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横向受局部均布载荷的船体板的塑性设计

Lin Hong*, Jorgen Amdahl

摘要：横向受压的方形板广泛地应用于各种海洋结构物中，这些板在冰作用或偶然作用下，如碰撞和搁浅，往往受到局部均布载荷的作用。因此，研究横向局部受压板的抗力成为人们的焦点。本文应用了屈服线理论，由此展示了不可忽略的塑性响应。考虑了在有限变形情况下薄膜效应的有利影响。在某些方面详细描述了基于能量原理的“屋顶”式局部加载机制的来源。本文还提出了另一种失效模型——“双钻”式模型，这种模型可以降低板的抗力，和传统的“屋顶”式模型相比，它在塑性弯曲方面与非线性有限元分析的结果拟合的更好。另外，由于失效机制的形成受到板有效长度的制约，因此本文引入了板的长度限制因素来提高当前公式的适用性。在板的抗力与变形的关系中，这些推导出的公式计算得出的结果与非线性有限元分析的结果能够合理的吻合。本文也把根据这些公式得出的板的抗力与最近提出的国际船级协会关于极地船船体板的设计的统一要求作了比较。

关键词：塑性设计；国际船级协会；局部加载机制；非线性有限元分析；偶然荷载；屈服线理论；承载能力；薄膜效应；船舶碰撞

1、背景介绍

通常，这些结构物的很多部分主要受到这种满布均布横向载荷，无论是静态的还是动态的载荷。因此，在这种载荷下的板的表现形式至关重要。在偶然作用下，如碰撞、搁浅，横向载荷很可能发生在有限长度的板上。这与在冰区船舶设计中广泛研究的局部均布载荷很相似。对于发生的可能性很小的载荷如船舶碰撞和非正常的冰作用，假设没有真正的失稳或断裂发生，这种重要的永久变形应该认为是可以接受的。因此，在评估板的抗力的过程中除了考虑纯塑性弯曲响应以外，还应该考虑到有利的薄膜的拉伸效应。出于这种目的，人们自然而然地用到了就像Jones描述和总结的一样的塑性设计方法。这种方法由于其在设计上的简单性而被广泛采用。当忽略了弹性的影响并假定材料为完全的刚塑性，这种分析就被大大地简化了。破坏载荷是由在屈服线理论的基础上假定的运动容许塑性机制和内部虚功率与外部虚功率是否相等决定的。

最近，国际船级协会根据Daley et al的文章和IACS的规范并参考传统的“屋顶”式失效模型制定了关于极地船舶在局部均布冰载荷作用下的壳板的统一要求。 统一要求在制定过程中已经作了大大简化，但这些简化都偏于保守。在板的塑性弯曲机制中去除这些偏于保守的简化并考虑大变形情况下的薄膜效应来重新评估板的抗力是这项工作的主要内容。除此之外，一种可替代的加载模型——“双钻”式模型被提了出来。这种模型在塑性弯曲方面比“屋顶”式模型能够更好地与非线性有限元分析的结果相吻合。为了调节受局部均布载荷的板的塑性弯曲能力，本文在“屋顶”式模型中引入了修正因子。另外，由于整个失效机制的自由形成受到板有效长度的制约，本文引入了板的长度限制因素。非线性有限元分析的结果用来验证所提出的公式的实用性。

2、板的塑性分析综述

基于屈服线理论的横向受压板的塑性承载能力的预测起初是针对均布载荷的例子发展而来的。屈服线理论首先是由Wood在设计四周刚性固定条件下的板的时候提出来的。长为L,宽为b的四周完全刚性固定的板的塑性承载能力可以由下面的公式估计：

其中，板的形状参数定义成：

表示具有单位宽度和高度为t也就是板厚的板条的塑性弯矩

是指材料的屈服强度。

Sawczuk的论文中介绍了大挠度情况下的薄膜效应。Jones用适当的方法又使之进一步发展。这种方法是忽略弹性效应并在有限永久变形情况下来预估梁和板的响应的。四周刚性固定板的单位长度塑性绞链的能量损耗在满足塑性规范的情况下可以表示为:

表示塑性绞链相对角速度；表示板的横向挠度。整合以上对各种屈服线的描述，Jones和Walters把四周刚性固定板对均布载荷的承载能力表示成下面的形式：

目前，具有有限长度或有限厚度的板的横向加载模式受到很大的关注。很多作者用各种各样的方法对板的承载能力进行预测。这些方法包括：纯分析法，半分析法或者是经验公式法。在板的塑性弯曲响应的基础上，Daley et al将IACS中关于板厚的相关要求应用于实际，这将在后面进一步讨论。Nyseth和Holtsmark提出了另一种局部均布加载的模型，这种模型具有三条平行的塑性绞链。有限宽度和有限长度范围的载荷的抗性描述得到了发展。Hayward研究了受有限宽度船体板的承载能力。他在研究的过程中除了考虑到Johansson提出的将有限高度或长度的载荷转化为均布载荷的塑性弯曲相，还考虑到了薄膜效应。

