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优化介绍

1.1介绍

优化是在特定情况下取得最佳效果的行为。在设计上，任何工程系统的建设和维护，工程师都必须采取许多在几个阶段的技术和管理决策。所有这些的最终目的是尽量减少所需的工作量，或最大限度地提高所需的利益。在任何实际情况下所需的工作量或所需的利益，可以表示作为某个决策变量的函数，优化可以被定义为一个求函数的最大值或最小值所需条件的过程。它可以从图1.1中看到，如果一个点xlowast;对应于函数的最小值f（x），同一点也对应于负的最大值函数-f（x）。因此，不损失一般性，优化可以采取的作用是最小化函数的最大值，可以通过求最小负值的相同函数。

此外，以下操作的目标函数将不会改变最优解xlowast;（见图1.2）：

1。正的常数c的乘法（或除法）

2。（或减法）一个正的常数c（或来自）f（x）。

图1.1 f（x）的最小值与-f（x）的最大值在同一点上

图1.2

没有单一的方法可以有效地解决所有的优化问题。因此，一些优化方法已被开发用于解决不同类型的优化问题。最佳的寻找方法也被称为作为数学编程技术，一般作为一个操作的一部分进行研究研究。运筹学是与数学有关的一个分支科学方法和技术在决策问题中的应用建立最优解或最优解。操作主体的开始研究可以追溯到第二次世界大战的早期。战争期间，英国人军队面临的问题是分配非常稀缺和有限的资源（如战斗机、雷达、潜艇等多个活动）部署到多目标和目的地。因为没有系统的方法可供解决资源分配问题，军方召集了一队数学家以科学的方式解决问题的方法。开发的方法由该队在英国空战的胜利中获得了帮助。这些方法，如线性规划，这是作为一个结果的研究开发在（军事）行动，随后被称为作业方法研究。

数学编程技术是有用的，用于寻找最小的一个在规定的约束条件下的几个变量的函数。随机过程技术可以用来分析问题所描述的一组随机变量已知概率分布。统计方法使一个分析实验数据和建立经验模型，以获得最准确的表示身体状况。这本书涉及理论和应用适用于工程设计解决方案的数学规划技术问题。

1.2历史发展

最优化方法的存在可以追溯到Newton, Lagrange和Cauchy的时代。微分学方法的优化研究可能因为牛顿和莱布尼兹微积分的贡献。地基的微积分的变化，这涉及泛函的最小化，是Bernoulli, Euler, Lagrange和Weirstrass奠定的。约束优化方法问题，其中涉及到未知的乘法器，成为已知以其发明者的名字Lagrange。Cauchy第一个提出了应用求解无约束最优化问题的最速下降法。尽管作为早期贡献，只有非常小的进展，直到第二十世纪中叶，当高速数字计算机实现了优化程序的实现可能性，刺激了新方法的进一步研究，这是一次壮观的进展。其次，生产大量的文献对优化技术。这种进步也导致了几个定义良好的新领域的出现在优化理论。有趣的是，在该领域的没有约束的优化主要发展数值方法已经在20世纪60年代的英国出现，发展由Dantzig单纯形法1947线性规划和Bellman最优性原理1957报喜的问题对于动态规划问题的方法的发展铺平了道路约束优化。来自Kuhn和Tucker在1951上的必要演说。

规划问题的最优解的充分性条件在非线性规划问题的大量研究中奠定了基础。Zoutendijk和Rosen在早期的20世纪60年代对非线性规划做出的贡献已意义重大。虽然没有已被发现的一个单一的技术是普遍适用的非线性规划问题，Carroll ，Fiacco和McCormick工作中应用的众所周知的技术，允许许多困难的问题得到解决无约束最优化。几何规划是在20世纪60年代由Duffin，Zener和 Peterson开发的。Gomory整数规划中做了开创性的工作，一个最令人兴奋和快速发展的领域的优化。原因为这是大多数现实世界的应用程序都属于这一类的问题。Dantzig，Charnes和Cooper提出的随机编程技术的解决假设设计参数是独立的，通常分布的问题。

在满足条件的同时优化多个目标或目标的愿望限制导致多目标规划方法的发展。Goal是一个众所周知的技术，用于解决特定类型的多目标优化问题。最初由Charnes和Cooper提出目标规划的线性问题是在1961。von Neumann在1928提出的博弈论的基础之后，该技术已应用于解决几个数学经济学与军事问题。

