Simulation Model of Supermarket Queuing System

SECTION 1 Introduction

In recent years, with the rapid economic develop ment and the spread awareness of time cost, improving service efficiency in queuing is more and more valued by people. However, the queuing problem often exists in the life, such as in banks, toll stations, shopping malls and supermarkets, especially on weekends, in evening and some other peak periods, the problem is even more serious. Although many companies utilize the current available resources to take measures to optimize the service rate of queuing systems, for example, the banks divide the service windows into personal service window and enterprise service window; according to vehicles#39; length and weight, highway toll stations set up truck booth and car booth; the supermarkets open “fast casher” in the peak periods. However, generally speaking, the establishment of queuing system, the number of service window (including toll booth, casher and such others) and the number of service window opened in different periods usually depends on the long-term practical experience of managements, which lacks of reasonable and scientific analysis.

Using the supermarket queuing systemas an example, we can always see such phenomenon: due to the different number of customers in different periods, many supermarket managers make decisions of the number of open cashes by their own experience, leading to the situation that there are many idle cashers when the supermarket has very few customers, and there are less cashers opened when customers line up in the long queues. Although in the peak time, some supermarkets open “fast cas hers” to serve customers who buy relatively few goods, the managers can not provide a cormlete solution to effectively deal with such problem in different situations, which results in the scene that we can see in the evenings, on weekends or in some holidays, a long queue that can not see its end.

Based on queuing theory to optimize management of casher number of supermarket, scholars have put forward a variety of ideas. Xi considered this problem with the customer s atis faction [1]. Jiang et al. s elected the staying time in the queuing system as the objective function [2]. Under the constraints of the average waiting time that the customer can accept, the paper gave the casher number in the minimum service cost [3]. Li et al. co rrpared the M/M/S model and multiple M/M/1 model to determine the optimal casher number [4]. In addition, through combining service operator theory, consumer behavior theory and queuing theory, the paper optimized the supermarket layout from the inlet to the outlet [5]. This article used SPSS software to analyze the correlation step settlement and proposed the independent settlement to optimize checkout efficiency [6]. Huang et al. calculated the mean and variance of the flow of guests by stable equation and made out a standard to select the number of the cash table [7]. From the view of customer loss, Chen improved operational efficiency of the present settling accounts method about one hypermarket [8].

However, the above papers are limited to the study on optimizing casher number in one queuing system In fact, they ignore the other queuing systems such as “fast casher” queuing

system serving to customers who only purchase few goods. This paper, taking into account the “fast casher”, based on the number of goods that different customers purchase, adjusts single-queuing system to double-queuing system under the current existing resources of the supermarket, and gives optimal cut-off number of goods to reduce customer staying time, improve the supermarket#39;s operational efficiency and decrease the operational cost of the supermarket.

Figure1

Figure 2

SECTION 2 Supermarkets#39; Single-Queuing System and Double-Queuing System

In this paper, the whole queuing system consists of three parts: the customer waits in the queue, the customer pays for goods and the customer leaves. The whole queuing system has n cashers (ngt;0, integer), and each casherwhether in the single-queuing system or double-queuing systemregards as an M/M/1 queuing model.

According to the requirements of single-queuing system, regardless of the number of goods purchased, all custome receive service at one casher in random, single-queuing system is shown as in Figure 1. But in double-queuing system, customers who buy goods less than (including equal to) X goods (xgt;0, integer) receive service in one queuing system which has n1 cashers (n1gt;0, integer), and customers who buy goods more than X goods receive services in the other queuing system which has n2 cashers (n2gt;0, integer), double-queuing system is shown as in Figure 2. This paper established these two simulation models.

SECTION 3

Model Parameters and Assumptions

In real life, opening and closing a casher in the supermarket are more flexible and convenient, due to the stability of the staff work in a period, so whether in single-queuing or double-queuing system, the unit of time in this paper is set to 1 hour.

