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霍夫变换研究综述

Priyanka Mukhopadhyay ^a,b,n, Bidyut B. Chaudhuri ^a

1. 计算机科学系(视觉和模式识别中心 (CVPR)), 印度统计研究所，印度加尔各答
2. 新加坡国立大学，新加坡

文章信息 摘要

文章历史:

Received 22 November 2013 Received in revised form 20 July 2014

Accepted 31 August 2014

关键词:

Hough变换 (HT)

广义Hough变换 (GHT)

概率Hough变换 (PHT)

随机Hough变换 (RHT)

数字Hough变换 (DHT)

1962年Hough获得了一种方法的专利[1], 通常称为Hough变换（HT），可有效识别图像中的线条。即使在它问世五十年之后，它仍然是一个重要的工具，超过2500篇关于其变体，概括，属性和不同领域应用的研究论文证明了这一点。本文是对HT及其变体的研究，同时也研究了它们的局限性和针对其局限性的改进，除此之外，还包括对软件和硬件中的实现问题以及各个领域的应用的研究。 我们的调查以及200多篇参考文献将帮助研究人员和学生全面地了解HT，并指导他们将其正确应用于他们感兴趣的问题。

amp; 2014 Elsevier Ltd.保留所有权利.

1. 引言

自动数字图像分析的挑战之一是形状检测，它是物体识别的重要部分。不幸的是，直接搜索和检测一类图形是一项计算密集型的工作，即使是像直线、圆和椭圆这样简单的几何图形。此外，图像数据或边缘检测方法的不完善会导致噪声的产生，而这会导致曲线丢失或被遮挡，或产生虚假像素，这一切都使得形状检测这项任务显得非常重要。为了解决这个问题，近50年前，Hough[1] 在试图检测和绘制气泡室照片中亚原子粒子的轨迹时，设计了Hough变换（HT），这是一种巧妙的方法，可以将全局曲线检测问题转化为参数空间中的有效峰值检测问题。Rosenfeld [2] 通过给出变换的第一代数形式，在主流计算机视觉社会中对它进行了推广，并提出了以变换空间作为计数器阵列的简单数字实现。 关于HT发明的有趣历史已经在Hart中叙述过 [188].

为了说明Hough变换，我们考虑使用Hough变换检测斜截式参数方程线所描述的直线的问题:

其中参数和分别是直线的斜率和轴截距。 该变换是在原始图像通过边缘检测处理之后获得的二值图像上完成的，

*联系作. 现在的地址：新加坡国立大学，新加坡

电子邮件: mukhopadhyay.priyanka@gmail.com (P. Mukhopadhyay), bbcisical@gmail.com (B.B. Chaudhuri).

http://dx.doi.org/10.1016/j.patcog.2014.08.027

0031-3203/amp; 2014 Elsevier Ltd. 保留所有权利.

参数空间以和的间隔量化，并且创建相应的单元以收集满足Eq. (1).的对象像素的证据（或投票）。第 个单元对应于间隔 和 ，其中 。对于满足Eq. (1) .的每个对象像素参数在上述范围内，第个单元中的投票增加1。在峰值检测阶段中，具有高于临界阈值的投票数的区间对应于图像中的直线. 这组单元也称为累加器。第4.5节将给出更精确的累加器定义。

这种方法也可以扩展到具有表达式的任何解析曲线,其中是可变坐标向量， 表示常量参数向量. 其在参数空间中的双重（投影方程）可表示为 其中是可变参数向量，是常数坐标向量。因此，由投影方程定义的个超曲面的截面点确定给定曲线的参数。这种限于参数分析曲线检测的方法通常被称为标准Hough变换（SHT）（图 1）。

过去已经对HT进行了两次全面的调查 [34,77]。但是对这一主题的新的研究仍在不断进行，并提出新的实施方案，同时，其在各个领域的应用研究也在不断深入。由于2012年是Hough授予专利的五十周年，我们计划再次研究HT。关于HT的现有文献非常广泛。因此，因篇幅所限，我们不可能以相同的深度覆盖每个方面。我们试图对我们认为重要的方面进行陈述和阐明，我们真诚地希望它能使学生和研究界对这个有用的工具有所裨益。

请将这篇文章引用为: P. Mukhopadhyay, B.B. Chaudhuri, A survey of Hough Transform, Pattern Recognition (2014), http://dx.doi. org/10.1016/j.patcog.2014.08.027i

2 P. Mukhopadhyay, B.B. Chaudhuri / Pattern Recognition ∎ (∎∎∎∎) ∎∎∎–∎∎∎

在描述第 3节中的主要变体之前，我们首先讨论 第2节 中的各种HT公式。在 第 4节 我们讨论了HT的各种限制以及克服这些限制的修改。第 5节 处理实施问题, 而在第6节 ，我们简要讨论了HT在某些特定领域的一些应用。

2. 公式

由于直线检测是HT最受欢迎和广泛研究的应用，我们从本节开始介绍其一些参数公式.

2.1. 直线参数化

第 1节 中讨论的斜率截距形式是用于直线检测的最早的参数形式之一，Eq. (1). 的对偶也是直线：

其中是被映射像素的坐标。由于图像空间中的共线像素被映射到参数空间中的平行直线，因此该方法是点到线映射（PTLM）。不幸的是，这种方法对图像平面上的坐标轴的选择很敏感，因为当可检测线相对于横坐标为时，两个参数都变得无界。事实上，Bhattacharya等人[137] 已经表明，任何一对一的PTLM必须是线性的，并且不能将位于有界区域（例如图像）中的所有共线点集映射到在有界区域上相交的并行线组中。因此，如果这样的PTLM定义了HT，则搜索所有累加器峰值是不现实的。这个问题可以通过定义第二个参数空间来解决，第二个参数空间从第一个旋转，如Rosenfeld[2]所设想的那样。在同一条线上，Tuytelaars等人[115] 通过将空间划分为三个有界子空间，提出了一种变体。

Duda和Hart [3] 通过将图像空间中的一个点映射到参数空间中的正弦曲线，干脆利落地解决了无界问题：

该函数具有周期并遵循该关系

如果参数子空间包含点，则它们是冗余的，这些点可以使用此关系相互映射。Immerkaer[112]已经证明了参数子空间是非冗余的，并且足以覆盖整个参数空间。当图像中心（而不是四角）用作原点时，累加器阵列的存储器要求降低到。

也可以利用其他特征进行映射，the foot of normal from a chosen origin and the neighborhood of a straight line如由选定的原点得到的法线下标[22] 以及直线邻域[194]。前者映射到与图像空间一致的空间，不需要计算三角函数，从而节省时间。而对于后者，与SHT强调参数域分辨率不同，它更强调图像空间分辨率。

2.2. 圆和椭圆检测的参数化

通常，在图像分析中，将圆和椭圆的检测放在对象本身的检测之前是有利的。许多人造物体和自然事物都具有圆形轮廓，如圆盘，硬币，纽扣，天体，饼干和生物等等。而这些物体的倾斜投影，在二维空间上会形成椭圆的形状。椭圆参数方程给出了物体和相机之间相对方向的估计。

[1,3] 中使用的圆的参数方程是

其中表示圆心，是圆的半径。因此，图像平面中的每个像素在参数空间中被转换为圆锥（图 3）。

这个过程也被称为Circle HT(CHT)[87]。Kerbyson和Atherton [87]表明，通过使用编码为复杂相位的方向和距离信息，可以显著提高位置精度。

椭圆的一般方程是

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