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排队论和随机的电信业务模式介绍

摩西·祖克曼

EE系，

香港城市大学

序言

这本教科书的目的是为学生提供基本知识的随机模型，可以适用于电信研究领域，如交通建模，资源配置和流量管理。这些研究领域通常被统称为电信业务。这本书假定事先了解的编程语言和数学和完成了一般在电气工程专业的学士课程。

本书旨在提高它介绍的理论概念的直觉和物理的理解。著名的数学家西蒙-彼埃尔-拉氏的话说，“概率是普遍意义上的减少计算”[ 14 ]，因为这本书的内容属于应用概率领域，拉普拉斯的报价非常适用。因此，这本书的目的是连接直觉和常识的数学模型和它用的技术

这本书的一个独特的特点是相当重视的指导项目，涉及计算机模拟和分析。通过成功完成的编程任务，学生学习模拟和分析随机模型，如排队系统和网络，并通过解释的结果，他们获得洞察的排队性能的影响和电信系统建模的原则。虽然有时此书，提供了直观的解释，但它还提出了重要的概念和想法所需的通信量的理解，排队理论基础及相关的排队行为的电信网络和系统。这些概念和思想形成了一个强大的基础，有更高的数学倾向的学生可以跟进的概率模型和排队理论广泛的文献。这本书的结尾列出了一个小样本。

前两章提供的主题是关于概率论和随机过程，这本书的排队和话务量模型的相关背景。这两章的总结与相关作业，特别适合理解排队和话务量模型，是在以后的章节中讨论的主要议题。这些章节的内容主要是基于[ 14，25，74，80，81，79 ]。鼓励学生们学习的课本，包括更多的解释，插图，讨论，例子和家庭作业。

第3章讨论了一般的排队符号和概念，并对它进行了研究。第4章旨在帮助学生进行排队系统的模拟。模拟是有用的，重要的是在许多情况下，精确的分析结果是不可用。这本书的一个重要的学习目标是培养学生进行排队模拟。第5章提供确定的队列分析。许多排队论书籍都倾向于排除确定性队列；然而，对于初学者来说，这样的队列研究是有用的，因为这有助于他们更好地理解非确定性排队模型。第6章到第14章提供了广泛的排队和话务模型最符合马尔可夫链的范畴下的连续时间过程。第15章提供了一个离散时间队列的一个例子，被建模为一个离散时间马尔可夫链。在章节16和17，一个泊松到达和服务时间的单服务器队列的各个方面进行了研究，主要集中于平均值的结果[ 13 ]。然后，在18章中，给出了一个具有一般到达过程和一般服务时间的单服务器队列的一些结果。接下来，在19章中，我们讨论了排队网络。最后，在第20章中，随机过程，已被用来作为流量模型进行了讨论，特别侧重于它们的特性，影响排队性能。

1 有关概率主题的背景

概率论提供了排队论和随机效果模型的基础，因此，学生掌握的概率概念所需的如下材料很重要。尽管这里包含的是全面的，在这个意义上，它讨论了所有的在以后章节中使用概率的概念和技术，但它未像一般的概率课本提供大量例子和练习来供读者更好地掌握材料，因此，读者可借助附加的概率文献，例如[14]和[80]。

1.1事件，样本空间和随机变量

考虑一个不确定结果的实验。术语“实验”指的是任何不确定的情况下，例如明天的天气，明天某个公司的股票价格，或者是抛硬币的结果。样本空间则是一组实验所有可能的结果。事件是样本空间的一个子集。例如，考虑一个掷骰子实验。它的样本空间是｛1，2，3，4，5，6｝，而且一个事件可以是集合｛2，3｝，或｛6｝，或空集｛｝甚至可以是整个的样本空间｛1，2，3，4，5，6｝。如果事件的交集为空，那么它们则被称为互斥的。如果一组事件的结合等于样本空间，那么可称这组事件是穷举事件。

随机变量是在样本空间上定义的一个真值函数。这一定义与“随机变量”的措辞有点矛盾是由于随机变量不是随机的，因为它实际上是一个给实验每一个可能的结果分配一个真实值的数目的确定函数。这是随机实验的结果，因此，它的名称是：随机变量。如果我们思考抛一枚硬币的实验，可能出现的结果是正面朝上（H）和反面朝上（T），因此样本空间是｛H，T｝，一个随机变量X可能为X＝1（正面朝上H），和X＝0（反面朝上T）。

如果X是一个随机变量，此时Y＝g（X）作为某个函数g（.）也是一个随机变量。尤其是，一些函数是Y＝cX某个常数c和Y＝Xⁿ对于某个整数n。

如果X₁，X₂，X₃，hellip;，X_n是一组随机变量，此时也是一个随机变量。

1.2概率、条件概率与独立性

考虑一个样本空间S。让A成为S的一个子集，A的概率是S的一个函数并且它的所有子集，表示为P（A），满足以下三个公理：

1.

