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形式幂级数环中的循环码

摘要 本文将对形式幂级数环中的循环码和负循环码进行研究。将会给出这类环的循环码的结构，以及这些编码和循环码在有限链环之间的关系。使用了形式幂级数环循环和负循环码之间的同构，得到过正式幂级数环负循环码的结构。

1. 简介

循环码是码的一个非常重要的一类，它们已经被研究了超过五十年。循环码是在二进制字段F₂首先研究，进而拓展到F_q同时q = p^r（p是素数rge;1）。通过在优先域F_q观察长度为n的循环码C作为一个理想的环，获得循环码的结构。循环码在环上的结构由Calderbank和Sloane[1]给出，后来，Kanwar和Lacute;opez-Permouth [2]给出了一个不同的证明。在[3]中，Wan给出了Galois环中循环码的结构。在[4]中，Norton 和S˘al˘agean用不同的技术方法扩展了[1]和[2]中给出的关于有限链环的结构定理。Dinh 和Lacute;opez-Permouth [5]在一个更一般的设定下推广了有限链环中循环码的结构。最近，通过使用离散傅里叶变换的方法，Dougherty和Park [6]研究了上长度为n的循环码的更一般的属性，其中n为任意正整数。

[7,8]中展示了生成长度为7的循环汉明码的二进制多项式可以转化为一个在上的生成该octacode的多项式，这相当于二进制非线性Nordstrom-Robinson码。紧接着这些和由Sole给出的文章[9]，Calderbank和Sloane [1] 研究在p进整数环上的循环码。在[1]中，得到长度为n在p进制整数循环码的结构，其中最大公约数（N，P）= 1。一个对p进上的且在和之间的码的提升的描述被给出了。在[10]中，Dougherty, Kim和Park进一步研究这些代码，也发现了这类代码的重量枚举。在[11]中，Dougherty, Liu和Park定义了一系列的有限链环，并介绍了正式幂级数环上gamma;进码的概念。在这篇文章中，一般的gamma;进码和在这个类链环的投影码的结构进行了研究。在这篇文章中，我们将对这个类环的循环码和负循环码进行研究。我们将给出的循环码以上形式幂级数环的结构和得到的gamma;进制循环码投影的说明。我们从一些定义开始。在这篇文章中，我们研究了环带标识的所有可交换环。令R为一个环，Rⁿ是R-模块。Rⁿ的一个R-子模块C被称为长度为n的R上的线性码。所有代码都被假定为线性。

设x，y为Rⁿ中的向量。我们定义的x,y內积为

对于长度为n的 R上的编码C，我们定义

为C的对偶码。我们注意到，无论C是否是线性都是线性的。

设S是任意一组和由表示集合S的基数| S |。设R是有限的Frobenius环。它在[12]中被证明，对R上任何线性码C，都有

(1)

作为一个是Frobenius环的有限链环，上面标识适用于在有限链环上的码。若Csube;C^perp;，那么，C被称为自正交。此外，如果C =C^perp;，那么，C被称为自对偶。

2. 有限链环和形式幂级数环

如果一个环R上的理想的I由主要元素产生，那么称之为首要。当一个有限环R所有的理想情况是通过线性有序纳入，则被称为链环。根据定义，我们验证有限链环R的所有的理想都是首要，如果存在R的理想I，因此，我I不是主要的话，我们可以假设理想的I是由至少两个元素构成。由于R是有限的，我们可以假设。我们有和，这违背有限链环的定义。这意味着有有限链环R的一个唯一的极大理想情况。

令R为一个有限的链环，其中m是R的唯一极大理想情况，让tilde;gamma;成为唯一极大理想m的产生。然后有，，。

我们有

(2)

在（2）中的链不能无限的，因为R是有限的。因此，这里出现了i，导致。

让e成为最小数，则。数字e称为的幂零指数。设R^times;是R中所有单元的乘法群。

设Rtimes;是R中所有单元的乘法群。设是特征p的残留的域，其中p是一个素数。然后，（q，r为整数）。我们知道。下面引理是众所周知的。两个引理证明可以在[13]中找到。

引理1 假设上面给出的符号。对于任意的，有一个唯一的整数i，lt;,使得，其中以mu;为单位。单位mu;是独一无二的模。

引理2设R是有限链环的极大理想，是m在幂零指数e的一个产生值。令是R在同余模下的一组等价类代表。然后，

1. 对于所有的，都有唯一的，使得;
2. ;
3. ;

