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武汉理工大学

Unified approach of filament winding applied to complex shape Mandrels

通用于对复杂形状芯模进行纤维缠绕的方法

摘要:纤维缠绕过程中有关复合结构在极限状态下的制造是不一致的。即使使圆柱形心轴完全覆盖也需要引入与测地线轨迹的偏差。因此，需要开发非测地路径的模型。本研究的目的是建立，解决和验证一个通用的数学模型，有助于缠绕复杂的形状，或解决常见的长丝缠绕的缺点，在一个综合战略的基础上。这种所谓的统一方法导致由长丝缠绕制成的复合结构的益处，尽管制造过程受到限制。基于心轴几何的数学描述，建立理论表面的导函数以表达局部曲率。考虑到纤维束在表面上的滑动趋势，建立了基于心轴表面的函数以表达数学局部稳定性特征，并且可以将一般的光纤路径公式化。利用开发和应用数值工具,以预测放置在两个轴对称表面上的纤维丝束的纤维缠绕角度演变：凸形和凹形。实验验证通过利用四轴纤维缠绕机来进行这些任务。

关键词：纤维缠绕;统计分析;计算模型;复合材料

1、引言

这项研究的目的是研究如何向复杂几何形状的复合材料，即非圆柱形和非对称对象缠绕纤维。某些行业，如汽车，航空或航海，需要给出解决向非一般几何结构的对象，如圆柱，半球或椭圆体进行缠绕的特定方案。在这方面，如法国汽车工业推动的HYPE项目（reacute;servoir HY drogegrave;nehaute PrEssion - 高压储氢罐）旨在解决汽车应用中氢压缩存储技术的一些问题，如高压，笨重和成本，以及例如高压等所带来的相关安全问题。考虑到这些标准，新一代储氢罐旨在利用汽车中的空闲空间，尽可能轻巧而不昂贵。主要结果是形状配合罐作为III型（复合包覆金属衬里）和IV型（复合包覆聚合物衬里）罐的几何演变的发展，参见图1。

关于纤维缠绕工艺制造的其它高性能解决方案，近来，航空领域已经构造了闭合形状结构[3,4] 的解决方案，例如单件机身，其优点是更低的成本，更轻的重量，改善了的集成性、安全性， 降噪，改善了的空气动力学和造型灵活性。而对于机身机身，可以使用金属或复合材料。金属具有某些缺点，即不能在单个步骤中制造机身的所有部件; 因此制造单件机身复合材料更有利，因为它们可以同时制造。

已经主要使用测地线（无摩擦）和非测地线路径实现纤维缠绕。大地测量绕组路径被认为是天然纤维路径，即纤维束中的张力使得丝路径为测地线，而不考虑预期的光纤路径。使用测地路径简化了光纤路径的计算，但是限制性更强。只要已经选择了初始位置和起始角度，纤维的轨迹就被完美地限定。因此，测地路径成为对复合材料叠层的优化的障碍。然而，还是可以通过设置一些尖端，例如放置针改变心轴和纤维之间的摩擦，或者施加高粘性树脂以保持纤维在适当位置，直到返回交叉纤维，再根据先前需要锁定的纤维路径，来改变纤维路径。可以实施其他方法，例如使用非测地轨迹，在初始旋转之后，可以不采取附加步骤以将丝束固定在期望的角度。

但是即使对于简单几何形状，也并不意味着所需的纤维缠绕图案是合适的，如图所示。在这种情况下，III型罐的几何参数由衬套的几何约束规定，而不是由机械运动的计算或优化来规定。考虑到由本次分析的罐是具有椭圆形端部（或扁圆球体）的圆柱体，并且考虑到结构的机械强度，在圆柱体上的螺旋状测地路径的理论缠绕角度应该为55°。然而，基于长丝缠绕过程的顺序分析并考虑测地路径，在圆柱形部分上获得42°角，如图 2a 所示;或者当路径是非测地线时为43.92°，如图2b所示。这主要是由于沿着圆柱体和椭圆体的轨迹之间的过渡的角度不连续性，如图12c所示，因此应考虑非测地过渡。此外，圆筒颈部的尺寸施加了纤维丝束进入椭圆体的进入角（方位角），其也调节放置在圆筒上方的纤维的所需纤维缠绕角度。因此，在前面的分析中可知，支撑衬垫的几何形状影响了加强件的最终几何描述。

