混凝土斜拉桥索力的优化，包括非线性优化

A.M.B. Martins, L.M.C. Simotilde;es, J.H.J.O. Negratilde;o

Department of Civil Engineering, University of Coimbra, Coimbra, Portugal

摘要

本文提出了一种数值方法计算拉索对混凝土斜拉桥预应力强度来实现所期望的最终几何模型。该程序包括一个离散直接灵敏度分析模块和基于熵的算法结构优化板块。结构分析包括的最相关的影响，即具体的时间依赖效应、施工顺序和几何非线性问题。数值例子介绍并分析了对索力的影响。结果表明可考虑这些影响的相关性来找到索力的最佳应力值。

关键词：结构优化；混凝土斜拉桥；时间依赖效应；施工阶段；几何非线性

1 介绍

斜拉桥特点是美观，并已广泛应用于世界各地，从小型人行天桥，以大跨度铁路和公路桥梁均有应用。相对于其他类型的桥梁，索力的计算是斜拉桥设计一个特点。拉索张拉的要求是控制桥梁几何形状，应力分布，纠正施工误差。在文献中提出了几种方法来计算索力。

大多数以前的研究的使用优化算法来处理斜拉桥钢桥的设计。最主要目的是找到基于某些功能相关的结构工件或经济，使用几何与横断面设计变量和确保的应力和位移整个结构保持在允许范围内的最小成本设计。优化处理也考虑三维建模、地震作用和箱形梁断面来。此外还介绍了在钢和混凝土-斜拉桥索力优化。

当处理混凝土斜拉桥，时间依赖效应由负载历史，徐变、收缩决定，同时混凝土老化也需要考虑。在施工过程中，结构几何和加载的变化影响最终桥几何和内力分布规律。此外，负荷历史影响蠕变变形。因此，考虑时间效应的建设序列模拟应包括结构分析，以充分评估在最终阶段和施工阶段的桥梁行为。

在提出了考虑几何非线性效应的斜拉桥的结构分析和作者引用考虑到这种类型的结构充分分析这些影响的重要性。

在斜拉桥索塔和桥面上的大部分受到较大轴向压力和弯曲。因为这些轴向力引起的结构的次弯矩，以及变化抗弯刚度的组成，特别是在安装的过程中，由此便导出了非线性的概念。长缆绳从索塔的顶点到桥面端悬停，受到自己重力和轴向拉力，凹陷成悬链线的形状。缆绳的轴向刚度呈非线性变化，由端点的位移函数表示，一是由于材料变形导致端点位移的发生，一是由于缆绳的凹陷情况发生变化。

近来越来越多的悬架梁板采用更纤细更灵活的板块，因此增加了结构的几何非线性行为。大跨度桥梁的建设和细长的塔导致的几何非线性行为对通过线性弹性分析得到的应力分布改变显著。

由于在施工阶段结构的高灵活性，几何非线性效应就显得格外重要。我们所知的是，斜拉桥几何非线性行为有三个主要来源: 梁柱效应、 大位移（著名的P-△）效应和缆绳凹陷效应。有些作者提到后来创立的最重要的非线性效应在全球的这种类型的结构是一个决定性问题，尤其是由于特殊荷载作用产生的大位移导致缆绳的张力减小这种情况。先前使用优化算法对索力计算的研究不包括建设阶段、时间依赖效应和几何非线性问题。因此，本文的目的是使用一种优化算法，提出一个数值模型来计算混凝土斜拉桥的索的预应力，以实现所需的最终几何特性和考虑结构分析中所有相关的位移。本文正是基于此的，但数值模型是更详细的，数值案例是更加有说服力的。

混凝土斜拉桥的索预应力是在目标最小挠度和应力的极值问题中发现的。解决方案原来是求凸函数最小值。结构对设计变量的变化作出反应可以通过一个离散的直接敏感度分析，这个分析要求在每次迭代中都有一个独立的结构分析。一个在 MATLAB 环境中开发的计算机程序被用于执行的结构分析、 敏感性分析和优化。

2 结构建模和分析

2.1 时间依存影响

安装过程和混凝土的时间依存性行为会显著影响混凝土斜拉桥的应力和变形。时间蠕变的影响，混凝土的收缩和老化评估符合欧洲规范。蠕变模型是基于线弹性的，同时考虑老化的影响。收缩徐变是时间依存性的，但是压力是独立的，同时总收缩徐变是自发收缩与干燥收缩之和。

