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两轮小车建模和控制的回顾

Ronald Ping Man Chan, Karl A. Stol, C. Roger Halkyard

新西兰奥克兰大学，机械工程学院

摘 要

在过去十年里，已经有许多的能使自身很好稳定的两轮小车的研究了，各种类型的模型和控制器都被用于解释和控制两轮小车的动力学。我们探索了被调查过的方法和被使用过的控制器，首先两轮小车在平坦的地域平衡，然后在不那么平坦的区域或在其他的要求下或有一个额外的干扰情况下平衡。

目 录

1．介绍 1

2．两轮机器人－标准建模和控制 2

2.1 动力学系统建模 2

2.1.1 基于动力学方程的建模 2

2.1.2 黑匣子模型 3

2.2 建模总结 3

2.3 两轮机器人的控制 4

2.3.1 线性化 5

2.3.2 线性控制器 5

2.3.3 定常非线性控制器 7

参考文献 9

1. 介绍

机动的机器人在今天是越来越普遍，并且运用于各种各样的方面，包括探测，搜寻，营救，材料处理和娱乐。当有腿的机器人能够越过障碍时，由于多角度的自由度，他们的设计和控制变得更加的复杂。有轮的机器人效率更高，并且在和地面接触时和带腿的机器人相比有着更简单的机械结构和动力学，提供强劲的的力量。至少有3个轮子的机器人才能达到静态平衡，有着更简单的动力学。另一种更常见的轮式配置则是4轮，在车辆上最为常见，因为支撑的多边形越大，高速时的稳定性越好。然而系统若有超过3个的轮子，会变得过于束缚，并且需要一个悬浮系统，除非地面是平的。这篇论文关注了两轮机器人，特别是在静态不平衡状态。这些两轮机器人有两个安装在中间身体上的同轴车轮，在车轮轴中央有质量，所以他们必须积极的稳定自身以防止摔倒。

两轮机器人（图1）相对于其他机动机器人有着许多的好处，即使他们比静态平衡的机器人更难控制。他们仍然比腿式机器人更容易控制。因为车轮结构的现场能力，两轮机器人和其他特种驱动机器人相似，非常地灵活。就算两轮小车不完整，这在两轮小车的现场能力下只是个小问题。即使两轮小车有着更高的质心，由于其总在积极稳定自身意味着两轮机器人能对使静态平衡机器人倾覆的干扰做出调整。两轮小车小的足迹下可以做的更高，这使他们十分适合室内环境，因为他们可以通过狭窄的走廊和角落。因为两轮小车能通过前后摇摆来使他们重新稳定，所以他们也能够通过在斜面倾斜来在斜面上保持稳定。即使有着高的外形，两轮小车仍能快速加速却不倾倒。有着不超过两个的轮子意味着更大的空间来安装更大的轮子，可能使他们穿过更颠簸的路面。

图1　两轮机器人

这篇文章回顾了关于两轮小车的建模和控制的研究，非常特别的是平衡两轮小车的控制器。这包括了使用过的复杂的模型和控制器，和他们是怎样成功的。

2. 两轮机器人——标准建模和控制

在这一部份，我们考虑了一个标准的两轮小车，仅带有两个和主体相连的独立驱动的车轮，在平坦的表面移动，我们将回顾这种情节的不同建模方法和标准的用于控制机动两轮小车平衡和移动的控制方法。在这里，许多用于建模和控制策略的方法已经被尝试过了，这也是很自然的回顾的起点。

2.1系统的动力学建模

2.1.1基于动力学方程的建模

通常，这个非线性动态系统的建模是基于拉格朗日方程、牛顿的运动定律你和凯恩方法。我们假设小车主体是理想的刚体，地面是平坦的水平面，车轮无摩擦滑动，虽然我们通常把两轮小车看成是非线性系统，但我们常把它线性化来简化分析与控制器的设计。

这个最简单的模型通常只允许直线运动，即一维运动（就像上面看到的）。在图2中仅在垂直面内的运动模型也被建立了，包括两个自由度产生了两个运动，纵向的位移和主体的倾斜。我们没有把模型建完，但已经有了许多没有偏移的一维运动模型的例子^[1]。Ha 和 Yuta^[2]在1994年就给出了没有转向的一维模型的例子。Kim 等人^[3]在2011年给出了一个来源于拉格朗日方程的非线性建模的有教育性的例子。因为纵向的位置并没有对两轮小车的其他方面的动力学产生更深的影响。有时，仅建立了三个状态的运动模型^{[2] [4]}。

图2 机器人坐标系

当转向时，小车有两种转向情况。如果我们为小车的位置建立了关于X和Y方向的笛卡尔坐标系，而不是忽略纵向位置变化，我们就能获得更进一步的状态。结果就是非线性模型变得更加复杂。然而通过忽略一些附加影响后，模型可以被简化，忽略倾角改变时小车在转向轴上的转动力矩的变化，忽略转向速度对倾斜和纵向位置的影响，转向和其他状态互不影响，简化了推导过程^[5][6][8]。

当倾角改变的时候，小车在偏转轴上的转动力矩的变化会有两种情况。Pathak, Franch和Agrawal^[7]在2005年运用了小车车身的转动力矩张量矩阵充分的解释了小车的动力学。这也可以简化成忽视由于小车车身旋转造成的次要变化，但是考虑小车车身质心位置变化对于小车对于转向轴的转动力矩的影响^[9]，这个好例子来源于Muhammed等人^[10]，使用了凯恩方法，避免了转动力矩张量的影响。

