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树木生物力学优化算法理论与实例

图3.2 分支弯曲运动（BM）和分支加载（BL）的示意图，（a）显示通过形成反应木材（RW）来优化分支，（b）显示通过反应木材的作用的分支加载和重新定向

3.4 树木生物力学优化算法

在本节中，我们将展示如何将树生物力学的基本原理转换为一种称为树生物力学优化（TBO）的有效优化算法。这是一种基于人口的启发式算法，它假设树木生长的自适应机制可以成为d维问题的目标函数的潜在解决方案。TBO将目标函数视为树的形状进行优化，TBO背后的概念用于探索和开发。在该方法中，生长的质量（分支加载）和树的属性被认为是优化的主要原因。 因此，在该优化方法中，分支种群的性质如高度，半径，杨氏模量，安全系数和细长比在确定分枝/茎的生长质量和新位置中起着至关重要的作用。在这里，一个小的增长量被确定应该添加到个人人口，如果添加的质量适合个人，它可能不会在旧的解决方案中造成不可行，因此人口保持在一个可行的区域（直立位置），这对应于一个优化问题的更好的解决方案。如果生长质量大，则分支的位置变为不可行区域（弯曲位置），并且这对应于要优化的目标函数的更差解。为了通过使用TBO开始优化，首先让我们考虑将目标函数最小化为F(= [x₁,x₂,x₃,....x_d])其中d是目标函数的维数。通常，树木由于自重而通过产生反应木材来承受重力的影响，所述反应木材支撑树木的破损或弯曲。因此，在这种新方法中，我们引入百分比偏差（PD）作为运算符，在更新新解决方案时生效。 PD是根据个体群体和迄今为止在任何迭代（t）中获得的最佳解决方案确定的。 此后，在任何步骤中，在新解决方案之前计算PD，并确定是否应该更新解决方案。 更新解决方案意味着与最佳值的偏差很大，而且在未更新解决方案时则相反。 稍后可以给出详细解释。

树生物力学现象以图形方式解释，如图3.3所示。 从图3.3（a）中可以看出，在附加的生长质量期间，分支处于接近可行的区域，但随着生长质量的不断增加，因此在分支中引起弯曲，如图3.3（b）所示。当树枝经历过度弯曲时，它们会产生“反应木材”，将树枝重新定位到更好的位置，这个过程在二次生长过程中发生（见图3.3（c））。因此，反应木材可用作改善分支（群体）位置的安全因子。 从上述生物力学机制出发，制定了一种新的基于群体的启发式算法，其中优化的基本原则总结如下：

1. 树将其生长方向从主要生长方向重新定向到次生长方向，反之亦然，以最小化其茎/分枝上的弯曲力矩（探索）
2. 当感觉弯曲效应（开采）时，树木的生长质量最小化。
3. 树受到机械力（开采）的影响而发展RW。

图3.3 作为探索和利用搜索空间的树生物力学机制的示意图，提出的TBO（a）显示了初级生长阶段的生长质量，（b）显示了由于质量增加导致的分支的弯曲运动（BM）（M_i） ，j）在初级和次级生长阶段，（c）显示通过形成反应木材（RW）的适应性机制，（Hi,j t 1）是分支的新高度。

在该方法中，如果我们将目标函数视为经历质量加载的分支/杆并且采用生物力学行为，则可以在d维搜索区域中优化目标函数。图3.3作为TBO的主要概念解释，其中采用勘探和开发范例来优化d维问题。 在该图中，目标函数的搜索区域位于F（x）和x之间的区域中，其中目标函数的可行解接近F（x）并且x是不可行解的基础上的位置。如图3.3（a）所示，分支的新位置由红点表示，旧位置由蓝点表示，增长质量由棕色点表示。 另外，新位置对应于d维问题的新目标值。例如，在图3.3（b）中，分支处于最大弯曲力矩，其中分支的新位置是不可行的。然而，如图3.3（c）所示，通过形成反应木材（RW）对分支采用自适应机制，并且分支的新位置移向最佳值所在的目标空间。