3.1 The Number of Goods and the Number of Customers

The number of goods in the supermarket that each customer buy is random, so the number of goods as a variable q (based on actual statistics, it shows that the number of goods in general that a cus tomer once purchas es is less than 20, so 1le;qle;20, integer). By collecting and analyzing the numbers of customers and the numbers of goods that every cus to mer buy in the same period, we acquired the numbers of customers under different number of goods. In this paper, we used 30 days#39; data to get the average daily arrival rate of cus tomers and cumu lative probability

超市排队系统仿真模型

邢文杰，李森彪，何丽红

贵州大学管理学院，贵阳55000，中国；邮箱：lisb10@lzu.edu.cn 2

兰州大学管理学院，兰州730000；邮箱：helh@lzu.edu.cn

摘要：

本文基于M/M/1排队模型和顾客购买商品的数量，建立了超市排队系统的仿真模型，然后比较了两种不同货物数量下的排队系统，一种是单排队系统，另一种是双排队系统。接着，通过对两个排队系统的经济成本和最优出纳数的分析，得出货物的最优截数。仿真结果表明，双排队系统进一步缩短了顾客的停留时间，显著降低了超市的运营成本，提高了超市的运营效率。

关键词：排队论、仿真、超市、收银员号

第1节 介绍

近年来，随着社会经济生活水平的快速发展和人们对时间成本意识的迅速提高，提高排队服务效率越来越受到人们的重视，尤其是作为顾客和服务机构经营者来说，解决排队问题有着重要意义。然而，排队问题甚至排队难题始终会存在于生活中，比如在银行、收费站、商场、超市等情景下的排队现象都是无可避免的，尤其是遇到了周六周末和各大国家法定节假日这样的排队高峰期，其问题更为显著和严重。尽管许多公司和业务经理尝试利用现有人力物力财力资源，并采取措施来优化排队系统的服务率，例如，银行将服务窗口分为个人服务窗口和企业服务窗口；根据车辆的长度和重量，公路收费站设置了卡车亭和汽车亭，对数目庞大的车群进行分流疏导；超市在高峰期时会开启“快速兑现”通道。然而在一般情况下，排队系统的建立、服务窗口的数量（包括收费站、收银窗口等）以及不同时期的服务窗口的数量，往往简单地取决于管理层的长期实践经验，而缺乏理论层面上严谨合理的科学分析。

以超市排队系统为例，我们在日常生活中总能看到这样一种现象：由于不同时期、不同时间段的排队等待结账顾客的数量不同，许多超市经理习惯于根据自己的管理经验来决定开放现金收费窗口的数量，经验法虽然成本低，但可靠性因人而异，这就导致有的超市在顾客很少的时候会出现很多无事可做的收银员的现象；或者当顾客排成长队时，开放的收银台反而不够、收银员们显得手忙脚乱。虽然有的超市在高峰期选择开设开通了“汉堡可乐快餐店”性质一样的快速收费通道，为购买相对较少商品的顾客提供更加迅速的结账服务，但经理们往往都不能提供一个长期稳定、有效可行的超市排队解决方案，也不能在不同的情况下迅速有效地处理这类问题，这就导致了我们在晚上、周末或某些节假日都能看到这样一个场景：超市等待收费排队的人排得很长，以至于我们根本看不到它的尽头。

对于“基于排队论对超市收银窗口开放数量的优化管理”这个问题，学者们提出了多种分析和解决的思路。习姓研究学者认为这个问题与客户的满意程度有关[1]。江姓研究学者等人把排队系统中的停留时间作为目标函数来看待[2]，这篇文章把客户可以接受的平均等待时间作为约束条件，给出了最小服务成本下的收银服务台的开放数量[3]。李学者等人对m/m/s模型和多个m/m/1模型进行了进一步修正以确定出最佳的收银台开放数目[4]。此外，该文章还结合服务经营者理论、消费者行为理论和排队论，对超市从入口到出口的布局进行了分析和优化[5]。它利用SPSS软件对相关阶跃沉降进行了分析，提出了独立沉降优化检验效率的方法[6]。而黄学者等人用稳定方程计算出客人流量的均值和方差，并制定了选择现金表数量的标准[7]。从客户流失的角度看，陈学者所采用的优化方法目前显著地提高了一家大型超市结算方式的操作效率[8]。