2.P（S）＝1

3.互斥事件的联合概率等于这些事件的概率之和。

一般情况下，更高的概率意味着更高发生的可能性。特别是，如果我们进行了大量的实验，还有我们通过测量每一个可能发生的事件发生多少次产生的直方图。然后，我们通过实验的总数除以所有的值来规范化直方图以获得相对频率。这些可测的相对频率可以提供直观的解释概率的理论概念。因此，术语“限制相对频率”经常被用来解释概率。

我们使用符号P（A｜B）来表示给定B，A发生的概率，即是在B成立的情况下，事件A成立的概率，如果我们知道B已经发生了，这是我们新的样本空间，为了A的发生，相关实验结果一定在中，因此事件A发生的新的概率，即概率P（A｜B），是的概率和B的概率之比。为，

(1)

因为事件等价于事件，我们有

所以根据（1）我们得到

(2)

方程（2）对于当另一事件（B）已给出并已知P（B｜A）或可以更简单地求出P（A｜B）时算出一个事件（A）条件概率很有用。

注意：A与B的交集也可表示为A，B或AB，除此之外还有 。

如果事件A和事件B是独立的，这意味着，如果其中一个发生，另一个的概率不受影响，此时

P（A｜B）＝P（A） （3）

因此，根据方程（1），如果A和B是独立的，此时，

（4）

让B₁，B₂，B₃，hellip;B_n成为在S中一组互相排斥的和完备的事件，让A成为S中另外的一个事件，此时，

（5）

因为B_i是互相排斥的，事件也是互相排斥的，因此，

（6）

因此，根据方程（1），

（7）

后者是用以推导给定的有条件和没有条件限制的事件的一组互斥及周延事件的概率的一个非常有用的公式。它被称为总概率法则。因此根据方程（7）和（1），我们得到以下关于这两个事件条件概率的公式：

（8）

后者被称为贝叶斯定理（或贝叶斯法则）

1.3概率分布函数

随机变量与事件有关。当我们说随机变量X取x值，这意味x代表着某个实验的一个结果，该实验算作是一个事件，所以｛X＝x｝是一个事件。因此，我们可以分配概率的随机变量的所有可能的值。这个函数表示为但以后将称作概率函数。在涉及概率函数文献中使用的其它名称，包括概率分布函数、概率分布、或简单分布。其原因是概率论在很多领域有着广泛的应用，在很多情况下，有很多备选术语来描述相同的事。学生了解并熟悉这些备选术语很重要，所以我们将在本书中使用这些备选术语。

随机变量X的累计分布函数被定义为所有（R是所有实数集），被定义为

（9）

因此，互补分布函数被定义为

(10)

因此，对于任何随机变量，对于所有，。

作为互补和累积分布函数以及概率函数可以从对方得到的，我们将使用术语分布函数时，我们指的是所有这些功能不具体。

我们已经提到过，若X是一个随机变量，此时Y=g(X)也是一个随机变量。在这种情况下，如果P_X(x)是X的概率函数，此时Y的概率函数是

(11)

1.4联合分布函数

在某种情况下，我们对有两个或多个随机变量在确定范围内的概率感兴趣。为了这个目的，我们定义，对于n个随机变量的联合分布函数的X₁,X₂,hellip;,X_n,如下所示：

(12)

有了联合分布函数，我们可以得到一个单一的分布函数的随机变量X₁，为：

(13)

一个随机变量当它需要最多可数的可能值时被称为离散。另一方面一个连续随机变量可能值的数量是无数的。

当随机变量X₁,X₂,hellip;,X_n是离散的，我们可以用它们的联合函数，其联合函数被定义为：

(14)

一个单一的随机变量的概率函数，可以从这得到的，

(15)

在这一节和在1.5,1.7,1.6节中，当我们提到随机变量或者它们的分布函数，我们认为它们都是离散的。然后，在1.9节中，我们将介绍相关的连续同行类似的定义和符号。

我们已经提到了概率函数，分布，概率分布函数和概率分布。这些术语适用于离散和连续的随机变量。然而，对于离散型随机变量的概率函数仅为概率质量函数的概率函数，而仅用于连续随机变量的等效项，它们是概率密度函数、密度函数和密度函数。

1.5随机变量的条件概率

我们定义的事件的条件概率的概念，也适用于随机变量。因为{X=x}，即，随机变量X取值为x，是一个事件，按条件概率的定义(1)我们有，

(16)

让成为一个离散变量X但发生Y的条件概率，我们由（16）得到

(17)

注意到

(18)

我们由(17)可得

(19)

这意味着当我们条件事件{Y=y}对一个特定的y，给定｛Y=y｝的X的概率函数是合法概率函数。这与我们的讨论是一致的。事件{Y=y}是新的样本空间而且X在此有合法的概率分布函数。根据(17)

(20)

根据对称性

(21)

因此后者和(18)给出

(22)

这是另一种版本的总概率法则(7)

1.6随机变量之间的独立性

随机变量之间的独立性的定义和事件之间的独立性的定义密切相关，因为当我们说，随机变量U和V是独立的，等同于说事件{U=u}和{V=v}对于任意u和v都是独立的，相应的，随机变量U和V当满足以下条件时是独立的

for all u, v （23）

由(20)(23)可知，我们得到了一个对于独立随机变量U与V的等价定义，是

(24)

这等价于，即我们用于定义独立事件A和B。

1.7卷积

考虑独立随机变量V₁和V₂分别有概率函数P_V1(v₁)和P_V2(v₂)它们的总和是另一种随机变量V=V₁ V₂。让我们现在获得V的概率函数P_V(v)。

后者被称为概率函数P_V1(v₁)和P_V2(v₂)的卷积。

现在让我们把结果从两个随机变量扩展到k个随机变量。考虑k个随机变量X_i，i=1,2,3,hellip;,k。让P_Xi(x_i)成为X_i概率函数，因为i=1,2,3,hellip;,k,和让。如果k=3，我们首先计算X₁和X₂去获得V=X₁ X₂的概率函数并利用上述的卷积公式之后我们继续用这个公式来得到Y=V X₃=X₁ X₂ X₃的概率函数。因此对于一个随机的k，我们得到

(25)

如果所有的随机变量X_i,i=1,2,3,hellip;,k,是独立同分布（IID）随机变量，和概率函数P_XI(x)，此时概率函数P_Y(y)被称为P_X1（x）的k重卷积。

1.8选定的离散随机变量 剩余内容已隐藏，支付完成后下载完整资料

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