本文使用一种数字计算工具，其将允许我们模拟纤维缠绕过程，而不考虑心轴几何形状，即使轴对称心轴在制造过程中更合适。我们可以通过使用通用绕组模型设计，模拟和制造两个轴对称几何形状来研究纤维缠绕问题，所述通用绕组模型可允许缠绕复杂形状的构件，以及解决常见的细丝缠绕的缺点。为了实现这个目标，需要研究凸和凹两种几何形状，以适应非传统圆柱体或半球体等更复杂的形状。其在数学上的描述，使得定义和求解测地轨迹和非测地轨迹成为可以。然后，通过纤维缠绕机，先前的复杂几何形状被粗纱缠绕从而验证之前的数值预测，证实先前的分析，以确保所提及的芯棒可以根据需要被缠绕。这项工作只是一个更完整的研究的一部分，旨在寻求一个优化方法：通过心轴的数学描述推算机械负载，人们应该能够建立一个或多个合适的数学模型，从而实现这两个目标，即减轻重量和提高机械强度。

２、数学推导过程

在心轴表面上纤维的稳定状态的正确建立是获得定义其表面上的方便曲线的控制方程的关键。轨迹的稳定性取决于由于纤维角度的变化（或由于几何形状的变化）而引起的侧向力fb之间的比率;以及法向力fn，其取决于沿着纤维施加的纵向力F，如图2所示。假设静态摩擦系数为mu;，而lambda;是一个参数，其值称为滑移趋势的间隔lambda;（在[-mu;，mu;]区间内），定义为mu;横向力fb与法向力fn之间的比率。当lambda; lt;mu;时不发生纤维的滑动;或者当fb低于mu;与fn的乘积时考虑库仑摩擦力（ff =mu;fn）。其作为直接得出的结果，并且在假设局部分析的条件下，先前的关系允许描述在心轴上的稳定轨迹，其有|fb/fn|le;mu;的关系

在前面分析中，该表达式是根据在表面S上描绘的曲线Cb的测地线k_g和正常曲率的曲线k_n导出的，为|f_b/f_n|le;mu;

这里给出的数学方法，是基于由作为一组函数的映射S（u，v）描述的表面矢量建模，该函数取决于两个参数，通常为u和v;将曲线参数化由表示R³的函数C，以便定义测地线曲率。在考虑这种方法时，曲线理论与表面理论起着重要作用。

正常曲率是表面与P处的曲线的切线以及单位法向量n的平面的交点（正交截面）处曲线的曲率。 正常曲率向量k_n即为曲率向量k到单位法向量n上的向量投影。而测地曲率矢量k_g是曲率矢量k到副法线矢量b上的矢量投影。 两个曲率向量及其结果示于图4b中

可以看出有无数的平面通过P包含的单位法向量n，即无限数量的正常截面通过P。每个正常截面在P处都具有特定的曲率。可以表明，与这些极限曲率即最大值和最小值相对应的切线的方向是正交的（也称为主方向）。 通过在切线平面上绘制极坐标系，其极点为P，极轴为任意射线，从极轴逆时针旋转一个角度a可绘制函数k_n = f（a）。 因此，对于a的每个值，存在与该特定b正常截面相关联的曲率; 该曲率k_n是在方向a处的点P处的表面S的法曲率，称为欧拉定理

其中k₁和k₂是P处的主曲率，alpha;是对应于Gamma; k₁的主方向上的切线之间的角度Gamma;。 等式 是一个重要的表达式，其允许将Gamma;项引入为曲线C相对于子午线Gamma;（即旋转轴）的取向。 因此，alpha;是灯丝缠绕角度。 现在，如果s参数，圆弧段的长度被引入以描述C：s→S（u（s），v（s）），即自然参数化，Gamma;正规曲率可以表示为 第一（E，F，G）和第二（L，M，N）基本系数，其是u和v的连续函数。

确定测地曲率所需的条件明显简单一些，因为有旋转表面的F = 0和M = 0。通过根据第一基本系数及其导数替换第二类的相应Christoffel符号，测地曲率（9 ）变为如下：

在稳定且标准状况下可以以法线和平行曲率的表示形式来代替测地曲率和正常曲率，以最终获得作为法线坐标theta;的函数的alpha;的一般路径常微分方程ODE; 定义theta;和phi;的参数耦合的方程以及点P（theta;_a）和P（theta;_b）之间的轨迹的长度L_f分别用（15）和（16）表示。

