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优化在指定的区域带的道路平面线形

Sukanto Mondal a, Yves Lucet b,n, Warren Hare c

a 优化系，3187大学路，UBC那根，加拿大V1V1V7
b 计算机科学系，3187大学路，UBC那根系，加拿大V1V1V7
c 数学系，3187大学路，UBC那根，加拿大V1V1V7

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文章信息
2015年6月10日发表
关键词：
道路设计
公路路线优化
水平线形
自由衍生优化

摘要

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在指定的区域带找到一个连接两个端点的最佳线形是一个复杂的问题，需要解决三个相互关联的子问题，即水平线形，垂直调整和优化土方的问题。在这项研究中，我们开发了一种新型的结合这三个问题的双级优化模型。在模型的外水平，我们优化水平线形并且在模型的内水平垂直取向的优化问题考虑土石方调配，确定一个固定的水平线形。自由衍生优化算法被用于解决所述外问题。我们的模型的结果给出了一个最佳水平在一个直线 - 圆曲线的形式，并且在一个形式的最佳垂直取向对准二次样条。我们的模型是对现实生活中的数据进行测试。计算结果表明，我们的方法提高土木工程师平均设计了27％的道路线形，造成潜在的节省数百万美元。

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1.介绍

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路设计优化是查找曲线的问题，即最大限度地减少了建筑成本，同时满足所有所需的设计规格。该问题通常被分成三个相互关联的子问题[1]：水平线形的优化，垂直排列的优化和土方优化。 在典型的道路设计，首先一个水平线形被提出，接着一个相关的垂直线形进行了优化考虑土方分配和垂直线形设计约束。

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对于一个固定的水平线形，垂直优化调整是一个很好的研究课题【15,16,9,10,6】。许多的过去的方法已经通过混合整数线性规划的方式模型化垂直取向的优化。这将创建一个复杂，但确定性优化问题通常是可解利用现代MILP求解（假设合理道路长度和时间津贴）[15]。这意味着，给定的一提出水平线形，有可能评估线形质量，就垂直最优成本方面线形的比对。这进一步表明，它应该是可能有一台计算机，以评估和寻求最佳的水平线形（在最小的垂直取向施工成本方面）。在本文中，我们展示的这种实用性理念，进一步证明这种方法在计算值节约成本，为最终的道路设计的价值。

要做到这一点，我们制定的水平线形优化问题作为一个双层优化问题。在内部水平，对于一个固定的水平，垂直取向的优化问题是使用混合整数线性规划求解（MILP）的形式[14]（见附录A），它建立在[13-16]，并提供一全局最优。该问题的外水平使用一个自由衍生优化算法，从而使局部最优，这将使一名土木工程师生成最好的一条初始路线。

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本文结构如下：第1.1节概述了一些在道路设计过去的研究，第二部分描述基本术语，第3节介绍水平线形的几何规范，第4节详细介绍我们提出的水平线形优化模型，第5节介绍我们使用自由衍生的优化求解，第6节说明为测试问题的数值结果和第7总结的贡献，并强调一些未来的作品。

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1.1.道路设计的过去研究

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如上所述，道路设计一般分为三个相互关联的子问题：土方优化，垂直线形的优化和水平线形的优化。每个问题依赖于子问题的解决方案（即垂直线形的优化需要解决土方工程优化，和水平线形的优化要求解决垂直线形优化问题。因此，有一个明确的问题难度等级。

土方优化也许是三个子问题中最成熟的。许多研究调查的土方分配和垂直的路线优化设计。Hare等[ 16 ]和de Lima 等[ 10 ]发展双混合整数线性公路施工土方施工的规划模型。不像Burdett 和 Kozan[ 6 ]，他们开发了一个考虑土方为离散
3D块的土石方调配问题的模型，在本文中，我们使用基于段模型，并指出，基于部分的模型实现精准的3D相似块基础模型当段长度小于30米[9]。

而垂直线形的优化是更复杂的，它也有丰富的研究文献。 2009年Moreb[29]开发了一种线性规划模型结合垂直线形及土石方调配优化。 2010年，Koch和Lucet[26]提出Moreb模型通过消除斜坡不必要的错误约束。最近，Hare等[14]引入了在土石方调配模型的垂直线形，导致在混合整数线性编程模型，它可以实际有效的解决该问题。

