不同需求和供应的运输问题的最小总成本的上限

摘要

在一般情况下，对不同需求和供应的总成本最小的交通问题的找到精准的上界是一个NP难度问题。在文献中，有几个缺点的两种方法来解决这个问题。在本文中，将问题归结为一个双层规划模型，并证明在多项式时间内可解的如果和下界的所有供应不低于上限的总和的所有需求；和启发式算法命名为TPVDS-A基于遗传算法作为一种有效和稳健的模型求解方法。基准和新的随机生成的实例表明，TPVDS-A算法的性能优于现有的两个方法计算实验。

关键词：遗传算法 运输问题 不同需求和供应的运输问题 限制最低总成本 最低总成本上限

1.介绍

运输问题（TP）是一个众所周知的问题，可以作为线性规划问题来制定和解决。 Kantorovich ^[17]在1939年贡献了TP，后来在希区柯克^[13]开发了运输模式。 之后，一些学者从各个角度研究了这个问题，并得到了一些有价值的结果，例如Dantzig ^[10]，Charnes和Cooper ^[7]，Arsham和Khan ^[3]，Arsham ^[4]，Adlakha和Kowalski ^[1]，Dahiya和Verma ^[9]，Sonia和Puri ^[29]，Van-croonenburg等人^[30] Sabbagh等^[25]，Sharma等人^[27]，Walter等人^[31]，Huang和Kang^[15]。 大多数情况下，在文献中，供应和需求价值在解决TP时是完全知道的。

开发具有可变参数值的交通模型已经受到较少的关注。例如，Das等人^[11]提出了一种解决多目标TP的方法，其目标函数的系数和在间隔给出的目的地和目的地的参数值。 Sa fi和Razmjoo ^[26]侧重于TP，其中固定费用被添加到运输成本中，并且间隔给出参数值。对于这个问题，Sa fi和Razmjoo ^[26]提出了两个解决方案。值得注意的是，Das等人^[11] Sa fi和Razmjoo ^[26]并没有试图找出具有变化参数值的TP的最小总成本的确切下限和上限。 Liu ^[20]构建了两个数学模型，以找出TPVDS的最小总成本（具有不同需求和供给的转移问题）的确切下限和上限。一方面，为了发现TPVDS的最小总成本的精确下限已经得到很好的解决，因为根据Liu^[20]的方法可以将其降低到线性规划问题，并且可以进一步减少到最小成本流动问题（Ahuja等人^[2]），然后可以将多项式时间算法应用于这个最小成本流动问题。另一方面，Liu ^[20]使用二元理论制定了一个非线性规划模型，找出了TPVDS最小总成本的精确上限（Bazaraa等^[5]），然后用LINGO求解器求解。 Juman和Hoque ^[16]扩大了Liu^[20]的模式，并介绍了运输过程中和目的地的库存成本。此外，Juman和Hoque ^[16]表明，Liu^[20]的方法不能总是找出TPVDS的最小总成本的确切上限。此外，Juman和Hoque ^[16]开发了一种启发式解决方案技术，比用于小尺寸问题的Liu ^[20]方法更好地找出TPVDS最小总成本的接近最优上限（参见第149页的算法1）参考文献（Juman and Hoque ^[16]））。此外，Juman和Hoque ^[16]开发了一个MATLAB程序，以发现TPVDS的最小总成本的近似最优上限（参见参考文献（Juman和Hoque ^[16]）中的附录B）。

然而，正如Juman和Hoque ^[16]所证明的，在一般情况下，为了确定TPVDS的最小总成本的确切上限是NP难题。此外，Juman和Hoque ^[16]开发的启发式解决方案技术只是一种简单的启发式算法，与GA（遗传算法）没有相同的智能特性。这种技术只能确定TPVDS的最小总成本的近似最优上限，即使对于小尺寸问题，也远低于最小总成本的精确上限。可以发现，Liu^[20]的方法有一些小尺寸的问题胜过朱曼和霍克的^[16]方法。可以看出，对于TPVDS的大尺寸问题，Liu ^[20]的方法通常比Juman和Hoque的^[16]方法在最小总成本上更接近最优上限。然而，如果所有供应的下限之和不小于所有需求的上限的总和，则TPVDS的最小总成本的确切上限可以被证明在多项式时间内可以得到。另外，GA通过模拟染色体组成的群体的演化过程，经常用于解决NP难题。因此，需要开发基于GA的更有效和可靠的方法来确定TPVDS的最小总成本的精确或至少接近最优上限，而不是Liu ^[20]和Juman和Hoque的^[16]方法。

本文的其余部分安排如下。 在第2节中，介绍了TPVDS最小总成本的精确上界的公式。此外，如果所有供应的下限之和不小于所有需求的上限之和，则在多项式时间中找到TPVDS的最小总成本的确切上限。 之后，提出了一种基于GA的启发式算法TPVDS-A，以找出TPVDS的微小总成本的精确或至少近似最优上限。在第3节中，通过对不同尺寸的实例进行各种测试来执行计算实验来验证TPVDS-A算法。结束语在上一节中作了说明。

2.计算TPVDS最小总成本的上限

Liu ^[20]考虑的TPVDS可以表示如下：有供应商iI={1,2，hellip;hellip;n}可以为n个客户提供一种商品，表示为客户jisin;J={1,2，hellip;hellip;n}。假设^ s_i i.e.供应商iisin;I的可用供应和^ d_j i.e.客户jAJ的需求分别在间隔[S_i，S_i]和[D_j，D_j]之间变化。 此外，C_ij表示供应商iisin;I对客户jisin;J的单位运输成本。此外，包括S_i（供给下限），S_i（供应上限），D_j（需求下限），D_j（需求上限）和C_ij（单位运输成本）的已知参数为非负数，S_ile;S_i（iisin;I），D_jle;D_j（jisin;J）。任务是确定运输可用数量货物的这种可行方式，以满足最小化总运输成本的客户的要求。

