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弹性支撑层合板的几何非线性瞬态响应

Shao-Chong Yang and Qing-Sheng Yang

摘要

层合板是一类通常与弹性垫连接并表现出复杂的机械响应的承载部件。为了研究弹性垫支撑的层合板的几何非线性瞬态响应，本文提出了一个变约束反应模型和一个系统数值程序。板的弹性垫支撑作为粘弹性边界条件，其中每单位长度的条形垫板被模拟为悬臂梁。非线性Kelvin–Voigt模型被发展用来模拟弹性垫的非线性粘弹性行为。粘弹性支撑产生的动态变约束反应取决于板边缘节点的位移和速度，由挠度和所用梁理论的转角方程确定，并通过使用非线性载荷函数应用于板边缘。以此方式，我们便获得粘弹性支撑层合板的动力响应。数值结果表明，目前的方法能够有效地处理粘弹性支撑层合板的几何非线性瞬态响应，同时，在非线性瞬态分析时考虑非理想边界条件的影响也是至关重要的。

关键词：约束；层合板；弹性支撑；几何非线性瞬态响应；非线性Kelvin–Voigt模型。

1．介绍

层合板因其优异的机械特性，近来被广泛地作为结构构件运用于许多工业部门。这些板通常用弹性支撑固定，如介质、地基、衬垫和阻尼器，它们都由粘弹性阻尼材料构成。弹性支撑表现出复杂的时变粘弹性行为，通常运用于航空航天^[1,2]、自动驾驶^[3]、轨道交通^[4]和其他领域，以降低和控制噪声与振动。薄板在动载荷存在的情况下会表现出大幅度的振动和变形。然而，托空的板的边缘事实上不是刚性夹紧的，从而产生考虑非线性粘弹性支撑的影响下层合板的几何非线性瞬态响应方面的问题，这是具有重要工程意义的。

分析板和面板的非线性瞬态响应和振动的方法有很多种，如全拉格朗日法^[5]、半解析有限条法^[6]、高阶剪切变形理论^[7-9]、理论与实验^[10]以及微分求积法^[11,12]。Kazanci和Mecitoglu^[13]分别应用有限元法和近似数值法分析了爆炸压力下的简支复合材料层合板。Amabiliet等人^[14]分别运用经典的Von Karman理论和一阶和三阶剪切变形理论研究了不同边界条件下矩形复合材料层合板的非线性振动。Liao和Zhong^[15]用正交单元法的弱形式研究了矩形薄板的几何非线性自由振动。

大量研究已经表征了使用各种粘弹性阻尼的梁和板的动态响应和振动分析，包括离散粘弹性支撑^[16]、约束层阻尼^[17]、部分约束粘弹性层阻尼^[18–20]、粘弹性地基^[21–23]以及粘弹性介质^[24，25]。许多方法也已经被广泛应用以解决上述问题，包括有限元法^{[16，24，26]}、边界元法^[21]、符号数值方法^[27]、互补函数法^[22]以及Galerkin-Runge–Kutta方法^[23]。Ray和Shivakumar^[28]用压电纤维增强复合材料分析了复合材料层合薄板几何非线性瞬态振动的主动约束层阻尼。Zhou等人^[29]对工程上研究带有粘弹性阻尼的结构的静、动态振动特性的各种研究方法和理论模型进行了综合评述。Chen ^[30]提出了一种分析在粘弹性各向同性多层岩上的刚性表面地基的强迫振动的数值方法。

粘弹性边界支持条件通常难以估计，但对设计和建模考虑非常重要。许多研究者^[31–35]通过考虑非理想边界条件来研究结构的动力行为。作为边缘支撑的弹性条形垫的等效平动和旋转弹簧常数由所用的梁理论近似确定^[36]，尽管通常不考虑纵向约束反应。因为在板的纵向上产生的大挠度导致了边界粘弹性支撑的变形，粘弹性垫引起的纵向约束反应便出现在板的边界上。因此，在瞬态响应分析中加入粘弹性垫是非常必要的。基于对带有粘弹性垫的层合板的文献综述，相对较少的研究针对于几何非线性瞬态响应和非线性粘弹性边界条件。因此，这个问题在众多有吸引力的研究领域仍有待于对特性的分析描述与思考。

在理想的边界条件下，连接到由销支撑的刚体的板边缘可以被模拟为支撑，其中的挠度和转角假设为零。结构系统的实际行为可能会偏离理想的支撑条件。通常情况下，粘弹性支撑板的边缘不会被刚性夹紧，允许产生小的挠度和转角。固定位移约束不能有效地模拟粘弹性垫支撑的板的约束条件。此外，粘弹性条形垫不能很好地用弹簧-阻尼器单元来模拟，而在有限元软件中是可以实现的。因此，在瞬态分析中动态变化约束反应模型将被采用来代替固定位移约束模型。

