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使用改进的SPH方法模拟波浪过顶

关键词：SPH,Accuracy,Surface viscosity,Free surface boundary,Wave overtopping.

摘要

一种改进的平滑粒子流体动力学（SPH）方法被用于研究不同沿海结构的波浪越顶现象。模拟波的越界对自由表面边界附近的粒子运动太敏感。但是，由于核函数的截断和求解控制方程中较少的粒子的贡献，通过常规SPH方法计算出的 流动加速度在该边界处不是没有误差。在本文中，基于Xu（2010）最初提出的表面粘度概念，通过修改表面颗粒的粘度来解决此问题。通过引入的修改，可以在保持模型精度的同时显着减少自由表面边界处不切实际的粒子波动。此改进可用于不可压缩和弱压缩SPH方法，其实现很容易且计算效率很高。用改进的模型模拟了在垂直和倾斜海堤上的溃坝，孤立波浪破碎和波浪越顶的不同情况，并通过将结果与一些实验和数值数据进行比较，对新模型进行了验证。基于此研究，通过引入的修改可以更准确地模拟自由表面边界。结果，预测值特别是计算出的波浪越过速率变得更加可靠。

1. 介绍

设计大多数沿海结构如防波堤和海堤的几何形状取决于海岸线附近的波浪参数。例如，基于预测的波浪越过速率和波浪上爬高确定防波堤的波峰高度。因此，沿海工程师需要一种可靠的数值工具来精确地模拟自由表面流。通过使用“平滑粒子流体动力学”（SPH）方法可以轻松跟踪自由表面轮廓，该方法最初是由Monaghan（1992）基于拉格朗日粒子用于天体物理学的。拉格朗日粒子法在模拟自由表面流中的大变形方面比欧拉网格法更具优势，因为直接计算对流项时该方法没有数值扩散。SPH方法已广泛用于沿海工程领域，用于模拟波浪破碎，上升和漫坝（Khayyer et al.，2008；Akbari and Namin，2013；Shadloo et ai.，2015），并用于模拟波浪与几种沿海结构如垂直海堤，穿孔和淹没的多孔防波堤的相互作用（Altomare et al.，2015.，Meringolo et al.，2015；Akbari，2014；Ren et al.，2016；）。除了 SPH方法的最新成就外，Gotoh和Khayyer（2016）在一篇很好的评论文章中将SPH方法的一些应用进行了分类。他们解决了一些问题，增强稳定性（Rogers，2016；Sun et al.，2017），SPH方法的准确性，计算效率和边界条件。

首先，将SPH方法应用于流体力学，就像弱压缩SPH（WCSPH）方法（Monaghan and Kos，1999）之后Shao and Lo（2003） 开发了基于半隐式投影过程的不可压缩SPH（ISPH）方法。Lee et al.（2008）然后，Lee et al.（2010）与WCSPH方法相比，它显示了ISPH方法的效率，特别是在改善压力场方面。此外，ISPH得益于严格的数学框架，不仅在压力场方面，而且在体积守恒方面都提供了更好的结果（Gotoh and Khayyer，2016）.然而，Szewc et al（2012）报告指出，ISPH方法在其原始配方中存在密度误差累积。尽管在一些研究中已经比较了这些方法的性能（Shadloo et al，2012；Zheng et al，2014），尚无一种全球共同承认的优越的方法，Gomez-Gesteira et al.。（2010a，b），WCSPH方法的主要缺点是从敏感的状态方程中计算出的噪声压力。为解决此问题，已进行了多种尝试，包括较早的方法，例如XSPH或密度重新初始化方法（Monaghan，1989；Colagrossi and Landrini ，2003年））以及后来的方法，例如迭代方法，网格方案，利用修改后的压力项和粒子移位（Fatehi and Manzari，2012；Violeau and Rogers，2016；Sun et al.，2017），) . 此问题可以通过使用

ISPH方法及其改进方法来解决，例如移动颗粒（Lind et al，2012；Khayyer et al，2017）或利用修正的泊松压力方程（PPE）（Khayyer and Gotoh，2010) . 尽管进行了这些改进，但由于自由表面边界处的截断的核如Lind et al（2012）所说仍发生了不稳定，这种数值误差在WCSPH和ISPH方法中均会出现，并且可能会降低结果的准确性，尤其是在自由表面边界附近。另一方面，自由表面边界处的粒子运动对于计算海岸结构上可靠的波浪越过速率太重要了。