然而，上述研究仅限于对一个排队系统中的收银员数量优化的研究，实际上，他们忽略了其他排队系统，如“快速收银员”排队系统，这些排队系统服务于只购买很少商品的客户。本文在考虑“快速收银”的基础上，根据不同顾客购买的商品数量，在现有超市资源条件下，将单排队系统调整为双排队系统，并给出最佳的商品截数，以减少顾客停留时间、提高超市的运营效率，并实现降低超市的运营成本等目标。

第2节 超市的单排队系统和双排队系统

本文将整个排队系统分为三个部分：顾客排队等候、顾客付款、顾客离开。设定整个排队系统有n个收银窗口（ngt;0,n取整数）, 以及单排队系统或双排队系统中的每个收银系统都被视为m/m/1排队模型。

根据单排队系统的要求，无论购货数量多少，所有客户都随机在一个收银员处接受服务，单排队系统如图1所示。但在双排队系统中，购买商品的顾客少于（包括等于）X货物（x＞0，取整数）一个队列系统中接收服务的窗口数n1（收银窗口n1gt; 0，取整数），以及购买商品超过X其他排队系统中的货物接收服务n，收银窗口ngt; 0，整数），双排队系统如图2所示。本文建立了这两个仿真模型。

第3节 模型参数和假设

在现实生活中，一般超市无论是开店还是关门休业都比较灵活和方便，且由于超市工作人员在一段时间内的工作状态和效率都比较稳定，所以不管是在单排队系统还是双排队系统中，本文的时间单位都设置为1小时。

3.1货物数量和客户数量

超市中每个顾客购买的商品数量是随机的，因此商品数量是一个变量Q（根据实际统计，一般来说，一个客户购买的货物数量少于20件，所以1plusmn;q＝20，q取取整数）。通过收集和分析同一时期的客户数量和每个客户购买的商品数量，可以得出采购不同商品数量下对应分布的客户数量。本文利用调查收集到的共计30天的数据，得出了不同货物数量下客户平均日到达率和客户相对概率分布。而在实际的超市里，因为顾客选择购买的商品梳理Q是不确定的数值，故可以利用Excel软件中的随机函数生成随机数。把pi;（0到1之间）与累积概率分布比较，进而得到每个客户随机购买的商品数量，这取决于pi;在累积概率分布中，它在累积概率分布中的两个相邻值作为自变量，与它在累积概率分布中的两个相邻值相对应的两个货物数是因变量，然后我们就能得到一个函数。放pi;在函数中，我们得到客户随机购买的相应商品数量。最后根据同期超市30天数据平均到达率，确定每次生成的随机数。

3.2单排队系统最佳收银窗口开放数量

在单排队系统中有五个参数TC,n,lambda;,Cs,Cw. 其中TC是整个单排队系统的单位时间的成本，它由收银员的运营成本和单排队系统中每单位独立时间的顾客等待成本组成，即：

TC=n⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪Cw⎡⎣⎢⎢(lambda;nmu;)22(1minus;lambda;nmu;) lambda;nmu;⎤⎦⎥⎥ Cs⎫⎭⎬⎪⎪⎪⎪( ngt;0,integers)(1)

其中，n是开放收银窗口的总数。在单排队系统中，这就能给出最佳开放窗口数目，也就是：nlowast;=lambda;cscwminus;minus;radic; lambda;mu;[9](2)

其中lambda;为单位时间内顾客在超市接受服务的总到达率，Cs是每单位时间操作现金出纳的成本，Cw是每单位时间等待服务的客户成本。

3.3双排队系统中的最佳窗口开发数目

在双排队系统中，有五个参数T,TC1,ni,lambda;i,mu;i (i数值为1或2，表示双排队系统中两个各自的排队系统) 。T是单队列系统和双队列系统在单位时间内的成本之差，即存在这样的关系：T=TCminus;TC1. TC1则是整个双排队系统的单位时间成本，包括收银员的运营成本和单位时间内双排队系统中客户的等待成本。也就是说，存在着这样的关系：