从引理二中，我们知道的是R中的任何元素tilde;a可以唯一被写为

其中的可以被看作是在F中的元素。在此之后，Dougherty，Liu和Park在[11]中给出了以下两个定义。我们这里在符号上做出一点小变化。也就是说，我们先前用~gamma;指示链环的极大理想的产生，现在我们将用gamma;来表示这将对于某些环，也将产生极大理想的不确定因素。

定义1 设i为一个任意的正整数，F为一个有限域。环被定义为

其中，但中。定义对的运算如下：

;

; (3)

我们注意到如果i=1，则R₁=F，如果i=e，则Re≌R。

定义2 假定上面给出的符号。环Rinfin;定义为形式幂级数环：

我们有以下引理[11]。

引理3 假定上面给出的符号。然后，我们有

1. 对于任意的极大理想的（i lt; infin;），环R_i是一个链环。
2. 环是一个重要理想域。

设两个整数i，j且ilt;j，我们定义一个地图

(4)

如果我们用代替个R_j，那么我们可以得到一个地图。为了方便

起见，我们将之记为 。获得的和是同态的。请注意和可以分别自然地扩展从到以及从到。

上面的讨论给出了环的链，其中R_i是所有有限i上有限环及是一个无限主理想域。

这是众所周知的，对于在有限链环码的生成矩阵C，i lt;infin;是置换等价于以下形式的矩阵：

（5）

其中e是gamma;的幂零指数。上面的矩阵G称为标准C代码的生成矩阵的形式。在这种情况下,C代码的类型

(6)

对上的线性码，他有些不同。设C是上的一个线性码。然后，代码C的生成矩阵是置换等效于以下标准形式产生矩阵[11]。

引理4 让C是上一个长度为n的非零线性代码。然后，C中的任何生成矩阵排列是等同于以下形式的矩阵：

（7）

其中0 le; m₀ lt; m₁ lt; · · · lt; m_rminus;1对于一些整数r成立。

备注1 在上一个标准形式生成矩阵G的线性码C被认为是类型

其中k= K₀ K₁ ··· Kr-1中的代码作为一个模块的列。

上一个长度为n的k列码C称为gamma;进制码，我们称K为C的的唯独然后用dimC= K表示它。

备注2 设C是上的一个码。我们知道。但是，通常，。例如，设C为上一个由产生的长度为2的码，1 le; i lt; infin;。我们知道，然后，。由于，这意味着。

这给了以下定义[11]。

定义3 对于上的一个线性码C，若，则它被称为基本要素。

在[11]可以找到下面的引理

引理5 设C是上的一个线性码，则对于一些整数m，是1^m类型。

引理6 设C是上一个长度为n的线性码，则当且仅当C是类型1^k的某些整数k时，C时基本要素。

证明 若C为基本要素，则。由引理5可得，码是1^n-m型的一些m，它给出的是1^m类型。相反的，C是对某个k的1^K型。这给出了是1^n-k型，因而是1^k型。假如有，那就意味着，C是基础要素。

3 形式幂级数环上的多项式

在本节中，我们首先证明形式幂级数环的任何两个元素的最大公约数的存在。然后，我们研究在形式幂级数环上的多项式的一些性质。

设为形式幂级数环。我们注意到，任何非零元素的的可以唯一作为a = gamma;^ld其中d在一个单元和l ge; 0的整数写入。令a，bisin;，并假设a，b是不同时为零，那么，的元素d被称为a和b的一个公约数，如果它划分a和b（即，如果有元素x和y在使得dx=a个和dy= b的。我们通过d|a表示这和d|b）。如果d是a和b一个共同公约数，和每一个最大公约数和b分C，然后，d被称为A和B的最大公约数。我们用gcd（a，b）来表示a和b的最大公约数。

引理7 设a和b为中的两个元素。若a和b不同时为0，则a和b的最大公约数gcd（a，b）存在。

证明 不失一般性，令a=0且b=gamma;ld，d是一个单元，，然后gcd(a, b) = gcd(0, gamma;^ld) = gamma;^l。现在，假设A和B都不是零。令a = gamma;ⁱa₁，b = gamma;^jb₁，其中，A1，B1是单位，IJ。然后，gamma;i|a 和 gamma;<sup

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