3、“屋顶”式均布载荷机制

Kmiecik已经证明在船体板的设计过程中屈服线理论和响应的破坏机制的实用性。屈服线模型应用于受横向均布载荷的方形板已经很普遍了，但是根据IACS的规定，这种模型同样可以应用于横向受局部均布载荷的板。

图1表示“屋顶”式局部均布载荷机制模型，这种模型是在有两个三角形区域和两个菱形区域组成的屈服线概念之上建立的。载荷假定施加于板的整个宽度上，但仅仅占长度的一部分，在板的中部的板架的中心。虚线表示塑性铰链形成地方的屈服线，阴影部分表示载荷横向作用于板的区域。短屈服线位于作用区域的外侧。

如图所示，板的长度L，板的宽度b，以及加载区域的跨度s都是已知的参数。加载区域的跨度可以比板的宽度大，也可以比板的宽度小。塑性铰链长度a和屈服线角，以及破坏压力都是未知的。对于这种机制最大的困难是用最少的方案确定塑性铰链的形成位置，也就是找出塑性铰链长度a和屈服线角度通过所有的推导，板的长度应该足够长以便支持屈服线机制的形成。

为了简化这一问题，Daley et al.作了合理的假设.首先,假定塑性铰链的长度a与加载装置的跨度s相等，这和假定水平固定装置位于局部载荷的非保守边界处是一样的。随后，通过在破坏阻力的描述中引入另外一种简化才使这种非保守主义去除。这两种简化的影响在某种程度上相互抵消；其准确度还有待进一步观察。在下列的推导中，将把这些简化去除掉。

考虑到像Amdahl讨论的边界条件，船壳板在支撑构件如横梁、纵桁等支撑下逐渐变形。 假定这些支撑构件能够保证板的边界条件，一般认为刚性固定边界条件比简单支撑与支撑构件更加有关联，因为会发生重大的塑性扭转，尤其在有限变形中。假定边界固定以限制面内位移。由于对称的原因，当相邻的板承受相同的载荷时，这种假设是合理的。如果不是这种情况，这种约束就有些夸大了，因为为了转移边界的薄膜应力，相邻板会发生某种程度上的面内位移。

通常，壳板在断裂发生之前会产生广泛的变形。假使这不会使船舶的总强度和水密完整性产生折损，局部的有限变形是允许的。当船舶发生碰撞或搁浅时，船体结构不发生断裂而产生大的变形。这可以证明上述假设。冲击载荷作用下球鼻艏的板壳设计一般允许有一倍板厚的永久变形。这是为了留出足够的裕量以防止壳板的可能的断裂。然而，目前还没有针对壳板永久变形的普遍接受的标准。Wang et al.在总结壳板允许变形的技术发展水平标准方面做出了贡献。对于允许的变形，梁间距、板厚或者加工容差可能成为主导参数。尽管如此，在评估板在局部均布载荷作用下，尤其是极端环境条件或非正常的冰作用和偶然作用如船舶碰撞条件下，应该考虑塑性薄膜的行为。

4、局部均布荷载作用下板结构响应研究

塑性设计和屈服线理论是基于刚塑性材料模型的，忽略了板变形的塑性部分。屈服线是由一系列塑性绞线形成的，并假定所有的塑性变形都集中在塑性绞线所在区域。

首先，应该计算内部虚功率和外部虚功率。考虑到纯弯曲，机制的内部虚功率计算如下：

这里，是短屈服线的虚拟转角。外部虚功率，，计算如下：

这里，是在坐标点在处的板的变形；F是加载区域。外部虚功率的表达由积分方程（9）得到：

使内部虚功率和外部虚功率相等，，便得出下面关于受局部均布载荷板的承载能力的表达：

表示单位宽度的板条弯曲的塑性抗力，。系数表示加载因数，有下面公式得到：

在均布载荷的情况下，除了屈服线的倾斜角之外，所有的得参数都提前定义了。在局部均布载荷的情况下，屈服线倾角和机制的长度都是未知的。自然而然的定义出和，从而把临界压力最小化：

从公式（11）的最小解析解可以得出和的极其复杂的表达。为了解决这一问题，Daley et al.首先假定失效机制的长度与局部加载区域的长度相等。通过在后面恢复安全系数，承受局部均布载荷的板的抗力可由下面的公式得出：