现代优化方法。现代优化方法，也有时所谓的非传统的优化方法，已成为强大的和受欢迎的方法。近几年复杂工程优化问题的求解方法。这些方法包括遗传算法，模拟退火，粒子群优化，蚁群优化，神经网络优化，模糊优化。遗传算法是计算机化的搜索和优化算法基于自然遗传与自然选择的力学机制。遗传算法最初是在1975由荷兰提出。模拟退火法是基于对熔融金属冷却过程的力学分析。该方法最初是由Kirkpatrick, Gelatt和Vecchi提出的。

粒子群优化算法是一种模仿社会有机体的方法。例如：一个群体或一群昆虫（例如，蚂蚁、白蚁、蜜蜂和黄蜂）一群鸟，一个鱼群，该算法最初是在1995由Kennedy

和Eberhart提出的。基于协同行为的蚁群优化算法蚂蚁的殖民地，它能够找到最短路径从他们的巢到食物来源。该方法是在1992由Marco Dorigo首先开发。神经网络方法是基于巨大的计算能力的神经系统在感官数据大量存在的情况下来解决心理问题并处理的能力。该方法最初是在1985由 Hopfield和Tank用于优化，开发了模糊优化的方法来解决涉及设计数据，目标函数和约束的优化问题不精确的形式，涉及模糊和语言描述。模糊方法在1986年的工程设计中首次提出了单、多目标优化设计。

1.3最优化的工程应用

优化，在其最广泛的意义上，可以应用于解决任何工程问题。一些典型的应用程序从不同的工程学科的范围的主题：

1.最小重量的飞机和航空结构设计

2.寻找空间飞行器的最优轨迹

3.框架、基础、桥梁等土木工程结构设计，塔，烟囱，和水坝的最低成本

4.地震、风、其他类型结构的最小重量设计随机载荷

5.最大效益的水资源系统设计

6.结构优化设计

7.连杆机构、凸轮机构、齿轮、机床等机械的优化设计组件

8.最小生产金属切削加工条件的选择成本

9.物料搬运设备，如传送带、卡车和起重机的设计，最低成本

10.最大效率的泵，涡轮机和换热设备的设计

11.电机、发电机、变压器等电机的优化设计

12.电气网络的优化设计

13.在一次旅行中，一个销售人员参观各个城市的最短路线

14.优化生产计划，控制和调度

15.统计数据分析与实证模型的构建

结果获得最准确的表示的物理现象

16.化工加工设备与设备的优化设计

17.流程工业的最佳管网设计

18.一个行业的选择

19.计划的维修和更换设备，以减少操作成本

20.库存控制

21.分配资源或服务之间的若干活动，以最大限度地提高效益

22.控制等待和空闲时间和排队的生产线，以减少成本

23.规划最佳策略，以获得最大利润的竞争对手的存在

24.控制系统的优化设计

1.4最优化问题的陈述

一个优化的数学规划问题可以表述如下

找的最小值f（x）

受约束

,

, （1.1）

其中x是一个n维向量称为设计载体，f（x）称为目的函数，gj（x）和lj（x）分别称为不等式和等式约束。变量和约束m和/或P数不需要任何联系。陈述式的问题（1.1）被称为约束优化问题。一些优化问题不涉及任何约束可以说

找的最小值f（x） （1.2）

这样的问题称为无约束优化问题。

1.4.1设计矢量

任何工程系统或组件都是由一系列的数量定义的在设计过程中被视为变量。一般来说，某些数量是通常固定在一开始，这些被称为预先指定的参数。所有其他在设计过程中，量被视为变量，被称为设计或决定变量兮，i= 1，2，...设计变量被统称为设计矢量X = { X1、X2，...，n} T为例，考虑齿轮的设计对图1.3所示，其宽度B、齿数、T1T2、中心距D、压力角psi;，齿形，与材料。如果中心距D、压力角psi;，齿和齿轮的材料是固定的提前这些量可以称为预先指定的参数。剩余数量可以集体代表的设计向量x = { X1、X2、X3 } = { B、T1、T2 }如果有对B，T1，T2的选择没有任何限制，任何一组三个数字将构成齿轮副设计。如果一个n维笛卡尔空间坐标轴代表一个设计变量（i= 1，2，...）被认为是空间被称为设计变量空间或设计空间。在n维空间的每一点设计空间被称为设计点，并代表一个可能的或不可能的解决设计问题。在齿轮副设计的情况下，设计点{ 1，20，40 }，例如，代表一个可能的解决方案，而设计点{ 1，40.5 }minus;20，T代表一个可能的解决方案，因为它是不可能的对齿轮的数量有一个负值或一个分数值。