用于生成新解决方案的TBO的主要思想是简单的，对于分支群体随机生成第一初始解，并且在分支群体中最佳值（适应值）被认为是干线，因为干线通常具有最优结构 因此，在树中，通过使用精英主义概念从最初的一代中选择最佳值（适合度值）。然后，从初始解决方案计算百分比偏差（PD），由此PD的值位于最佳解决方案和其他解决方案之间。 PD的值保证了最优解，因为它在迭代结束时减少。 此外，在获得PD值之后，在解决方案更新之前计算群体的其他属性，此后，该解决方案经历TBO的两个阶段。在初级阶段，首先确定诸如安全系数，长细比，高度，弯矩和人口抗弯刚度等操作者。 然而，假设在弯曲力矩下的初始分支群体，例如，让我们说在该弯曲力矩（BM）内确定新的解决方案x_fit（参见图3.2（b））并且计算其来自旧解决方案的PD并且如果 获得的PD值与较早的值相比较少，则意味着人口仍有可能获得额外的增长质量。因此，在PD值之后更新解决方案直到接近零，然后使用贪婪概念评估所获得的解决方案。 例如，如果新解x₁优于x₂，则之后选择它作为新解，个体在新BM下经历第二阶段，从而在解决方案更新之前更新总体的属性。在第二阶段，先前的解决方案从第一原理开始经历改进。因此，通过半径增量的视角确定新的生长质量，之后通过将更新的生长质量添加到旧位置来计算新位置。 然后，当它小时计算PD值意味着新位置有改善，因此通过在旧位置增加另一小质量增长来更新解决方案。 该过程将持续到PD值和最大迭代耗尽为止。从上述解释来看，勘探和开采均采用初级阶段和次级阶段，其中两个阶段和发电次数用于勘探（图3.3（a））和操作员，如PD，因子和弯矩 用于开发（图3.3（c））。

3.4.1 TBO的一般配方

首先，在给定时间（t）中随机生成具有位置xt i,j = x_i,1,x_i,2，x_i,3，...，x_NB,d的分支i = 1,2,3，...，NB的群体。 到目标函数的d维（j = 1,2,3，...，d）。此外，初始质量Mt i,j = M_i,1，M_i,2，M_i,3，...，M_NB,d也是随机生成的。 假设由于生长的质量（Mt i,j）（自重或向地性），人口的初始（xt i,j）位置处于最差位置（弯曲位置）。因此，在人口中，健身值（树干值）必须具有更好的位置; 因此，使用贪婪技术选择适合度值（主干）。 假设f（x₁）lt;f（x_i）并从群体中挑选出来。在初始解决方案生成之后，确定名为PD的操作员控制搜索过程，并给出为（PD=100.(WS-)/），其中WS是人口中任何更差的解决方案，是人口中的最佳解决方案。此后，在新解之前的时间（t）中确定群体（分支）的性质，例如杨氏模量（Et i,j），半径（Rt i,j）和高度（Ht i,j）。此外，还为人口计算了名为安全系数（SFt i,j），长细比和（SRt j）的操作员。 为了产生新的解决方案，首先，通过使用胡克定律确定群体的年模数如下：

=/ (3.3)

从等式3开始，应力（s_i,j）基于应力的基本表达式来定义：

=/ (3.3a)

其中F_i,j = W = M_i,jg和W是分支的权重，g是引力常数，取（9.18），（A_i,j =pi;R2 i,j）分支的横截面; 同时，菌株（e_i,j）取自Kubler [90]得出的表达式： = (3.3b)

现在将方程3.3（a）和方程3.3（b）代入方程3.3并通过考虑pi;= 3.14和g = 9.18进行简化，因此它给出了杨氏模量的表达式如下：

= (3.4)

因此，群体的年轮模数可以通过（3.4）计算。 然而，为了找到大的Et i,j值，可以有效地在初级阶段为群体生成合适的高度，首先，半径（Rt i,j）取自随机值（0,1），从而得到Et i,j通过考虑随机值的最小半径来获得值。然而，从树木中的生物力学行为来看，较硬的分支具有较大的杨氏模量值，这意味着分支可以抵抗风荷载/重力效应，这解释了最大符号（3.4）。 必须给出分支群体的特定权重rho;，并且在此将其视为预定义参数。 此外，树的特定重量从一种树到另一种树不同。 因此，在许多树种中，它们的比重范围为0.58-0.602 [91]。因此，在运行多次测试后，rho;在TBO中设置，最佳值为0.28，然后乘以（随机值j）使值随机化。 最后，分支群体的高度由（3.5a）[81]计算。 为了考虑初级增长，临界高度（3.5a）在任何迭代（t）中增加，如（3.5b），0.05是迭代因子：

=1.26 (3.5a)

=max(0,(1 0.05t/)) (3.5b)

从方程3.5a中，平均值用于确定安全系数和长细比。 因此，临界高度的平均值如下：

= (3.5c)