在IACS中已经得以应用的板厚要求可由下面公式得出：

去除IACS中的简化，并应用数值优化的方式探索已知参数和未知参数之间的关系。

通过公式（13）优化，、以及加载区域的长宽比s/b之间的关系如图2所示。

从图2中我们可以发现，塑性机制的长度大约是小板架（s/blt;0.5）受载区域长度的两倍，与大板架（s/bgt;6）受载区域的长度逐渐趋于相等。在适度范围内，铰线位置参数和屈服线角可以由下式估计：

如图3所示，把公式（16）和（17）代入公式（12）可以得出相当准确的结果。把公式（16）和（17）代入公式（12）可以得出如下公式：

进一步近似可以得出下面的公式：

不同受载区域长宽比的情况下，公式（18）和（19）中对Kp的表达绘制在图3中，同时对公式（12）的数值优化结果也绘制在了图3中。

从公式（19）得出的结果与公式（18）得出的结果以及数值优化的结果能够很好的拟合。因为Kp只是加载区域长宽比的函数，因此这种比较关系对所有情况都是成立的。

大扰度的板会在面内产生较大的薄膜应力，这与纯弯曲的板相比会使抗力大大增大。事实上，假定板的长边界是固定的不能发生变形，就像在连续板区域内，那么纯弯曲机制就是不可能的，例如船体舷侧结构的壳板。这在对“屋顶”式破坏机制的观察中很容易识别。在板的中部，大的变形会对边界产生向内拉的趋势。然而，在接近短边处，这种内拉效应会变小直到在边界处消失。

通过在公式（11）中引入表示薄膜效应的参数，承受局部均布载荷板的承载能力的表述可以写成：

最初对承受均布载荷板的薄膜效应的表达是：

其中，z表示单位厚度的板的扰度，也就是：z=w/t。这种表达对局部均布载荷的情况同样适用，因为局部均布载荷的关键仅仅是为了计算外部虚功。

困难之处仍然是如何确定铰线位置参数和屈服线角。由于屈服线机制在塑性弯曲阶段已经形成，假定最终破坏之前这种机制都保持不变，也就是说a和在薄膜拉伸阶段保持不变。因此，把公式（16）和（17）代入公式（21）和（22），就得到薄膜参数的表达式：

Km的近似公式对整个挠度范围都是适用的，这个公式可以从椭圆逼近近似解的方法得出。

然后得到：

图4对比了两种不同受载区域长宽比的薄膜参数。观察发现，近似公式（27）与公式（23）和（24）拟合的很好（在0.01之内）。

从以上的推导中，我们可以把承受局部均布载荷的壳板的厚度用下面的公式表达：

5、“双钻”式受载机制的提出

从第6节的图7和图8中可以看出，在传统的“屋顶”式破坏机制的基础上，承受局部均布载荷板的抗力在塑性弯曲阶段预估结果偏高，尤其是在小长宽比的情况下，例如：s/b=1.通过观察有限元仿真中板的结构响应，提出了一种可替代的运动容许加载机制，如图5所示，这种模型是基于传统的“屋顶”式模型的相似屈服线模型，称为“双钻”式破坏模式。短边处的三角形铰线形式被菱形的铰线替代。这种模型使外部虚功率增加，使内部虚功率减少，从而导致在弯曲的过程

中有较小的破坏载荷。当加载区域的宽度s接近板的长度，第二个屈服线角就会被限制并逐渐消失。最终，对于承受均布载荷的板来说，提出的“双钻”式机制压缩成为传统的“屋顶”式模型。

铰链位置参数和屈服线角和这三个未知的位置参数应用到了模型中，这将使推导过程比以前更加复杂。

采用与“屋顶”式破坏模型相同的分析过程，“双钻”式模型的压力可以由以下公式得出：

最小压力要求：

显而易见，想要得到“双钻”式破坏模型的解析解会更加困难。与“屋顶”式模型相比，数值模拟的结果显示板的弯曲能力大大减弱。例如，对于0.6m宽，3.0m长，35mm厚的板来说，不同的受载面积的情况下，其塑性弯曲的破坏载荷可以由表1计算得到。假定材料是刚塑性,屈服强度是：。

在表1中的数值基础上，在公式（11）中引入一个修正因子，这个因子可以调整纯弯曲中“屋顶”式机制和相对应的“双钻”式机制的抗力：

在有限变形的范围内，分析确定薄膜应力对抗力的影响是一项很困难的任务。与非线性有限元分析结果对比发现（参考第6节的图7和图8），Km和公式（23）、（24）对于“双钻”式机制来说是很好的预测公式。因此，这个因子作为薄膜效应的估计值一直被使用。“双钻”式机制的承载能力表示成：

最终，板厚要求可以写成下面形式：

6、有限元验证

为了验证为计算横向受局部均布载荷的板的承载能力而提出的公式的实用性，应用了

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