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双锲形体入水的数值模拟

作者：吴国雄

摘要

以速度势理论为基础分析双锲形体定速垂直入水的流体动力学问题。基于速度与重力加速度的比远大于时间尺度的假设，对流动中的重力问题进行忽略。问题通过使用三阶段的边界元的复速度势来解决。当结构体触及水面，隔离的每个锲形体获得相似性的解决方法。时间步技术被用作第二阶段的最初解决方法，对于在拉伸坐标系中的每一个锲形体通过笛卡尔坐标系的比定义锲形体入水的距离。当每一个锲形体的扰动区开始影响另一个锲形体产生的流动时放弃拉伸坐标系，并采用原始的坐标系。在第三阶段包括了每个锲形体的充分的相互作用。对于不同斜升角入水时的波面抬升、压力分布、以及冲击力提供不同的结果。将得到的结果与单锲形体入水结果进行比较，对相互作用进行研究。

绪论

当结构体最初的接触点入水，随后水平面不断变化，将呈现出随着结构体入水被扰动的流体区域将会从零增加的特点。在最初的阶段流动被定为在很小的区域但是其构成十分复杂。事实上，对于单个锲形体定速入水，当忽略粘性以及重力的影响后流动是自相似的（Dobrovolskaya，1969）。这意味着在任意时刻的流动模式是相同的。因此在入水冲击的开始阶段，物理参数如压力以及速度将会在一个很小的区域产生急剧的变化。以前的数值工作（Zhao和Faltinsen,1993;Lu 等人,2000)通过假设锲形体微小的一部分已经在水中解决了这个问题。基于这种方法对于开始阶段显然是错误的，但是发现对于定速入水的刚性锲形体，最初的误差不会显著影响随后的阶段并且这种解决方案与理论分析解析解一致。然而，如果锲形体是塑性的，最初的误差可能会产生问题。压力的误差将会导致锲形体错误的变形。类似的情况是，锲形体自由落水（Wu 等人，2004）的加速度是未知的。压力的误差将会给出错误的加速度，错误的加速度导致给出错误的速度。这个错误的信息将会通过边界条件反馈到流动中，从而使最终的结果是误导性的。

为了解决这类问题，一种理想的数值方法是使用拉伸坐标系，其中拉伸坐标系通过物理域的距离与结构体浸入水中的长度之比定义。虽然计算域仍会由于自由表面的变化而改变，但总体尺寸大小的顺序或多或少的与该元素相同，在物理域中两者将与扰动区的自由液面变化不一。结果，在开始阶段十分微小的元用于很小的区域，从而可以捕捉到急剧的速度以及压力的空间变化。Wu等人（2004）利用了这种技术，并且发现数值模拟获得的锲形体加速度与实验数据是一致的。

这里我们考虑双锲形体入水问题。这个分析的明显应用是双体船上的砰击载荷。这个分析不仅仅是对于单一结构体的不同组态使用开发代码。事实上，这里使用三阶段的方法是必须的。第一阶段是当结构体触及水，每个锲形体周围的流动都是完全独立的。两个锲形体的相互作用是完全可以忽略的并且每个锲形体周围的流动可以通过自相似获得。在第二阶段，采用时间步方法，第一阶段通过自相似获得的结果将会作为这一阶段的原始数据。然而每一个锲形体仍然是相互独立的，并且绕其中心线实际上是对称的。在第三阶段，两个锲形体的扰动区域开始交汇以及相互影响变得显著。每一个锲形体的中心线不再是每个锲形体局部流动的对称线，双锲形体必须被考虑在内。

1988年Korobkin考虑了双体船的入水，他考虑了液体的压缩性以及结构体的弹塑性。但对自由表面以及结构体表面的边界条件进行线性化，大致满足。现在的分析基于完全非线性模型以及边界条件是在确切的位置强加的。

在每一个阶段的边界值问题则是采用1995年Wu和泰勒以及2004Wu等人基于边界元方法的复速度势理论来解决。第一阶段的自相似解法通过在拉伸坐标系进行迭代获得。仅考虑一个锲形体的一半，因为开始时忽略相互作用，绕每个锲形体的流动是对称的。锲形体尖端下方的垂直线被视为流线并且这条线延伸到远离锲形体的控制边界。在这种情况下，控制体表面和远离结构体的控制表面变成了一条流线。第二阶段，其解仍然在相同的拉伸坐标系下通过相似方法获得。其不同是现在的自由表面的边界条件是通过问题在时域考虑的时间步技术满足。在第三阶段，拉伸坐标系的优势将会消失，因为在这个坐标系中双锲形体的距离是依赖时间的，但是距离在物理模型中是恒定不变的。同时，当双锲形体之间的相互影响作用在这一阶段变得十分重要，每个锲形体周围的流动不再关于结构体的中心线对称。每个锲形体下方的垂直线不再是一条流线。作为结果，结构体表面和远离结构体的控制表面变成两个分散开的流线，这需要对第一以及第二阶段用到的复速度势方法做大量的修改。