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虽然水平线形优化是最复杂的问题，但它仍然出现了许多方法。Jong等。 [20,21]开发了水平线形的优化模型，它是由遗传算法求解。然而，导致水平对齐方式不能提供任何保证（局部）最优。在2008年，Easa 和Mehmood [11]开发了一种优化模型结合安全限制，这是为量化预期线形的冲突。虽然这种模式保证了全局最优性，但相关的垂直线形成本未在优化过程中并入。在2009年， Lee等人。 [28]提出了一种启发式基础的方法来优化水平线形，它在两个阶段的工作。在第一阶段中，启发式试图近似的分段线性定线，然后在第二阶段中，它改善解决方案到使以前生成的分段线性排列与真正的道路线形兼容。此线形解决方案模型产生实际的调整，但由于一个启发式算法被用于求解该模型，最优不能保证[28]。

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在文献中，一些研究还调查了这个问题，其中一个三维取向的优化问题同时对垂直和水平线形进行优化。

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Tat和Tao[33]提出了一种三维线形优化模型，其使用遗传算法求解。他们的模型考虑了所有的道路线形设计的主要制约因素。Akay[2]开发了三维定位模型
优化森林道路，并使用模拟退火算法解决它。Aruga[3]使用禁忌搜索方法优化森林道路的三维排列。

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一个由Jha[17]开发的三维线形优化系统的基于标准决策综合考虑环境成本。Jong和 Schonfeld [22]提出的升级模型用于同时优化垂直和水平线形。前面两种模式[17,22]进行了改进在[18]通过考虑可访问性，接近性，以及土地利用变化，进一步提高[25]考虑将桥梁和隧道的成本。

cheng和Lee[8]还提出了启发式模型三维线形的优化。启发式解决了车型在三个步骤：首先，它会产生一个很好的通用水平对齐通过添加，删除或移动交叉点逐个然后通过调整来确定改进的水平对齐方式基于先前产生的水平交叉点对准，最后，它找到一个更好的三维线形通过调整对应于先前的垂直线形获得水平线性。

最类似于此工作，Kang等[24]开发了一种双电平优化模型道路线形设计。在上层一替代良好对准组被产生并在下部水平线形从替代路线选择在上部水平获得。该模型[24]用一个解决演变算法。近日，kang等人。 [23]也提出了基于演变排列优化模型算法和地理信息系统（GIS）的三维模型。

所有上述三维线形的最优化模型使用启发式算法，它做不能保证最优（甚至局部最优），并且没有或非常弱收敛保证。

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1. 术语

水平线形的优化由内找到指定的连接两个特定端点的最佳曲线走廊。在走廊地面文件数据在某个给定离散点，命名的数据点，指定的路线带内。

有两种类型的数据点，即，基部数据点和偏移数据点。通常情况下，基本数据点是点沿工程师的原始水平线形（然而，这是不绝对必要的）。偏移数据点代表水平从基部的数据点的位移。基础数据点是选择了一些单位间隔沿两个端点之间

基线。各基础数据点具有一定的相关偏移数据在左和右两个方向上点，参见图1.基本数据与相关联的偏移的数据点被定义为一起点站。走廊的基线是连接基础数据的曲线点（即，在图中的虚线曲线1）。在实践中，基准是主要由工程师定义的对齐。

基于数据点，偏移数据点，站和基准是对于给定的水平线形问题所有固定的输入数据。最终，在水平对准问题是要确定的最佳曲线（垂直线形和土方成本方面）

通过这些站点，受道路设计的限制。

每个数据点在走廊内，无论是基础数据点或偏移数据点，有一些相关的地面数据。因此，对于垂直道路的轮廓，我们可以垂直移动为每个水平数据点。水平和

从基线的垂直位移，使离散网格每个站，见图2。我们的目标是找到，每个站，一个水平偏移，产生一个水平线形和一个（局部）最优的垂直线形。

3.几何表示

水平线形由一个序列的圆曲线和切向线组成，这是由一些交点定义和每个交点的曲率半径。在图3、图和电子是对齐的开始和结束点，分别。本线路的交叉点P1，P2，和P3。每个交点都有一个曲率半径，它定义了圆曲线。与相交的曲率半径点P1，P2，P3，是R1，R2和R3，见图3。

令i是交叉点的索引和n是的交点数目。由于相交点Pi具有曲率里的相关半径，我们定义了一个交叉点曲率为的半径，其中和。不失一般性，我们可以说，在开始和结束点是在两点零曲率半径，并注意它们和。因此，我们代表了水平线形的HA序列

