拟对以下内容进行研究：

3. 研究计划与安排

第1-3周：查阅相关文献资料，明确研究内容，了解研究所需专业知识。确定研究方案，并完成开题报告。

第4-5周：学习计算流体力学数值方法和研究高分辨率格式理论。

第6-8周：学习nvd格式的理论基础，并设计研究先进的nvd格式。

4. 参考文献（12篇以上）

【1】coelho p j. application of high resolution nvd and tvd differencing schemes to the discrete ordinates method using unstructured grids[j]. journal of quantitative spectroscopy amp; radiative transfer, 2014, 143(8):3-15.

【2】张帝. 高精度有限体积格式及新型vof自由界面捕捉算法[d]. 清华大学, 2015.

【3】邹建锋, 郑耀. 有界压缩vof算法在界面流问题中的应用[j]. 浙江大学学报(工学版), 2008, 42(2):253-258.