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滚珠丝杠传动的建模与振动模态分析

作者：Diego A. Vicente · Rogelio L. Hecker ·Fernando J. Villegas · Gustavo M. Flores

摘要

机床的定位系统由于其高刚度和低灵敏度的外部扰动，所以它一般是由滚珠丝杠驱动。然而，随着现代机床的速度和加速度的定位，这些系统的谐振模式可以激发降解轨迹的跟踪精度。因此，需要一个包括机械设计以及控制器的选择和调整的振动模式的动态模型。这项工作提出了滚珠丝杠驱动的一个高频率的动态模型。分析配方，采用综合的方法，其中螺杆被建模为一个连续的子系统，采用Ritz级数近似得到近似的N自由度模型。基于此模型，研究了不同传动比下各模态函数的轴角和角分量，确定了它们之间的耦合度。在那之后，对不同的运输位置和不同的移动群众每个模式的频率变化进行了研究。最后，将这些结果应用于控制器的设计和参数估计的分析。

1引言

现代机床需要高性能的进给驱动，以实现高质量的零件和周期的时间减少【1】。与直线电机相比，滚珠丝杆进给驱动装置由于其相对低成本和低灵敏度的外部力和惯性变化而被广泛用于定位。然而，在系统模式可以激发降解的位置精度，对滚珠丝杠的高频动力学必须考虑高加速度。这是高速切削加工的情况下，刀具和工件之间的进给量增加成比例增加的主轴转速[ 2 ]。这代表了一个问题，特别是在加工零件，需要短且重复的动作，从而导致要求的加速度。因此，传统的模型必须加强与高阶动态，以协助控制器的设计。

由于控制器的设计和调整的优选是低阶模型，低阶模型具有2个自由度，所以可以使用且能够捕捉到的刚性体模式和第一振动模式与一定程度的精度[ 3，5 ]。这种模型是有用的，当位置环在直接马车位置是封闭的。然而，更高的共振频率变得非常重要时，关闭循环与旋转传感器在电机位置[ 6，2 ]。

另一方面，虚拟机设计的现代趋势，需要更准确的模型来预测系统动力学，以预测其与加工过程中的相互作用[ 7 ]。在这个意义上，定位系统的精确模型必须包括高频率的振动模式，以捕捉设计参数和操作条件与动态响应的相互作用。

在那里被认为是一个分布参数系统的瓦拉纳西[ 3 ]，在该系统中是一个简化了轴向和扭转的变形场，以改变线性与螺杆的轴向坐标的全面的模型。然而，该模型只包括2个广义坐标，使其适合于特定的控制目的，但不允许更高的频率分析。

史密斯[ 2 ]模拟滚珠丝杠与有限元法（FEM）梁公式是在每种模式下的系统的行为和预测的振动频率得出的结论。另外，从有限元模态测量丝杠在特定位置的扭转变形的实验验证了Erkorkmaz 和Kamalzadeh [6] 预测。这两种作品的作者都同意，第一模式主要是轴向的，而第二和第三个主要是扭转。然而，这些结论是为他们特定的系统在一个固定的操作条件下得出的。陈等人【8】用一个滚珠丝杠副的力学模型研究了顺应性效应对轮廓误差的影响。该模型具有5个自由度，它预测了刚性旋转，轴向和扭转振动的滚珠丝杠和整个表的轴向和旋转振动。虽然该模型是适合于特定的分析，作者所做的，制剂仅使用集总参数，并且它不预测在每个模式中的螺杆变形。此外，只有当加工区相对于表的基础是在一个高的垂直距离，表旋转变得很重要。

模型占的侧向变形，除轴向和扭转，被zaeh[ 9 ]、Okwudire 和 Altintas [10]等人.提出的。这两种模型的主要区别是，后者是能够捕捉到的轴向-扭转和横向振动之间的耦合，而前者仅捕获的轴向和扭转之间的耦合。对于这两种模型，一个详细的螺杆螺母接口，这意味着一个显着的参数必须是已知的。从这篇评论中，它可以看到一个模型与虚拟机的设计，以及控制器需要选择和调整的能力。该模型必须捕捉的动态的第一谐振模式的参数，一般可从组件制造商或很容易估计。特别是，它是重要的现代控制策略，研究的主要模式之间的耦合度作为系统参数和操作条件的函数。在这种方式中，这项工作提出了一个模型的基础上集中和分布参数的组合。然后，对两种典型的传动比进行了模态分析，研究了不同运动位置和不同运动质量的模态频率的变化规律。最后，对该系统的行为进行了分析，得出了结论，可作为控制过程设计和系统辨识的第一个指南。

2伺服模式

他最常见的进给驱动精密定位由滚珠丝杠装配到旋转轴承加工基地，这是由一个电动伺服电机通过柔性联轴器驱动，如图1所示。滚珠螺母安装于托架上，被限制在直线轴承和导轨轴向移动。