令x_ij是从供应商iisin;I向客户jisin;J运送的货物数量，其中x_ij是要确定的决策变量。此外，令z为总运输成本。然后，TPVDS可以表示为以下数学模型：

为了清楚起见，我们给出以下定义：

定义1. TPVDS的最小总成本的确切上限定义为TPVDS的所有最小总成本的最大值，而TPVDS的最小总成本的近似最优上限定义为最小总成本 TPVDS接近于TPVDS最小总成本的确切上限。

显然，TPVDS的最小总成本的确切上限是唯一的，而TPVDS的最小总成本的近似最优上限是不统一的。 对于TPVDS的最小总成本的接近最优上限越高越好。 此外，TPVDS的微小总成本的确切上限不低于TPVDS的最小总成本的接近最佳上限。

令（S，D）= {（^ s，^ d）| ^s=（^ s₁，^ s₂，...，^ s_m）; ^d=（^d₁，^d₂，...，^d_n）; sum;s_ige;sum;d_i; S_ile; ^s_i le; S_i，D_jle; ^d_j le; D_j，iisin; I，jisin; J}。 对于每个给定的（^ s，^ d）A（S，D），令z（^ s，^ d）是模型（TPVDS）的最优目标值，其中供给^ s_i作为第i个元素 （i isin; I），并且要求^ d_j作为^ d（j isin; J）的第j个元素。 此外，令z为（S，D）上的z（^ s，^ d）的最大值。 那么z = Max {z（^ s，^ d）|（^ s，^ d）A（S，D）}。 根据定义1，z是TPVDS的最小总成本的确切上限。 因此，针对TPVDS的最小总成本的精确上限命名为（UMTCB）的双层编程模型获得如下：

使用对偶定理，模型（UMTCB）被减少到以下非线性规划模型（UMTCB1），即模型（UMTCB）等效于模型（UMTCB1），因此最优解模型（UMTCB1）是模型的最优解（UMTCB1）; 为了证明这一点，参见参考文献。（Liu ^[20]）

Juman和Hoque ^[16]扩大了Liu的^[20]模型（TPVDS），并采用了以下三个假设：（i）从供应商iisin;I={1; 2; ...，m}到客户jisin;J={1; 2; ...，n}是t_ij的运输时间。（ii）对于客户jisin;J={1; 2; ...，n}是h_j，每单位时间持有成本。（iii）总成本等于运输成本加上运输过程中的库存成本加上目的地的库存成本。然后，由Juman和Hoque [^16]对TPVDS进行扩展的模型（TPVDS1）可以描述如下：

这里，关于如何将“库存成本”与“持有成本”相关联的细节，请参见参考文献。（Juman和Hoque ^[16]）。由于模型（TPVDS1）中的C^，_ij都是类似于模型（TPVDS）中的C_ij的已知参数，因此从数学角度来看，模型（TPVDS1）和模型（TPVDS）是相似的。 因此，在没有遗传性的情况下，仅在模型（TPVDS）下面讨论。

为了找出TPVDS最小总成本的精确上限，Liu ^[20]使用LINGO求解器求解模型（UMTCB1），而Juman和Hoque的^[16]方法使用启发式解法技术（即算法1和附录基于模型（TPVDS）和模型（UMTCB）的参考文献（Juman和Hoque ^[16]）中的B）。理论上（Liu ^[20]），模型（UMCTB1）作为非凸非线性规划模型是正确的。然而，在实践中，LINGO找到的确切解决方案不是最佳解决方案（UMCTB1），因为LINGO没有这样的通用算法，保证在可接受的时间内找出非凸非线性规划模型的确切最优解。此外，正如我们所知（Juman和Hoque ^[16]），在一般情况下，发现TPVDS的最小总成本的确切上限是NP难题。因此，不能保证刘的^[20]和Juman和Hoque的^[16]方法能够找出一般TPVDS的最小总成本的确切上限。

接下来，我们给出以下结果，可以用于在多项式时间中找到一类TPVDS的最小总成本的精确上限。

定理1.如果sum;S_ige;sum;D_j，则具有固定的^s_i =S_i（iisin;I）和^ d_j = D_j（jisin;J）的模型的最优目标函数值（TPVDS）是TPVDS的最小总成本的精确上限。

证明.实际上，具有固定的^s_i=S_i（iisin;I）和^ d_j = D_j（jisin;J）的模型（TPVDS）是以下线性规划模型:

令z*为模型（LP1）的最优目标函数值，并使zDelta;为任何给定的^ s_iisin; [S_i，S_i]（iisin;I）和^ d_jisin;[D_j，D_j]（jisin;J）的模型（TPVDS）的最优目标函数值。那么，我们证明z*ge;Z^Delta;有两种情况。

情况1：^d_j=D_j（jisin;J）

在这种情况下，模型（LP1）的可行场是模型可行场的一个子集（TPVDS）。因此，z*ge;Z^Delta;成立。

情况2：至少有一个jisin;J受^ d_jlt;^D_j的约束

为了证明z*ge;Z^Delta;，构建以下线性规划模型（LP2），并将z**作为模型（LP2）的最优目标函数值。

接下来，构建具有较低和较高电弧能力的规范网络N=（V; s; t; A; C; C;B）（Xie和Jia ^[32]）如下：顶点集V = {1,2，...，m，m 1，m 2，...，m n，m n

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