混凝土标本在时间t内，单向荷载力作用时间内的总应变，可以写成压力，和压力表示：

(2-1)

式中：是瞬时应变；

是蠕变应变；

是收缩应变；

是热应变。

如果压力小于根据叠加原理压力等于有效和蠕变应变与外加应力线性变化：

(2-2)

式中：是徐变系数；

是混凝土28天时弹性模量；

是徐变函数。

所以式(2-1)也可以写成：

(2-3)

这表明在建设阶段和结构的使用阶段，斜拉桥的压力是在持续变化的。在变化的压力下和使用叠加的原理，式(2-3)可以写成：

(2-4)

解决这个方程已经存在几种方法了，简化的方法，分步数值积分和徐变函数的近似计算。在这里面，徐变函数是由狄利克雷级数近似得到的。这就相当于将一个流变模型转化为一个胡克模型和n个开尔文模型见图2.1。所以：

(2-5)

其中n是根据狄利克雷级数得出的数据，系数是由使用最小二乘法曲线拟合的，同时是滞后时间的倒数，用来减少时间对徐变系数计算的影响。

为了防止疲劳的不利影响，并根据常见的设计建议，保持缆绳在使用阶段时最大拉应力不超过45%的预应力钢筋的极限抗拉强度。在这种压力等级下，由预应力筋松弛导致的预应力损失非常下，因此这里问题的简化就忽略了钢筋的松弛现象。

通过等效节点应力模拟结构有限元分析的时间依存效应，与通过无机械变形导致的位移来实际计算的位移状态相一致。只使用应力和机械原始变形的弹性结构关系来计算压力。了解由于收缩徐变产生的应力疲劳，等效的的节点力可以通过有限元方法分析每个时间段的初始变形来计算。由于徐变产生的等效节点力由下面公式计算：

(2-6)

由于收缩产生的等效节点力由下面公式计算：

(2-7)

式中：B是兼容性矩阵；

是时间间隔的弹性矩阵，根据混凝土弹性模量的值而变化。

通过了解由于时间依存性关系影响而产生的增量节点力可以用增量等效方程来表示：

(2-8)

式中：是由于外部加载力的改变而导致结构矢量力的改变值。

图2.1 流变模型的徐变函数近似狄利克雷级数。

2.2 节段施工

施工阶段的建模和分析可通过使用一种考虑到悬臂施工时平衡作业的前向分析方法来表达。这种前向的分析是在整个施工过程中都直接考虑时间依存效应影响结构的应力与位移。每个阶段结束时的结果都使用叠加原理添加。对于每个阶段j有平衡方程：

(2-9)

式中：是j阶段的结构刚度矩阵；

是从i阶段到j阶段的等效节点力变化；

是导致的位移变化。

j阶段的位移为：

(2-10)

同样的方法，我们可以得出在j阶段的压力增量：

(2-11)

因此在j阶段结束时的总应力为：

(2-12)

2.3 几何非线性

正如前面提到的，有在斜拉桥几何非线性的三个主要来源：非线性轴向力增加与倾缆绳由于自身的重量造成的凹陷之间的关系；在弯曲和轴力影响下主塔和板单元上非线性轴向力与弯矩变形的关系；和大位移导致的几何变化。

2.3.1缆绳凹陷效应

当缆绳在其两段固定式，受自身重量和外部轴向拉伸力的影响，它呈悬链线的形状。缆绳的轴向刚度一部分是由于材料变形导致的末端位移的影响，另一部分是由于凹陷的产生导致的末端位移的影响。缆绳的轴向刚度变化会导致缆绳松弛，从而导致缆绳末端的位移。凹陷的大小是由缆绳的长度、自重和缆绳中的拉应力控制的。正是凹陷的变化能导致缆绳的非线性变形关系而不改变索力的线性变化。

2.3.2 梁柱组合效应

受到轴向力和弯矩的结构都受到梁柱之间的相互影响。轴向力的横向分力会引起的附加弯矩。这种相互作用的结果是由轴向压力导致有效抗弯刚度减少和由于拉应力导致有效抗弯刚度增加。同时，弯矩的存在会影响结构的轴向刚度，由于弯曲变形导致部分结构的明显缩短。