对不同斜升角的双锲形体进行仿真。结果中提供了不同阶段的压强，冲击力，以及波面抬升。

2 控制方程和数值方法

我们考虑流体动力学问题由于两个相同的锲形体以垂直速度V冲击水面。如图1所示，定义一个固定在空间的笛卡尔直角坐标系XOY，其中Y轴沿着左边锲形体的中心线垂直向上且原点位于平均自由面上。两个锲形体彼此形成镜像X=L。流体假定为不可压缩和无粘，以及假定流动是无旋的。这样便可以引入速度势,在流动区域R中满足拉普拉斯方程

(1)

在结构体表面，我们有

(2)

图1 模型简略图

图2 单锲形体计算域

当结构体向下运动时速度为正，n(nx,ny)是结构体表面指向流体域的法线向量。在自由表面S_F或y=的运动学以及动力学边界条件可以写为

由重力产生的重力加速度g的影响在方程（4）中已经被忽略。因为这类问题主要关注的是速度很大时冲击的起初阶段。事实上，2000年Korobkin和Wu已经讨论了圆柱体的突然入水，当时间很小时重力加速度g的影响是t²阶。在拉格朗日形式下，自由表面的边界条件可以写为

上述问题通常可以同时时间步方法解决。在每一时间步使用复速度势Ｗ＝Phi; iPsi;，其中Psi;为流函数。这种方法已经被用于多种二维问题(Longuet-Higgins and Cokelet, 1976; Greenhow, 1982; Lin et al., 1985; Wu and Eatock Taylor,1995; Wu et al., 2004)。这里我们给出简明的总结。柯西公式给出

Z=x yi和Z₀是流体域R外侧一点。公式（7）是沿着流体域R的边界进行积分。因为对称，我们只考虑流体域的一半xle;L部分。如图2所示，这样x=L变成了S_c的一部分，以及他们组成了单一的流线。在流体边界，我们可以写出

w_j是复势的节点值，n是总的节点数目。选择如下的插值函数

将式（8）和式（9）带入式（7），使Z₀接近边界Z_k以及使用边界条件，我们有

其中

在式（10）中，一些项已经被移到右边，因为在每一时间步S_F上的Phi;以及S₀和S_C上的Psi;是已知的。从而可以给出左边的项。这个方法与上面提到的之前采用复速度势的应用是类似的。然而，他们存在着一个主要的区别。控制表面S_C通常被当做刚体。在以前的应用中，它与结构体表面联系起来组成单一的流线。这里可能没有这样的关联。因此，如果我们在结构体表面写Psi;=V_y，则在S_C上流函数中常数C不能随意选择。它应该通过式（10）给出。采用图2给出的数字系统我们可以把式（10）写成

现在，当1lt;klt;N₁或者N₂lt;klt;N₃,式中的实部将被取出，当k=1或者N₃lt;klt;n虚部将被取出。更进一步，我们可以在后一类中选择一个节点Z_k以及为了C去得到一个额外的取实部式子。这样方程的数目等于未知量的数目，从而问题得到解决。

当得到了速度势，压强可以通过伯努利方程获得

其中rho;为流体的密度。如2003年Wu以及Eatock Taylor讨论，在每一时间步lambda;=Phi;_t并未给出，但是可以把它当做另一个满足拉普拉斯方程的调和函数。在自由表面上，因为P=0我们有

在锲形体面上，边界条件可以写成

只要得到了lambda;，则单个锲形体上水平和垂直方向的力F_x和F_y可以通过以下式子得到

正如在绪论中提到的，这个方法在双锲形体尖端接触水面的最初阶段是有问题的。一个适当的方法是把上面的式子写在拉伸坐标系中。我们有

其中xi;=xs,eta;=yVt。在拉伸坐标系（xi;，eta;）中phi;（xi;，eta;，t）明显满足拉普拉斯方程。拉格朗日形式的边界条件可以写成

图3 beta;=pi;3结果 （a）液面 （b）压强 （c）力

图4 beta;=pi;4结果 （a）液面 （b）压强 （c）力

图5 beta;=pi;4结果 （a）液面 （b）压强 （c）力

在结构体表面上，式（2）变成了

特别的是，在相互影响不显著时双锲形体能够被当做独立的。在这种情况下，锲形体尖端下面的垂直线可以看成每个锲形体的对称线。它将结构体表面和控制体表面联系成一条流线。这样式（12）中C变成0。当时间推进技术应用于方程（16）—（19），需要最初的结果。许多分析使用phi;=0的平坦自由表面作为初始解。此问题一个更合理的方法是采用自相似解，这就意味着式（16）可以写成