这里考虑的示意图，在图2中，在螺杆被认为是一个连续的系统，而其余的元素被假定在集总形式。在这些条件下，螺杆可以被认为是一个直杆与三个基本类型的变形：，通过牵引或压缩的轴向变形，通过扭转的角变形和弯曲变形。柔性是无用的，将螺纹适合安装在伺服机构并减少屈曲由于非同心力产生的偏差。

这样，通过一场函数U轴向位移表示的连续变形（x，t）和利用theta;角位移（x，t）。这连续的部分的特点是密度rho;，截面，转动惯量Jt，长度L，模量E、泊松G模量和丝杠L（也被称为传动比）元素集中形式是随着惯性Jm力矩电机的转子，弹性联轴器的惯性矩和Ja刚度，刚度Kb刚性轴承，刚度kn螺母，并有大量的Mc的马车。

2.1选择的基函数

在一个连续的一般系统中的变形，可以表示为一个位移场（times;），这是一个函数的时间和空间坐标。这是时间和空间坐标的函数。Ritz级数方法[ 11 ]，也被称为假设模态法，采用级数展开来描述位移场如下:

在 psi;j(x)称为基函数表示位移场的x坐标和系数q j(t)表示瞬时贡献psi;j(x)的位移场.

基础功能必须满足一定的条件下获得的丽思系列有效的配方。所有的基函数必须是连续的，线性独立的，必须满足的几何边界条件[ 11 ]。这样，一个合适的轴向场方程可以构造使用余弦基函数如下：

在alpha;=（juminus;1）pi;。该系列中的第一项（与ju= 1）是代表刚体运动的机动容许这个系统的整体功能。由轴承，被建模为一个弹簧，如图2a所示。虽然没有实际发生的轴向刚体运动，它是可取的引入一个单一的功能，考虑到刚性差之间的螺钉和刚性轴承[ 11 ]。

更为明显的是，螺杆有一个刚体运动的角位移，然后，在螺杆的位移场来形容旋转可以表示为

在alpha;=（Jtheta;minus;1）pi;。一些NU和Ntheta;可以通过研究模型解的收敛性选择。

2.2 基于能量和工作公式的运动方程

一个方便的方法来找到一个多体系统的运动方程是使用的能量和工作配方，这是更有效和更可靠的比牛顿-欧拉公式的基础上动量的考虑。

使用定义的变量，动能可以计算如下：

分别在第一和第二项代表的贡献从质量的运输和转子的惯性。第三项是从挠性联轴器的能量，其中的平均速度之间的角速度的转子和螺杆的角速度在times;= 0被认为是。第四个和第五个术语分别为代表的动能分布的旋转惯量和分布的线性惯性的螺杆。

存储在系统的弹性部件的势能可以根据

在第一和第二项对应于在刚性支承和弹性耦合的势能。同样，第三项对应于存储在滚珠螺母的潜在能量，在delta;N在螺母的轴向变形。虽然正常接触力产生的螺杆的弹性变形有轴向和径向分量 [12]，只有轴向分量影响轴向位移场。

因此，界面的轴向变形可以表示为

表示的是马车的绝对位置的差异uc(t)，，和绝对位置的螺钉在界面上点坐标xc。我们还注意到，公式6重要包括轴向和扭转位移，显示它们之间的耦合，一个事实，禁止各领域分开处理。最后，公式5的第四和第五条款表示存储在系统中，连续的部分势能的螺钉，通过扭转和轴向位移。

系统的净功率输入结果

其中第一项是从电动机的输入功率，第二学期是库仑摩擦耗散在滚珠螺母由于摩擦力矩tau;F，和第三项表示需要移动的马车在速度u˙C抗干扰力FC的力量。值得注意的是，俱乐部是考虑到外部力量作用于马车一般的变量，其中包括切削力和摩擦力在导轨。

最后，在系统中，由于粘性摩擦的功耗可以表示如下:

前两个术语代表的是由于连续部分的粘弹性行为，其中的结构阻尼损耗因子，其中的功率耗散。其他四项分别代表转子轴承的功耗、螺杆支撑轴承、滚珠螺母，导轨。因此，系数厘米，炭黑，和连铸是这些元素的粘性摩擦系数，如图2所示。

现在，T, V, Pin, 和Pdis的表达式，并可结合丽思系列制定程序以发现拉格朗日运动方程。另外，功率平衡的方法，可以使用在这种特定的情况下，给予相同的结果，得到的拉格朗日公式，但与一个更容易的推导[ 11 ]。在任何情况下，运动方程可以表示为

M，C，K分别是是惯性，阻尼和刚度矩阵。矢量问题包括广义力和广义坐标。如图2所示，除了从连续部分的广义坐标，还有2个附加的广义坐标，一个描述马车位置UC（t）和另一个描述转子角位置theta;M（T）。因此，总的系统顺序是N = NU N , 和NU = Nu 1 以及N = Ntheta; 1.