2.1.2黑盒子模型

一个系统动力学的黑盒子建模方法也被认同了，这种建模方法不关心每条术语的意义， 只要结果与现实足够精确的近似。Alarfaj and Kantor^[11]在2010年用实验方法估计了一个离散时间状态空间模型的参数 ，Jahaya, Nawawi和Ibrahim^[13]在2011年估算了各种在0.1s取样时间下的离散时域的线性模型。这些包括了ARX（外来输入下的自动回归模型），ARMAX（自动回归滑动平均模型），box-jenkins模型，输出误差模型。模型系数可以通过系统对白噪声反应的最小二乘法来解决，这个主要因素影响模型精确度的主要因素是采样对象的选择和采样率，一个过高的采样率会导致数值问题，Moore, Lai, and Shankar (2007) ^[12]的关于怎样估量自动回归滑动平均模型的方法非常好，并且建议采样时间大约占系统设定时间的10%。

一个Takagi–Sugeno（简称T–S）的模糊模型被秦、刘、藏和刘^[14]四人用来近似非线性系统。由成员函数加权的线性状态空间模型的线性组合能近似估算非线性状态空间方程。一个合适的控制器也根据系统的模糊模型设计出来。

2.2．建模总结

各种使用过的模型能被归在两大方面：模型逼真度和模型类型，就如表1所示。模型逼真度包括了建模的自由度和是否对相互间的影响进行了考虑。模型类型首先归为是理论模型，白盒子模型还是黑盒子模型。理论模型的合力公式通常是一样的。但也能根据他们来源的方法而分类。黑盒子模型则能根据他们的结构分类。

表1 模型的保真度和类型分类

2.3两轮机器人的控制

两轮机器人的控制的首要目标就是保持平衡和避免倒下。次要目标就是按照某一确定的速度或轨迹运动。传感器和测量值在变，但是一般包括拥有陀螺仪和加速度计的车轮角度编码器和一个惯性测量装置。这些基本的传感器随时间的变化直接输出速度，角位移和倾斜角——通常来自惯性测量装置里面的一个凯尔曼滤波器。倾角的精确性主要依靠陀螺仪，在之后的环节会有对传感器噪声和加速度影响的协定。没有加速度计也是能估算倾角的，因为小车车身的加速度能作为一个粗糙的加速度计。

2.3.1.线性化

两轮小车经常被各种线性模型的线性状态反馈控制。通常，雅可比矩阵线性化因为他的简易而被使用，而且非常成功，由于两轮小车系统在小倾角时是十分线性化。两轮小车系统的非线性是由于三角学的正弦和余弦函数和取决于角速度的回转力引起的。倾斜量在两轮小车有一个相对较高的质心时会更加合理。注意雅可比矩阵线性化近似法忽略了与倾斜和转向状态相关的非线性影响。导致了两个明显不相关的状态空间系统。许多论文^{[1] [3][5] [15]}在基于线性近似系统下设计线性控制器前使用了雅可比矩阵线性化。

即使雅可比矩阵线性化对非线性系统进行了近似，但反馈的线性化是个通过状态和输入改变的精确的线性化。非线性因素被来于系统状态的反馈消除了。因为反馈线性化不是近似的，它使小车在更大倾角这种使非线性化扩大的状态时有更好表现。对于两轮小车，局部反馈线性化是最普遍的方法^{[７] [16] [17] [18]}。Teeyapan, Wang, Kunz,和Stilman^[19]在2010年使用了一个更简单的输入输出反馈线性化。通常反馈线性化会导致内部状态消失，使系统难以察觉。因为许多两轮下车系统的状态几乎是可通过惯性测量装置直接测量的。所以能够避免确定状态不可观测的可能性。然而为了抵消非线性化的影响，反馈线性化对于模型精确度是十分敏感的。

2.3.2.线性控制器

给出一个线性模型，只要设计了一个增益矩阵K，一个线性控制器可以如图3所示很容易地被连接来追踪参比状态。一种方法是极点配置，可用来控制上升时间和获得令人满意的表现。早期,Grasser等人在2002年发表的关于机器人JOE^[20]的论文中使用了这种方法，极点配置也被用在其他许多论文中^{[20] [21] [22]}，极点配置包括找到一个增益矩阵K，使这个期望的极点在线性装置中的矩阵特征值和特征向量为：

（2.3.1）

图3 线性参考追踪控制器

对于最优控制，线性二次调节是一个非常普通的选择，这包括找到一个控制器来求成本函数最小值。

（2.3.2）

尽管它的计算些微多一点，但它的最佳性保证足够吸引更多的研究者用线性二次调节^{[1] [9] [15] [23]}来设计他们的控制器。如果知识系统有一个有保证的60°相补角，交叉项成本x^T Nu还未被用于两轮机器人的平衡，极点配置经常产生收敛性更好的稳定。

一些研究者已经进行了线性二次调节和其它线性控制器的比较^[24][25][26]。他们的分析有时是矛盾的。Ghani^[25]等人和Lien^[24]等人发现极点配置在校正时间和较小的偏差时是优秀的．Wu和Zhang^[26]

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