TC1(n1, n2)=n1⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪Cw⎡⎣⎢⎢(lambda;1n1)2mu;1(mu;1minus;lambda;1n1) lambda;1n1mu;1⎤⎦⎥⎥ Cs⎫⎭⎬⎪⎪⎪⎪ n2⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪Cw⎡⎣⎢⎢(lambda;2n2)2mu;2(mu;2minus;lambda;2n2) lambda;2n2mu;2⎤⎦⎥⎥ Cs⎫⎭⎬⎪⎪⎪⎪(n1,n2gt;0,integers)(3)

ni指双排队系统中两个排队系统各自打开的收银台数量，取n2=nlowast;minus;n1，取T自变量n1，并使其等于零，这样就给出了双排队系统的最优条件个数，即：nlowast;1=lambda;1mu;2nlowast;lambda;1mu;2 lambda;2mu;1.；又由于：part;2T(n1)/n21=minus;2Cwmu;1lambda;21/(mu;1n1minus;lambda;1)3minus;2Cwmu;2lambda;22/[mu;2(nlowast;minus;n1)minus;lambda;2]3lt;0(4)

因此nlowast;1=lambda;1mu;2nlowast;/（lambda;1mu;2 lambda;2mu;1）是该公式的最大解；由于存在：part;2T(n1)/n21=minus;2Cwmu;1lambda;21/(mu;1n1minus;lambda;1)3minus;2Cwmu;2lambda;22/[mu;2(nlowast;minus;n1)minus;lambda;2]3lt;0(4)

因此，nlowast;1=lambda;1mu;2nlowast;/lambda;1mu;2 lambda;2mu;1、nlowast;2=lambda;2mu;1nlowast;/lambda;1mu;2 lambda;2mu;1 是最大解。在双排队系统中，两个排队系统的收银窗口打开的最佳数量分别为：

nlowast;1=lambda;,mu;2nlowast;/lambda;1mu;2 lambda;2mu;1,

nlowast;2=lambda;2mu;1nlowast;/lambda;1mu;2 lambda;2mu;1(5)

其中，lambda;i是单位时间内两个排队系统顾客在双排队系统中的平均到达率，根据不同X（X为整数，以及1le;Xle;20,因为1le;qle;20)）我们将超市的单排队系统调整为不同的双排队系统。不同的X的数值带来了不同的lambda;i值，且因为在一个单位时间内顾客和顾客购买的商品数量是有限的，所以我们会得到不同的结果。通过在超市收集调查研究和对经理的访问，我们在不同X取值下得到不同的lambda;i，Ui是单位时间内两个排队系统在双排队系统中各自的平均服务率，且不同X取值也会导致Ui数值的变化。因为在单位时间内，双排队系统中的两个排队系统在不同情况下会有各自不同和独立的平均货物数X，而根据我们对实际收银情况的调查来看，窗口收银员每扫描一件商品（整个流程包括拿起、扫描和放下一件商品）的过程大约需要2秒钟，而顾客的支付过程（在现实生活中，大多数客户使用的是信用卡）大约需要8秒钟。由此我们将平均货物数乘以2秒加8秒，就可以得到每个客户所需的平均服务时间。（由单位时间除以平均服务时间，以及Ui以不同的X值给出）

第4节 仿真设计

我们希望得到一个直接的最优解X。但是X不能用四个参数lambda;1,lambda;2,mu;1,mu;2表示。所以我们只能通过模拟得到解决方案X。我们在建立了仿真模型并获取了所有参数后，设计了仿真实验。模拟考虑了随机环境的影响，对100个随机模拟实验的数据结果进行了收集和分析，使最终的求解更具通用性和可靠性。模拟实验步骤如下：

1. 首先使用计算机软件EXCEL来生成随机数（正整数），就能得到每个客户购买的相应商品的数量，而生成的随机数是由30天的客户平均到达率来确定的；
2. 再根据随机数和随机数，可以得到单排队系统和双排队系统的到达率和服务率；
3. 通过方程（2）和（5），可以分别得到单排队系统和双

   资料编号：[4769]