3模态公式

问题的解决方案的eigenvalue [（k）minus;omega;J2 [ M ] {phi;j｝＝[ 0 ]相关的EQ。9给出了N的本征解，每一个featuring自然频率omega;j和一个正常的模式{phi;j｝。应用的模态变换｛Q } { } = [phi;]的位移场，提出在EQ。1可以表示为

在[psi;]是一排由基础功能[psi;] = [psi;1hellip;psi;n ]和[ ]是一个排的功能组成[ ] = [psi;] {phi;J }，称为模式的功。两模式分别作为模式向量{phi;J }元素给比例各广义坐标之间，模式函数J给出了变形的比例作为一个X坐标的功能。

另一方面，该eta;J代表模式贡献的位移场。然而，从一般的系统，无论激励类型和初始条件，这是不包括在下面的分析，因为它的目的是得出结论。

计算轴向和角模式的功能组件，这是必要的区分，在每一个模式向量{phi;J }，对应每一个广义坐标的元素。在这个意义上，如果广义坐标向量问有以下安排：

每个模式向量{phi;J }可以写

因此，phi;J }的{第一女元素与轴向位移和以下Nphi;J } {theta;元素都与角位移有关，而最后两元素{phi;J }，phi;UC，和phi;theta;M描述小车位移和电机转子的角位移的元件。这样，第j模式功能的轴向分量可以由用于描述轴向磁场的基础功能和

{phi; j}的第一Nu元素如下：

同样，第j模式功能结果在角组件

为了验证该模型，计算固有频率omega;J比较其他作者测得的。例如，瓦拉纳西[ 13 ]测量只有349赫兹的第一振动模式。这里提出的模型与瓦拉纳西[ 13 ]提出的系统参数预测的第一模式在338赫兹，这将导致在一个非常好的协议与测量。同样，由史密斯[ 2 ] 测定65，512，1045赫兹前三模态频率为另一系统。模型调整系统参数由史密斯[ 2 ]提出了预测这些模式分别在65、760和949赫兹的

一个合理的协议。

4分析了不同传动比的模态函数

根据方程得到了模式功能。13和14的模式向量对应于表1中的物理参数的系统解决方案，特别是车厢位置Xc = 0.5 L，和一个移动总Mc = 30千克质量。在丽思系列术语数Nu = N = 4theta;获得适当的折衷模型复杂性和估计误差[ 14 ]。图6，可以看出，传动比对轴向和扭转变形场之间的耦合程度直接影响。因此，2个特定的值的传输率（螺铅）被选定为以下研究。图10显示了3毫米/转速的传输比的第一个四模式的模式功能的轴向和角的组件。另外，在图3A，马车的位移是在每一个模式描述为一个点的值phi;UC J绘制在x = Xc。同样，在图3b，电机的转子位描述phi;theta;Mj绘制在Xm =minus;0.2。请注意，零坐标位于刚性轴承，因此，电机位于负坐标值的中间。

刚体模式由U0和theta;0表示，在螺杆不显示任何一种变形。在这种情况下，车厢的运动phi;UC0正l次角运动theta;0。类似的结果可以观察到在图4中的传输比为32mm/rev。

接下来的分析尝试，以可视化的每个模式的字符，基本上的程度的轴向或扭转优势。这种分析不仅是基于模式的形状，但也从耦合系统相对于纯轴和扭转固有频率的固有频率之间的协议。从耦合轴向和扭转模型所得的一般模型假设无限的扭转刚度和轴向刚度元件得到了后者，分别为[ 15 ]，根据图2和公式2.2节。

表10比较的自然频率为2毫米/转速的传输比的耦合和解耦的解决方案。的分类，无论是作为扭转或轴向，从耦合模型的模式的基础上，这两个模型的频率之间的最佳协议。最后一列示出了在自然频率值从解耦系统解决方案的错误，在这个意义上，一个更大的错误意味着更大的轴向-扭转耦合。同样，表3显示的结果为32毫米/转速螺杆铅。

4.1低传动比的模分析

图3显示了第一振动模式，其中轴向分量幅值U1具有最大的值相比，其同源物，而角theta;1具有最小的一个角。此外，该车phi;UC1位移的最大值，这与[ 2 ]一致，其中第一振动模式被描述为一个大拖板位移轴模式。这也可以由耦合系统和轴解耦的子系统之间的omega;1非常好的比较，看到的是表2所示。

在二阶模式下，角分量的振幅明显增加，如图3所示，而轴向减小和轴向位移的大幅度降低。然而，轴向模式函数振幅保持一个显着的值。这意味着，轴向和角变形可能都是重要的。然而，在表2中的频率分析显示，有一个合理的耦合系统的频率和omega;2扭子系统的频率匹配。因此，这是一个主要的扭转模式，具有一定程度的轴向耦合。

最后，在第三个模式中的角分量示出了最大的振幅，而轴向和运输的位移是非常小的。因此，这种模式似乎是主要的扭转，这是由omega;3显示在表2的良好匹配证实。

4.2高传输率的模式分析

图4显示了一个传动比为1 = 32毫米/转速的模式形状。可以观察到的轴向分量的第一模式略有下降，而扭转分量略有增加，这两个方面的传输比l = 10 mm/rev。另一方面，表3显示10%错误时，omega;1与轴耦合的频率比较。因此，

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