式（3）和式（4）自由表面边界条件可以写成

对于类似问题，有很多应用各种方法的出版物。其中包括Dobrovolrsquo;skaya (1969), Howison et al. (1991), Zhao and Faltinsen (1993) and Fraenkel and McLeod (1997)。由上面讨论的边界元方法解决问题，式（21）和（22）自由表面的非线性边界条件通过迭代满足。具体的细节可以在2004吴等人出版的文献中找到。

3计算结果

下面讨论的的所有解都是从相似解开始的。对于隔离的单个锲形体采用时域方法，然后运算。计算域的整体尺寸或多或少的固定在拉伸坐标系（xi;，eta;）上，但是它在（x，y）上增加则是通过s。当控制面S_C在坐标系（x，y）达到x=L，式（1）—（5）描述双锲形体的计算方法将会初始化。长度尺寸L和入水速度V将采用无量纲化。这意味着

自由表面和结构体表面上采用拉伸坐标系（xi;，eta;）和坐标系（x，y）的元素是一致的。采用拉格朗日方法追踪自由液面，局部重构与插值方法一起用于避免过度扭曲的元素。当挤压射流出现，并且与元素尺寸相比变得足够薄，相似解采用浅水公式以及在时域解中使用泰勒展开式（吴等人，2004年）。元素尺寸的大小取为0.05，而取的时间步长要保证追踪在由液面时流体微团不会穿过结构体表面，时间步长最大的取值不能超过0.001。上述两种参数的选择已经被证实能得到收敛的结果。

我们先考虑图3给出的beta;=pi;3情况下左边锲形体的结构体表面压强分布、波面抬升、力的结果。模拟直到在平均水面下两个锲形体的最短距离足够小结束。事实上从图3（a）可以看出波面抬升在两个锲形体的对称线处被截断。如图所示，锲形体的左手边的波面抬升并没有被另一个锲形体的出现影响很大。与单个锲形体入水相比右手边的水位的确升高，但是影响仍然是显著的。然而，压强的情况则是完全不同的。如图3（4）所示，当附近还有另一个锲形体时压强分布的形状是完全不同的。在t=0.8时刻，双锲形体情况下锲形体尖端的压强几乎是单个锲形体时的两倍。图3（c）给出了锲形体上的冲击力。显而易见，最初变化是线性的因为另一个锲形体时被忽略的以及解释相似的。随着入水时间的增加，两个锲形体的相互影响使得变化不再是线性的，而是非线性的。

图4给出了斜升角为beta;=pi;4的计算结果，这些曲线的整体趋势与图3非常相似。一个明显的不同是t=0.5时刻最高压强移动到锲形体的右边，而当beta;=pi;3时t=0.5时刻的压强最高点是锲形体的尖端。图5给出了beta;=pi;6时的计算结果。由于更小的斜升角以及更长的挤压射流，t=0.23s时结束了数值模拟。结果显示在这一瞬间，波面抬升的相互影响变得不再那么显著，但是双锲形体而产生的相互影响对压强仍然十分重要。

上面所有的图很清楚的表明压强相互作用效应的重要性。实质上，当双锲形体入水冲击时，锲形体之间的水被推动，使水流向锲形体的内表面。这样压强以及水位都将会增加。图6给出了锲形体入水过程中压强的变化。最低的曲线代表t=0时刻，或者说锲形体尖端接触水面的时刻。随着曲线的增加，它们相应的代表t=0.1,0.2,0.3,0.4,0.5时刻。压强分布曲线初始是对称的，但是当tgt;0，出现了非对称现象。已知压强间断可以在无粘流动中存在（吴，2001年）。尽管流动不再对称，但有趣的是的是压强P在x=0处似乎仍然连续。这与定常流动下有限长度的非对称锲形体类似（(Milne-Thomson, 1968）。图6中起初压强增加缓慢，但是当双锲形体距离水面越来越近，压强产生急剧增加。

图6beta;=pi;4锲形体压强分布变化曲线

4结论

双锲形体入水的速度势问题已经进行了数值分析。三个不同的入水阶段对应

着不同的物理特性，从而三个阶段采用不同的方法。计算结果的稳定性以及精度已经表明了该方法的合理性。从获取的结算结果表明双锲形体产生的自由液面抬升的相互影响并不显著但是双锲形体的相互影响对于压强分布是相当重要的。目前的研究工作可以拓展到结构体的自由落水（吴等人，2004年）或者是需要考虑入水阶段结构体的弹塑性（陆等人，2000年）。

参考文献

Dob

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