虽然，方程3.5b的临界高度产生了良好的结果，但收敛率很高，因为高度值是根据决策变量。 因此，通过使用临界高度的平均值增强了收敛过程。在方程3.5b中，（t）是迭代（生长时间），t_max是最大迭代。

名为安全系数的操作员定义为临界高度（公式3.5b）与公称高度（公式3.5a）[81]的高度比。 然而，安全系数用于利用搜索来寻找分支群体的新增长量。 例如，当人口的生长质量（Mt i,j）由（3.1）产生时，该值可能不合适，因此可以将人口推向不可行区域;因此，安全系数用于在任何迭代（t）中改善该质量值。因此，将新质量添加到人口的新位置将使人口保持在目标函数的可行区域内。安全系数由以下因素确定：

=/ (3.6)

称为“细长比”的另一个特性定义为临界高度（公式3.5a）与支管直径[81]的比值。此外，细长度由安全系数驱动，以提高其价值，因此人口的新位置得到进一步改善。 因此，细长比在这里给出：

=/) (3.7)

在经过多次试验后的初级阶段，BM被发现适合在0.005 |BMge;0.05之间，其中探索和开发之间的平衡是以增长的质量为代价的经历，生长的质量扰乱了人口的位置（由下式给出） 3.11a）当增长质量很小时，意味着增长继续在主要方向，因此进一步开发由（3.11b）完成。另外，在给定角度和任何迭代（t）中计算分支群体的BM。 首先，让我们定义如何确定弯矩，如下所示[79]：

= (3.8)

从公式3.8中，theta;的值是预定值，并且在经过多次测试后定义，发现theta;应该在5-12度之间，大角度可以产生不令人满意的结果，而且，大 角度意味着在树枝的群体中存在更多的弯矩，因此，从树木的生物力学来看，树木在风力/重力效应中存活不是一个好的标志。 此外，当theta;小于5时，很快就会切断迭代，这是因为在该方法的第二阶段中theta;角设定为减小，相位在第3.2和3.3段中说明。将杨氏模量（公式3.4）的值乘以惯性矩（0.25pi;Rt i,j），以便找到用于更新分支群体的生长质量的抗弯刚度（FSt i,j）。因此，抗弯刚度由下式给出：

= (3.9)

接下来的段落将描述该方法中两个阶段的表述。

3.4.1.1主要阶段（PP）：

如前所述，该方法分为两个阶段，即初级生长期和次生长期，这两个阶段取自树木生长的生物力学，其发生在纵向（初生阶段）和横向生长阶段（次生阶段）。 在初级阶段，群体的高度在任何迭代（t）中增加，并且与树中纵向生长的想法相对应。这个概念在数学上被解释为方程3.5b，从而增加了人口的高度，同时保持了可行的解决方案。因此，为了找到初级阶段人口的新位置，人口的增长质量必须 先确定。因此，增长的质量可以通过（3.10）更新。此后，分支种群的新位置由方程3.11更新：

= (3.10)

从方程3.0开始，安全系数用于将分支群体的增长质量保持在一个较小的值内，因此，新的位置很快就位于可行区域。 因此，分支人口的新位置如下：

= () (3.11a)

当（3.10）估计的增长质量很小，有机会进一步将质量加到分支位置时，必须在考虑方程3.11b之前检查PD值以更新分支的新位置。 因此，可以基于由（3.11a）生成的解决方案来确定新的PD值，并且如果PD与之前的PD相比更小则则通过以下方式更新新的解决方案：

= () (3.11b)

其中，WM是人口中增长最快的。

此外，搜索被认为是在弯曲时刻内。 此外，为了迫使人口进入全球最优，通过使用由安全系数提供动力的长细比来增强开发策略，如公式3.11b所示。 这使得初级阶段结束; 第二阶段如下段所述。

3.4.1.2二次阶段（SP）

在此阶段，搜索从前一个主要阶段继续，直到达到初始PD加上最大迭代，此阶段加强了搜索策略并增加了多样化过程，因此收敛率降低。 为了使该阶段有效，必须正确使用上述特性。 首先，在任何迭代（t）中减小倾斜角theta;，这意味着在分支群的位置中观察到改善。因此，角度theta;的减小由（3.12）给出。 在该阶段中，还发现弯矩BM在0.005和0.05之间是合适的。 然而，人口中的BM由方程3.1更新，据推测，计算值应满足边界以便使用方程3.16，否则选择方

资料编号：[4242]