本文研究了具有弹性支撑的层合板的瞬态响应，特别是在非线性弹性支撑的处理上。不同的约束反应由一组独立的非线性载荷函数来表示，这些函数满足特定情况下的粘弹性约束条件，所有这些约束反应都作为附加载荷加到运动方程的右侧。非线性方程通过载荷增量方法并结合牛顿-拉夫逊迭代法进一步求解。最后，通过数值算例验证了该方法的可行性。

2．非线性粘弹性阻尼材料的数学模型

在众所周知的粘弹性阻尼材料模型中，Kelvin–Voigt模型具有相对简单的形式，能够捕捉粘弹性阻尼材料的动态特性。该模型在工程中已被广泛地应用^[37–39]。Kelvin–Voigt模型由一个弹簧和一个缓冲器并联组成，其中弹簧和缓冲器分别与位移和速度相关联，如图1(a)所示。弹簧的弹力是刚度和位移的函数。缓冲器的耗散力是耗散常数和速度的函数。Kelvin–Voigt模型的本构方程表达如下:

其中u和分别表示位移和速度；k和c分别表示弹性常数和耗散常数(粘度系数)。在这项工作中，非线性Kelvin–Voigt模型被发展用来模拟由一个硬化弹簧和一个非线性缓冲器并行工作组成的弹性垫的非线性粘弹性行为。非线性Kelvin–Voigt模型的本构方程如下:

其中F表示约束力,上标alpha;是速度的指数，是一个小的参数。硬弹簧的力-位移关系如图1(b)所示。约束力随着可变位移和速度而变化。粘性缓冲器的力-速度曲线如图1(c)所示。这些类型的阻尼材料常见于许多机械和结构系统当中，包括非线性(alpha;lt;1)、线性(alpha;=1)和超线性(alpha;gt;1)的粘性阻尼器。任意非线性力-位移和力-速度函数可以用非线性载荷函数来定义。请注意，耗散常数可以通过实验测试来校准。

图1，非线性Kelvin–Voigt模型：（a）一个弹簧和一个缓冲器并行，（b）硬弹簧的力-位移关系，（c）粘性阻尼缓冲器的力-速度关系。

3．弹性垫支撑层合板的动力学模型

如图2(a)所示，该板在外围边缘由粘弹性条形垫支撑，并在中心跨度处承受瞬时激励载荷。粘弹性条形垫的横截面尺寸为:。对于本次研究考虑的粘弹性支撑，进一步假设垫的尺寸（）远小于板的尺寸()，这样板边缘的粘弹性支撑可以由平动和旋转的弹簧-阻尼器约束来模拟，如图2(e)-2(f)所示。

图2，粘弹性条形垫支撑板：（a）结构系统示意图，（b）垂向的变形和力，（c）挠度和转角，（d）单位长度板的变形，（e）数学模型，（f）简力图

在推导法向平动弹簧常数时，假定载荷均匀分布在支撑边缘的上表面，该上表面在变形后保持平面和水平，如图2(b)所示。假设弹性垫经受线性弹性变形，单位长度的法向平动弹簧常数可以写成如下所示:

其中表示垫的杨氏模量。

另外，粘弹性条形垫的约束力矩和纵向约束力也要考虑，因为它表征了一个转角和一个挠度。将单位长度的粘弹性条形垫视为悬臂梁，如图2(d)所示。它在其自由端承受一个载荷()和一个力矩()，如图2(c)所示。图2中的和以及和M分别是一对作用力和反作用力。

根据图2(c)所示的悬臂梁的挠度和转角方程，挠度和转角可分别计算如下:

其中I是悬臂梁横截面的惯性矩。另一方面，本研究可以根据和M求出关于挠度和转角的方程（4）-（5）的解析解。进一步假设非线性粘弹性垫的约束力近似表示如下:

其中F和M分别表示约束力和约束力矩，和分别表示挠度和转角；下标N和T分别代表法线方向和切线方向。

4．附加力矢量的运动方程

为了分析粘弹性支撑板的非线性瞬态响应，将粘弹性垫的非线性约束力视为附加的外加载荷^[40–42]运用到数值计算中，并将载荷加到运动方程的右侧。因此，该结构的动力学方程可以写成如下所示:

其中、和分别表示系统的质量、阻尼和刚度矩阵。矢量和分别代表施加的节点载荷和系统位移。向量表示非线性粘弹性支撑引起的非线性约束力，该约束力取决于位移和速度，因而将这些力视为附加的外加载荷。这些载荷可以通过满足特定情况下各种约束条件的一组独立的非线性载荷函数来明确定义。

在一个时间步长结束时对非线性约束力进行评估，以便在后续的时间步长中使用。因此，运动方程写成如下所示:

请注意，非线性约束力在实际求解中会产生时间步长滞后，这或许需要进行小的积分时间步长(即比纯线性分析所需的时间步长更小)。从运动方程(7)开始，基本结构响应在离散的时间内计算，通常以固定的积分时间步长来计算。对于每个时间步，响应是根据线性系统来计算的。前一步骤的结果被用作当前步骤的起点，从而将非线性分析近似表征为一系列连续变化的线性分析。

5．计算程序—载荷增量、迭代和刚度更新

计算程序包括从局部子增量到全局求解过程的增量和迭代流程。在整个加载过程中，在一个步骤中施加的总载荷被细分成小的部分以确保得到收敛解。子步骤中的这些分支被称为每个时间步的载荷增量。在增量求解过程中，每个时间步长的载荷增量所产生的不平衡力被再次引入到解中，直到解收敛。不平衡力在每个时间步长的载荷增量中的重新分配称为迭代。如图3所示，用于解决非线性问题的数值程序的完整描述以供参考。

值得注意的是，总载荷是在每个载荷步的计算步骤(或增量)中逐步施加的，从而在一次或多次迭代后获得收敛解。每次迭代都涉及刚度矩阵的组装和求解。在每次迭代结束时，都需要检查解是否收敛。如果不收敛，则使用新信息重复迭代。重复这一过程直到收敛。随后，施加下一个载荷增量[43]。此外，对于非线性粘弹性支撑的结构系统，求解程序更加复杂。变约束力被表征为附加载荷加入到运动方程中。动态位移和速度方面所展示的约束力在每一个时间步长内都有变化。每个时间步长都要进行载荷增量，直到达到模型规定的满载荷。

对于几何非线性问题，方程组必须多次求解以追踪变形结构的行为。非线性变化可能源于形状或者载荷的变化。在非线性分析中，结构的刚度一旦发生变化，相应的刚度矩阵就必须更新。单元刚度矩阵如下所示:

输入阶段：读取输入数据

空间分配 数据检查

增加的载荷(包括每个时间步长的附加载荷)

等效节点上的载荷向量

矩阵组装

矩阵求解

压力复原

输出阶段

迭代循环

时间步循环

否

收敛

是

是

下一步增量

否

结束

图3，附加载荷下非线性求解流程图

请注意，该表达式表示了由于材料刚度而不是几何非线性效应引起的单元刚度矩阵。增量过程应该包括初始应力引起的额外的刚度，因为从第二次增量开始就存在初始应力。

切线刚度由几何刚度和材料刚度组成，即:

其中和分别指材料和几何刚度。材料刚度在方程(9)中给出，且材料切线矩阵为。

初始应力引起的几何刚度如下所示:

其中代表应变-位移关系中的二阶效应，由形状函数的导数组成，是一个应力函数。

6．数值算例

在本节中，我们给出一个使用上述数值程序求解的算例。我们首先考虑如图4(a)所示的尺寸为200mm200mm的层合板。层合板的厚度为1mm，由等厚的8层组成。板层有两个方向，具体为和方向，即平行于板的边缘。正交层合板的层叠顺序为。层合板的材料参数为:弹性模量:=146503MPa，= 9223MPa；剪切模量:= =6836 MPa，=5000 MPa；泊松比: =0.306；密度:rho;=1.543ton/mm3。板由289个节点和256个4节点四边形单元组成。

在这个算例中，板由其全部四个边缘下面的非线性粘弹性条形垫支撑。这些边缘垫与板粘合在一起。对于本次研究中考虑的粘弹性支撑，进一步假设粘弹性支撑的尺寸远小于板的尺寸。因而，板的边缘粘弹性支撑由纵向和旋转方向的弹簧-阻尼器约束来模拟，从而代表了图4(b)所示的边界条件。

粘弹性条形垫的杨氏模量（）为2.028MPa。条形垫的横截面尺寸（）为5mm2.1mm。如图4(a)所示，板承受正弦载荷的一个周期，该载荷在板中心点处表示为。载荷的大小为1000N，持续时间在0s到0.01s之间，如图4(c)所示。对于瞬态分析，分析中规定了=0:0001的一个时间步长增量。基于方程(6)，由非线性载荷函数表示的动态变化的约束力被施加在板的边缘。

在这个算例中，考虑了理想和非理想情况的边界条件。在理想的边界条件下，板边缘的所有节点都是刚性夹紧的。换句话说，支座处的挠度和转角为零，因此不考虑板边缘处由大变形引起的横向和纵向位移。然而，真实的结构行为或许不同于理想的支撑条件。通常，粘弹性支撑板的边界条件不是刚性夹紧的，而是假定允许有小的挠度和转角。然而，非理想边界条件需要的是动态变约束反应模型而不是固定位移约束模型。在这个算例中，c、

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