摘 要

本文主要应用Galerkin法和通用有限元软件ANSYS研究动力载荷作用下位于线性和非线性弹性基础上的四边固支矩形弹性薄板的非线性动力响应。

首先，基于矩形薄板的位移场、非线性应变-位移关系和线性应力-应变关系，以矩形薄板的横向位移和Airy应力函数作为自变量，忽略面内惯量和转动惯量的影响，推导动力载荷作用下考虑几何非线性、粘性阻尼和弹性基础作用的矩形弹性薄板非线性振动的控制运动偏微分方程。然后，假设满足固支边界条件的矩形薄板的横向位移的表达式，针对面内位移受到约束和面内位移没有受到约束的两类固支边界条件，根据Airy应力函数应满足的相应面内边界条件和假定的横向位移的表达式，分别推导Airy应力函数的表达式。利用Galerkin法、假定的横向位移的表达式和Airy应力函数的表达式分别推导两类四边固支边界条件下矩形弹性基础薄板的非线性振动常微分方程。接下来，运用Matlab软件求解非线性振动常微分方程得到两类四边固支边界条件下矩形弹性基础薄板的非线性动力响应。研究了四边固支矩形弹性薄板的弹性基础的Winkler参数、剪切参数和动力载荷的峰值压力、波形以及阻尼参数对板中心的横向位移的影响。最后，应用有限元软件ANSYS计算了动力载荷作用下四边固支矩形弹性薄板的非线性动力响应，并与Galerkin法的计算结果进行了比较，分析了可能导致误差的原因。

关键词：动力载荷；弹性薄板；四边固支；非线性；Galerkin法；有限元

Abstract

The main research object of this paper is the rectangular elastic foundation plate. The main research content is to analyze the rectangular elastic foundation plate with clamped-in boundary conditions under dynamic load, and to study the nonlinear dynamic response under the influence of various parameters.

This paper based on the displacement field of rectangular thin plate, the nonlinear force-displacement relation of strain and the linear stress-strain relationship, in a rectangular thin plate transverse displacement and Airy stress function as independent variables, and ignore the influence of in-plane moment of inertia and rotational inertia. Considering the geometrical nonlinearity, viscous damping and the action of elastic foundation, a partial differential equation for the nonlinear vibration of a rectangular elastic plate under dynamic load is established. For the boundary conditions of in-plane displacement with constraints and in-plane displacement without constraints, the expression of the Airy stress function is derived according to the corresponding boundary conditions that the Airy stress function should satisfy and the assumed lateral displacement. The nonlinear ordinary differential equations of rectangular elastic thin plates with clamped-in boundary conditions are derived by Galerkin method, the expression of the assumed transverse displacement and the Airy stress function. The nonlinear dynamic response of rectangular elastic thin plate with clamped-in boundary conditions is obtained by using Matlab. The influence of Winkler parameter, shear parameter, peak pressure of dynamic load, waveform and damping parameter on the transverse displacement of the plate center on the elastic foundation of rectangular elastic thin plate with clamped-in boundary conditions is studied. Finally, the finite element software is used to calculate the rectangular elastic foundation plate under dynamic load of the nonlinear dynamic response. The calculation results are compared with Galerkin method and the reasons for the deviation are analyzed.

Keywords: dynamic load; elastic thin plate; clamped-in; nonlinearity; Galerkin method; finite element

目录

第1章 绪论 1

1.1 目的及意义 1

1.2 国内外研究现状 1

1.3 本文主要内容 3

第2章 基本方程式的推导 4

2.1 矩形薄板的非线性振动偏微分方程 4

2.2 矩形薄板的非线性振动常微分方程 7

第3章 非线性运动常微分方程的求解 12

3.1 微分方程的数值求解 12

3.2非线性运动常微分方程的Matlab求解 12

3.3不同Winkler参数下板的动力响应 15

3.4不同剪切参数下板的动力响应 16

3.5不同阻尼参数下板的动力响应 16

3.6不同的峰值冲击载荷作用下板的动力响应 17

3.7不同波形的冲击载荷作用下板的动力响应 18

3.8结果分析 20

第四章 有限元分析 21

4.1 ANSYS前处理 21

4.2 ANSYS的加载和求解 24

4.3 不同峰值的冲击载荷作用下板的动力响应 26

4.4 不同波形的冲击载荷作用下板的动力响应 27

4.5 Galerkin法和有限元法结果的对比与误差分析 28

第5章 结论与展望 30

5.1结论 30

5.2展望 30

参考文献 32

致谢 33

第1章 绪论

1.1 目的及意义

在船舶结构中薄板构件十分常见且应用相当广泛，船舶在航运过程中容易受到海浪等冲击载荷的影响。所以冲击载荷作用下薄板结构的非线性动力响应的研究一直是学者们所关注的问题。

矩形板已广泛应用于许多工程领域。虽然在某些应用中使用了相对厚的板，尤其是当板是由相对低强度的材料（例如钢筋混凝土）制成时或当板需要承受极端的载荷（如高速碎片和炮弹的局部打击）时，然而，随着结构设计理念和经济化的不断发展，在保证结构安全的前提条件下，板朝着更薄、更强和更轻的方向发展。在许多其他应用中，薄板被用于承受冲击或爆炸载荷，如钢防爆门、船舶和飞机以及各种工业上的结构。随着板厚度的减小，载荷对板的力学性能的影响更为突出。经典板理论主要研究位移及其导数很小的线性问题，当板受到的载荷较小时，这种线性理论是有效的。然而，当相对较薄的板受到爆炸载荷、冲击载荷等较强的瞬态载荷时，薄板表现出较大振幅的振动和较大的变形。在这种情况下，板的线性理论不再适用，因此非线性板理论的使用是不可避免的。