为了控制自由表面上不需要的粒子波动并保持角动量，Khayyer et al.（2008）使用了内核函数的修改梯度。Xu et al（2009）通过将粒子稍微移动通过流线来提高ISPH方法的稳定性，然后，Xu（2010）利用围绕自由表面边界的额外人工扩散来减少由于截断的内核导致的误差。Marrone et al.（2010）提出了一种用于检测2D和3D模拟的自由表面粒子的算法。他们引入了一个水平集功能，并通过模拟水坝破坏和评估水流对高层建筑的影响来验证其技术。Rafiee et al.（2012）使用改良的Riemann求解器和Shao et al.（2012）利用改进的核梯度和密度校正来提高SPH方法的准确性。Asai et al.（2012）模拟了具有和没有湍流粘度 的溃坝情况得出的结论是, 在获得额外的湍流粘度后可以使表面轮廓更平滑和压力分布更平滑。他们应用了宽松的密度不变方案来克服在模拟位置中额外的波动。Shadloo et al.(2013)通过引入人工在每个时间步结束时移动不均匀颗粒，并将其改进的WCSPH方法与ISPH方法进行比较。理想的是在不可压缩流体的模拟过程中保持颗粒的均匀性。然而，由于与截短的核函数相关的错误，出现了如Lind et al（2012）预测的不均匀的粒子分布和如Skillen et al.(2013)预测的自由表面边界处的大变形。这些研究人员计算粒子密度的梯度，基于菲克扩散定律从高浓度区域向低浓度区域移动无序的例子。Lind et al.（2012）通过模拟溃坝和规则波传播来验证其模型，并与实验数据进行比较，获得可接受的结果。后来，Lind et al.（2016） 耦合不可压缩相和可压缩相，并模拟可压缩空气和不可压缩水域之间的界面。他们将菲克定律应用于不可压缩相以改善模拟压力场，并利用状态方程来计算可压缩相中的压力场。最近，Khayyer et al.（2017）修改了界面处的菲克定律，并引入了优化的粒子移动方法来增强自由表面附近的粒子和曲面的建模。在另一项研究中，Nair and Tomar(2014)介绍了半分析方法，对位于自由表面边界的粒子施加零压力。为此，他们对内T核总和小于0. 95的粒子应用了修正的PPE近似值。Liu et al.（2014）基于最初由内部引入的内部粒子的对称性概念，使用了更准确的表面粒子评估标准Khayyer et al.(2009），他们在评估对称性条件时应用了权重 函数，并增强了模拟的自由表面轮廓，尤其是在镜角附近。之后为了节省自由表面边界处的粒子体积，Tsuruta et al.（2015）提出一种新的个人防护装备。尽管已经进行了许多研究来提高SPH在模拟自由表面边界方面的能力。但据报道Gotoh and Khayyer（2016），通过开发更准确一致的自由表面边界条件，可以增强SPH方法在海洋工程应用中的可靠性。另外，期望以低计算成本达成可靠的方法是可取的。

这项研究旨在提高SPH方法的准确性和稳定性（包括WCSPH和ISPH两项），并减少了由于自由表面边界处的截断核函数而导致的错误。为此，额外引入粘度并将其施加到自由表面边界周围的粒子上，以使它们保持均匀分布。另外，引入的方法在计算上是有效的，并且其实现是简单的。研究了不同情况，包括水坝溃决，孤波破坏和波浪上升以及垂直和倾斜海堤的越过顶盖，并将结果与其他数值和实验研究的结果进行了比较。在以下各节中，给出了控制方程式和修改形式，然后在溃坝模拟中研究了模型的性能。之后，利用不同的表面粘度研究了垂直海堤的覆盖层，并与实验数据进行了比较。Gotoh et al.( 2005) . 最后，通过模拟其他两种情况来验证该模型，首先，根据Grilli et al.(1997)提出的实验室数据，在斜床上打破孤立波，第二，根据Saville et al.(1955)的报告的实验数据，在具有四个不同波峰高程的海堤上进行规则波超顶. 结果表明，采用所引入的方法可以减少自由表面边界处不切实际的颗粒波动，结果，模型的精度特别是在计算超标率时可以显着提高。