用phi;角和theta;角表达曲线C公式如下：

3、解决方案

用于求解和计算机模拟建模的数值方法的各种功能有：数据输入，心轴几何结构的设计，一个光纤路径的设计，全局覆盖图案的设计以及机器路径的计算。 输入数据包括心轴的参数，加上光纤参数。设计光纤路径时的一个基本参数是滑动趋势，严格来说是静摩擦系数。mu;的值取决于各种因素，如树脂粘度和心轴的表面光洁度，并且可以在0.2和0.4之间变动。 现在，当使用热固性预浸料时，较高的摩擦系数值是合适的。 这里选择为静摩擦系数0.2的值，即，从短程线轨迹可达到的偏差被最小化，从而减少滑移的风险。

旨在证明数学方法的可行性模拟，而且缠绕复杂几何形状（凸和凹），两个案例研究的剖面如图5所示。

心轴几何结构的设计的数学模型为rho;=rho;（theta;）即离散轮廓函数。 考虑到每个几何的中心位于点m处，描述圆柱体的rho;（theta;）函数，心轴的凸形和凹形轮廓分别由各自的等式给出。
圆柱形与凸形或凹形几何形状之间的连续性通过S形函数的乘积来确保，一个用于圆柱形部分f₁，另一个用于所分析的几何形状f₂。在前面的等式中，alpha;是定义Sigmoid函数的过渡扩展的参数，b是过渡位置。

考虑到其精度和稳定性，通过改进的欧拉方程求解ODE，即通过将梯形规则应用于alpha;（theta;）= f（alpha;，theta;）方程式的解的方法来导出。为此目的，h角离散化。
其中h是步长，alpha;是独立坐标，theta;是相关坐标。 初始条件是alpha;（theta;₀）asymp;pi;/ 2，即纤维被轻轻放置，以防止垂直于心轴的圆柱形部分的开始处的母线的数值误差。

验证的方法是用MATLAB软件实现的。利用基于心轴的数学模型，沿着芯轴长度z逐步计算光纤路径。图6-8示出了对于三个不同心轴获得的结果;对于每个心轴，连接三个曲线：作为theta;的函数的长丝缠绕角度alpha;的分布，沿心轴长度（z方向）的phi;的演变以及光纤相对于z的轨迹L_f的长度。 ODE的数值分辨率已与其针对气缸获得的分析解进行比较和验证;其中xi;是心轴中间长度与圆柱半径的比率; omega;是允许计算初始缠绕角度的关系的一部分。
覆盖过程中可能需要响应机械请求，因此有必要给出能确保表面的完全且均匀覆盖的策略。而对纤维缠绕路径环绕进行编程的几种策略使其可重复，因此可以无数次重复该电路以提供完全覆盖心轴的一个或多个纤维层。在本节中，我们考虑提出的单丝缠绕技术，允许控制高度交织的缠绕模式。给定在某个圆形截面处的任何轴对称几何形状，覆盖其表面所需的环绕的数目（从一个极点到另一极点而不返回的路径）通过考虑真实宽度w_t的纤维带来确定，并且缠绕角alpha; ，因此带沿着轴对称几何形状的环向的宽度为w_t / cos（alpha;）;然后通过将其分成圆周，完全覆盖所需的环绕数N_p由下式给出

环绕的数量必须是整数，否则带边缘会重叠，当值向上取整时，会产生绕组外表面的不均匀性;或间隙将倾向于用树脂填充并且可能导致在相反情况下减少的最终纤维体积分数。这些缺陷可以通过调整实际卷绕角度或通过改变所涉及的几何参数例如R或w_t来消除;或通过向纤维束的每个后续缠绕引入重叠。为了控制重叠程度，表达式允许计算当平移托架在停留阶段达到其端部行程时心轴的旋转角度。

左边的项表示作为一个单个电路的总角度Ώ的函数表示的全转向角和驻留阶段期间的转向角u0。右侧的术语表示通过将对应于沿着环向方向的纤维宽度的角度尺寸乘以2pi;/ N _p，以N倍离开原位置朝向下一个可能位置的角位移。带图案N的值允许控制重叠度，并且如上所述，它必须与N_p一一对应，并且N lt;Np。一致性模数代表完整的匝数，通过其将全转向角度2（Omega; phi;₀）划分以获得

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