HA=hellip;，）. （1）

若要确定实际的水平线形，我们需要计算圆曲线和切线线段给定交叉点和曲率相关的半径。让和成为左，右切点，分别参见图4.让词是曲率中心即

对应于交叉点点。

图1.平面路线带。

图2.三维路线带.对应于每一个水平偏移，一系列垂直偏移的沿着垂直线表示。

图3. 水平线形的几何表示。 图4. 圆曲线的几何规格。

4.模型描述

我们制定的水平线形优化问题作为一个双层优化问题。内在的问题是垂直线形的优化问题，而外部问题是使用此信息，以寻求最佳水平线形。

4.1.变量和目标函数

我们可以在指定的走廊中定义一个水平线形使用一组交点和相关半径曲率，见图5。通过改变交叉口的位置点在相关的可行区域，各种各样的可以建造水平线形。请注意，在我们的模型中一个交点的可行区域被定义为一个矩形箱。由于水平对齐的交点在XY平面，我们表示=（）。我们写的变量向量是

X=hellip;，=hellip;，. (10)

注意起点和终结点是固定的并没有任何相应的半径变量。

假设我们有从0到。 在每一个站，我们定义穿过的横截面线最左边的偏移数据点和最右边的偏移数据点。 让和值的最左边和最右边的偏移量的数据点站（参照图5）。因此，在一个指定的走廊的横截面线被写为

for hellip;,. (11)

由于水平线形是线性圆曲线，我们可以计算截面线之间交叉点的点和一个水平对齐。交点可表示为横截面线的参数值被表示为。如果对于所有的j，然后水平对齐走廊里。的值可以被映射到横向偏移。在我们的输入数据，水平偏移是离散值，参见图2.因此，我们采用线性插值计算任何（连续）垂直接地配置文件数据偏移值。该该内插的精度显然依赖于距离偏移数据点之间。如果更高的精度是需要的，然后更偏移数据点应包括在该问题公式。作为这种内插的计算时间是独立偏移数据点的数量，增加了数据点的数目应该只影响数据存储要求，没有解决方案的时间。

一旦我们在每个站有一个垂直接地配置文件数据水平线形，我们可以使用在[14]开发的模型解决一个垂直线形的优化问题。由于我们将使用垂直取向解决放案，记，作为黑盒子我们寻求最小化，这是没有必要了解如何准确计算为本文。然而，在附录A中，我们提供使用的混合整数线性规划的简要概述计算（对于好奇的读者）。

最后的优化问题可以写成

min (12)

其中是一个函数，给出了最优的垂直线形成本x。注意当水平线形超出路线带，我们设置了成本为无限。

4.2.约束

一种水平曲线，由切向直线段和圆弧组成。连续2个圆弧连接由切线。为了这个切线是明确的，即圆弧足够小，这是很重要的他们不“重叠”。在图6中，我们给出了一个例子如果圆弧太大，就错了。因此，为了保持良好定义的切向线段，在该行通过交点和，长度必须大于或等于的总和对的和长度。我们可以写这些约束

（13）

我们将把这些作为连续性约束。

如果曲率半径过小（或零），那么一个水平调整可能会得到一个急转弯。这样的最佳半径曲率必须大于或等于的，最小半径的曲率。 换一种说法，

（14）

在我们的模型中，每个交叉点有一个可行区域由矩形框限定，参见图5.指定矩形框使用最左边底角点和最右边的右上角点。因此，箱形约束对应交点被写成

（15）

图5.在指定的路线带潜在水平线形。

图6.左：具有良好定义的切线的曲线。右：没有明确定义的切线的曲线。

5.解决方法

问题的目标函数（12）是一个优化问题本身。事实上，通过大规模评价混合整数线性规划（见附录A）。因此，它是非常难以访问目标函数的导数的信息（如果它存在）。其结果是，优化所述目标函数不能通过基于梯度的方法（如BFGS）或完成基于结构的方法（如单纯形算法）。 代替，它需要施加一些非基于梯度的方法。我们特别是把我们的注意两个导数的免费优化（DFO）求解：NOMAD[5]（3.5版，可在URL HTTP：//www.gerad.ca/nomad）和HOPSPACK[32]（在URL http://www.sandia.gov/

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