2．控制方程

SPH方法中的控制方程是Navier-Stokes（NS）方程。可压缩和不可压缩流体流动的连续性方程为：

其中分别是流体密度和流体粒子速度。拉格朗日方法中的粘性流 的动量方程为：

等式（3）右边的第一项代表由压力梯度引起的压力。第二项表示粘性力，动量方程式中的最后一项表示重力加速度矢量。P和g分别是总压力和重力加速度矢量，并且VE=VW VT是有效粘度，是流体运动粘度Vw（1. 0E6对于水）和湍流粘度。基于子粒子尺度湍流模型的 MPS方法Gotoh et al.（2001），Smagorinsky 湍流粘度VT用于：

dr0是初始粒子间距，CS是随流动条件而变化的Smagorinsky常数，在本研究中其值假定为0. 1。应当指出，尚未引入可靠的方程式来确定该常数的准确值，并且由Shao（2006）对于任何特定的流量，可以通过调整常数 来提高模型计算的准确性。S(Uf)是大规模的应变率张量，它是速度梯度的函数，如下所示：

通过利用湍流粘度和Shao and Ji( 2006) ，湍流动能为：

3．数值方面和修改

3.1 ISPH和WCSPH：半隐式和显式方法

在ISPH方法中，使用半隐式投影方法来求解方程式并施加流体的不可压缩性（Shao and Lo，2003) . 迄今为止，已经开发了不同的投影方法。无散度速度法和密度不变法是两种常用的投影方法。结合这两种方法，可以提高数值模型的稳定性和准确性，同时又可以降低计算效率（Xu et al.，2009) ，通过使用混合源术语将它们结合起来，还进行了其他一些研究来改进这些方法（Gui et al.， 2015）或在每种方法中使用误差补偿源术语(Khayyer and Gotoh，2011；Gotoh et al.，2014)，) . 但是，本研究使用原始形式来评估引入的改进的个人效果。通过原始形式Xu et al.（2009）表明密度不变该方法比散度自由速度准确度低,但更稳定。因此，实现了发散自由速度法。通常，两步投影方法是基于将动量方程式分为两部分：

Uf是一个中间速度，理论上将被删除将上述两个方程求和。在第一步（预测步骤）中，无需考虑压力项即可明确获得参数和，等式(7) 可以重写为：

第二投影步骤是基于等式的散度的校正步骤（8）：

通过考虑连续性方程和下一时间的速度，等式（10）可以改写成以下线性方程：

由于中间速度是根据先前的预测定义的步骤等式( 9) 通过求解方程中给出的线性方程组，可以获得下一时间步的未知压力项等式( 11) 通过任何可用的直接或迭代求解器。由于当粒子数量较大时，迭代求解器比直接求解器更好用（Shao，2010），本研究采用 Jacobi预处理器的预处理双共轭梯度稳定方法，将归一化残差设置为 0. 001作为收敛准则。实际上，ISPH方法的主要计算成本与求解线性方程组有关。在求解了方程式并计算了压力梯度之后，可以通过以下方式简单地更新粒子速度：

另一方面，不需要求解线性系统WCSPH方法中的方程式。在这种方法中，假设流体具有少许可压缩性，并且通过状态方程来计算压力，例如(Monaghan)：

Csd是声音的加速度，通常取为最大流体速度的10倍，以使密度波动小于1％（Lee et al.2008）和rho;和rho;w是计算出的实际值流体的参考密度。然后，计算粒子下一步的速度，可以采用完全明确的方法来利用前一时步Fn的力来求解动量方程，如下所示：

Delta;t是选定的时间步长，上标n和n 1表示2 进行时步骤。为了提高结果的准确性，通过考虑中间时步长的力， 引入了几种方法。在这项研究中，采用预测校正器方法，并在中间时步长n 0.5预测粒子和内力的位置根据上一个时步的力量。然后，在校正器步骤中，根据从中间时步长计算得出的力，修改下一时步长的粒子的最终位置和速度。一旦新的时步粒子速度由ISPH或WCSPH方法，等式( 12) 或等式( 14) ，可以通过以下方式将粒子移动到新位置：

其中 rn和rn 1是两个前进时步长中的粒子位置n和 n 1。

3.2 通过SPH原则进行离散化

在SPH中，连续流体域是通过分离来建模的粒子和这些单个粒子通过内核功能。在每个粒子上定义了在理论上替代了增量函数的内核函数，并提出了该粒子的影响域。每个粒子在域内移动并相应地携带流体信息。在仿真过程中，每个粒子的质量是恒定的，而该粒子的其他物理参数在计算域内不断变化。通过对位于该粒子的影响域内的相邻粒子进行积分可以平滑每个粒子

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