图1.3啮合齿轮副

1.4.2设计约束

在许多实际问题中，设计变量不能任意选择，他们必须满足某些特定的功能和其他要求。限制必须满足于生产一个可以接受的设计，统称为设计约束。约束，表示对行为或性能的限制该系统被称为行为或功能约束。代表的约束设计变量的物理限制，如可用性、加工性能和可移植性，被称为几何或边约束。例如，对于齿轮副图1.3所示，面宽度不能小于某一值，因强度要求。同样，对齿数比，T1和T2，决定由输入和输出轴的转速，N1和N2。由于这些约束在齿轮副的性能上，它们被称为行为约束。价值T1和T2不能任意实数，但只能是整数。此外，可以将上、下T1和T2由于制造工艺的限制范围。由于这些限制取决于物理上的限制，它们被称为侧约束。

1.4.3约束曲面

为了说明，考虑一个优化问题，只有不等式约束gj（x）le;0。集值x满足的方程为（x）= 0形成一个超曲面在设计空间被称为约束曲面。请注意，这是（Nminus;1）维子空间，其中n是设计变量的数目。约束表面的设计空间划分为两个区域：一个gj（x）＜0和其他其中gj（x）gt; 0。因此躺在超曲面的点满足约束gj（x）的批判，而在区域为点（x）gt; 0是不可行的或不可接受的，并在地区的gj（x）＜0是可行的可接受的。所有的约束集面gj（x）= 0，J = 1，2，...，i，称为“可接受区域”称为复合约束面。

位于一个或多个的设计点约束曲面称为约束点，关联约束称为约束曲面活动约束。设计点，不在于任何约束表面被称为自由点。根据特定的设计点是否属于可接受的或不可接受的地区，它可以被认定为以下四种类型之一：

1.自由和可接受的点

2.自由和不可接受的观点

3.界和可接受的点

4.束缚和不可接受的点

图1.4 在一个假设的二维设计空间约束面

1.4.4目标函数

传统的设计程序的目的是找到一个可以接受的或足够的设计，但这仅仅满足了这个问题的功能和其他要求。一般来说,将有更多的可接受的设计，优化的目的是选择最好的一个可接受的设计。因此一个标准必须选择比较不同的可接受的设计和选择最好的一个。优化设计的标准是，当表示为函数的设计变量，被称为标准或优点或目标函数。目标函数的选择是自然选择的问题。最小化的目标函数通常是在飞机上的重量和航空航天结构设计问题。在土木工程结构设计中，目的通常是以成本最小化为目标的。机械最大化效率是一个客观的机械工程系统的明显的选择设计。因此，选择的目标函数是最简单的设计问题。然而，有可能会出现的情况下，优化与尊重到一个特定的标准可能导致的结果，可能不满意的尊重到另一个标准。例如，在机械设计中，一个变速箱发送最大功率可能不具有最小的重量。同样，在结构设计上，最小的重量设计可能不符合最小的应力设计，和最小应力设计，再次，可能不符合最大频率设计。因此，目标函数的选择是最重要的决策之一整个优化设计过程。

在某些情况下，可能有超过一个标准，同时满足。例如，一对齿轮副可设计为最小重量最大效率，同时发送一个指定的马力。优化涉及多个目标函数的问题被称为多目标规划问题。有了多个目标，出现了一种可能的冲突，和一个简单的方法来处理问题是构建一个整体的目标函数冲突多目标函数的线性组合。因此如果f1（x）和f2（x）表示目标函数，构造了一个新的（整体）的目标函数优化

f（x）=alpha;1F1（x） alpha;2F2（x）

其中的1和2是常量，其值表示一个相对重要性的常数目标函数相对于其他。

1.4.5目标函数曲面

所有的点满足f（x）= C 轨迹不变的形式在一个超曲面设计空间，每一个值对应于一个集合的不同元素表面。这些表面，称为目标函数的表面，在一个假设的二维设计空间。一旦目标函数曲面被绘制的约束曲面，可以确定最佳点，没有太大的困难。但主要问题是，作为设计变量的数目超过三个或多个，约束和目标函数的表面甚至可视化和问题要解决作为一个纯粹的数学问题变得复杂。

图1.5

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