因为斜拉索会导致板单元和主塔上的大应力，结构的大位移就会发生在斜拉桥中，所以梁柱组合效应就必须考虑在斜拉桥的受力分析中。

2.3.3 大位移效应

一般而言，相对于传统的钢结构和钢筋混凝土桥梁，斜拉桥有着更大的跨度和更轻的自重。同时，在施工阶段，结构可以非常灵活。因此，几何结构的变化的影响显著，必须考虑大位移效应。

2.3.4考虑非线性效应分析

几何非线性效应被认为是通过二阶弹性分析。缆绳索力可以用刚度矩阵考虑使用等效弹性模量或恩斯特模量和由于结构几何形状的变化产生的二阶效应的等效侧力的方法来计算。一种广泛的使用方法是考虑斜拉索的非线性可以看成一条具有等效弹性模量可以用来描述悬链线绳索的行为的弦。根据等效弹性模量索的概念第一次被恩斯特引进。有效索力的等效弹性模量的值由以下公式计算：

(2-13)

式中：是等效绳缆弹性模量；

是索材料的等效弹性模量；

是特殊缆绳材料重度；

是缆绳长度；

是缆绳与水平面之间的夹角；

是索张力。

索的等效弹性模量包含材料和几何变形的影响，其值取决于自重，索的长度和张力。

通过使用每一条索的等效弹性模量刚度矩阵（如图2.2所示），可以得到其标准形式：

(2-14)

使用等效侧力的方法考虑的二阶效应也被称为虚拟横向荷载方法或迭代法考虑的用于建筑分析的二阶分析法。这个方法仅仅只能处理全结构的不稳定性或效应。部分结构的不稳定性和效应可以被忽略。这个思想是使用一组横向荷载来模拟结构不稳定性的影响。它通过求解连续线性问题的一个迭代的方法来替换原始问题（几何非线性），从而解决问题。

图2.2 桁架单元等价模型的自由度

等效侧力表示在图2.3中，图中表示出未变形的结构的弯矩类似由于索的轴向力导致索末端的横向位移出现。

图2.3 等效横向力

2.4 结构分析

结构用有限元的方法来分析。MATLAB就是专门以此为目的开发的。因为程序是满足为敏感性分析和结构优化的基本要求的。斜拉桥是一个二维框架结构。塔和板单元是以2节点/6自由度欧拉-贝努利梁建模的，拉索是以两节点等效弹性模量的杆单元建模的，根据恩斯特构想，这样可以描述索的悬链线效应。考虑几何非线性影响的结构分析用迭代的方式进行。这个过程始于一阶结构分析。利用位移和轴向力值，计算虚拟横向载荷。同时，每根索的刚度矩阵根据恩斯特模型计算的结构轴向力的改变而改变。接下来，结构受到相关的影响和横向力可以使用初级理论分析。重复这个过程，直到获得的结果在两个连续分析中不发生显著的变化。结构几何分析可以以一半的结构进行模拟。见原论文图4。

3 结构优化和敏感性分析

3.1 结构优化

这里的问题是确定混凝土斜拉桥的缆绳预应力为一个多目标优化问题。设计变量为索的预应力大小，所有的设计变量为：

(3-1)

目标函数应该是来自位移和应力的标准限制。第一组目标值是限制了板单元的竖向位移和塔的水平位移以达到板单元的最终形式和主塔弯矩变形最小。

(3-2)

式中：是在结构确定位置的位移限制值。

第二组目标值是来自于板单元和主塔应力的限制值：

(3-3)

(3-4)

式中：为混凝土实际应力；

为混凝土允许张力；

为混凝土允许使用压力。

拉索的极限应力也同样被限制了：

(3-5)

(3-6)

式中：为拉索实际应力；

为拉索允许使用最大应力；

为拉索允许使用最小应力。

因此，优化问题的目标是最小化所有设计变量关于拉索预应力的。使用基于熵的多准则找到极值解决方案，然后通过最小化无约束凸函数方程，可以被找到：

(3-7)

这个方程式连续可微的，可以使用传统的牛顿积分思想解决。计算出一个最优解（帕雷托意义上）就是每一次设计实验的值。这个函数只取决于一个控制参数，这个参数必须在优化过程中依次增加。目标函数没有一个明显的代数形式，解决采用的策略是通过对所有目标函数进行泰勒级数展开并去掉一部分有限项，然后通过迭代近似模型模拟。可以给出：<!--

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