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起重的动态特性

起重机机械

摘要——这个文献考虑了起重机起升机构的运动。分析了当机构质量变化时的卸载过程。由于质量变化，一个反作用力出现了。这个反作用力对系统运动的影响是被调查过。这个机械装置的机械模型为变质量变长度单摆。考虑到一些特殊情况：（i）相对质量变化率是恒定的；（ii）阻尼是变化的，相对长度变化率是恒定的，并且存在风力。得到了除规则运动外可能出现非规则运动的机构参数值。使用Melnikov的方法

导言

运输机器的基本工作部件，例如起重机，是起升机构。它包含一个装载篮和一根绳子。机械装置正在提升或降低负载。弦的质量与把货物装在篮子里。装载篮中的质量在垂直的稳定位置附近振动的绳子上。振动是由弦的质量变化或长度变化引起的或者两者都有，根据工作条件。振动特性的研究是该机制适当工作的最根本的利益：必须消除弦的振动。

起升机构的机械模型是一个简单的具有变质量变长度的数学摆（图1）。

振动摆一直是许多研究者研究的课题。本文[1]回顾了在这一领域进行的调查。考虑了两类摆：定参数摆和变参数摆。文[2-4]考虑变长摆的线性模型，文[5]考虑变质量摆的线性模型。这种考虑的缺点是线性化模型与实际模型不符，Bogolubov和Mitropolski[6]和Nayfeh和Mook[7]对变质量变长度摆的非线性振动进行了研究。他们发展了求二阶微分方程解的渐近方法非线性和慢变量参数。在实际的提升系统中，很明显不仅存在小而大的运动。在这篇文章中，除了规则运动外，不规则的大运动是考虑过的。

在以前的文献中，假设质量变化没有影响，系统中的反作用力等于零。一般情况下，质量随冲击而变化，并且存在反作用力。本文[8]将反作用力纳入变质量摆运动分析中。假设反作用力很小。尽管其强度的结论是，反作用力对系统性和不可忽视性。因此，本文中的反作用力考虑过的。值得一提的是，在实际起升机构的动力分析中，通常忽略了荷载篮的质量变化和长度变化。在本文中，影响考虑了质量和长度的变化。

图1。起升机构模型。

机构的数学模型

具有时变质量的质量系统的运动微分方程为[8]

式中，Ek为系统动能，II为系统势能，0为广义坐标（弦与垂直位置的夹角），（）-d/d t，phi;为反作用力，Q为广义力，t为时间，d*/dt为时间微分过程，但将质量作为不变。对于机构的模型，运动的控制微分方程是

其中，l是弦的可变长度，m是荷载篮的质量，g是重力加速度。

质量变化引起的反作用力为[5]

其中u是分离或附加质量的绝对速度，（u-v）是其相对速度。

假设从基本质量中分离出来的质量的绝对速度u是垂直向下的。反作用力是

风力和阻尼是影响起重机工作性能的重要因素。相应的广义力是

式中，q（t）为长度单位的比力，delta;（t）为阻尼系数。假定风力在钟摆的平面上。所以，分析只是平面的。将方程（3）-（5）代入方程（13）运动微分方程为

为了简单起见，让我们引入无量纲参数

其中l0是字符串的初始长度，m0是初始质量。转换后的运动微分方程是

这里

它是具有时变参数的二阶非线性微分方程。方程的解给出了系统动力学行为的答案。在一般情况下，众所周知，不可能找到解析形式的解。只有在某些特殊情况下才能得到解析解。让我们考虑一下这些特殊情况。

很明显，质量和长度的变化会引起系统运动的扰动。有必要根据这些变化来分析可能存在什么样的运动。最微妙的程序是卸下装载篮。这样做的目的是使卸货尽可能正确。这意味着装载篮不是在卸载过程中移动，即阻尼变化。此外，卸货必须足够快。

起重机吊篮的卸载

通常卸货有两种方式：

1. 装载篮通过一根绳子降到较低的水平，然后卸载。
2. 在卸料的同时降低装料架。

让我们考虑一下两个案子。

（A)定长机构卸载

吊篮通过一根绳子降到较低的水平，然后开始卸货。这时弦的长度是恒定的，但质量是变化的。

忽略阻尼

让我们考虑一下忽略阻尼的情况。描述运动的微分方程是

对于质量变化为

运动是

其中00和00是初始条件。这项运动是非周期性的。在图2中，绘制了各种U值的0-T图。振动的振幅有增大的趋势：速度U越高，增大的速度越慢。

阻尼力作用

让我们考虑一下阻尼作用的情况。假设阻尼是一个时变函数，并且

对于质量变化

式中~=常数，r=ET为慢无量纲时间，E为小参数，式（8）转换为

让我们考虑方程（14）所描述的运动。首先必须分析未受干扰的情况。得到了同宿轨道和周期轨道。轨道会被扰动。利用Melnikov准则可以判断是否存在非规则运动。

平静的案例。当摄动被忽略时（c=0），运动微分方程为

它对应于常参数摆的数学模型。值得一提的是，当质量分离的相对速度为零（无冲击的质量变化）时，机构的行为与具有恒定质量的机构相同。方程（15）在许多文献中得到了广泛的考虑，得到了系统的能量积分（见参考文献[9]）

其中h是定义运动的常数：对于hgt;2，为连续旋转；对于存在关于悬挂稳定状态的hlt;2振荡（图3）。振荡是强周期的。运动取决于起始条件，即位移和它的时间导数，用来定义一个独特的轨迹。在图4中，相图绘制。从图中可以明显看出，分离线曲线将振荡与旋转。此曲线表示一对同宿轨道，定义为

其中

很明显，在同宿轨道内存在周期轨道。无扰系统的周期轨道满足以下关

这些闭水平曲线是用椭圆函数表示的

其中sn和dn是Jacobi椭圆函数。

这样一条未受干扰的闭合曲线的周期是

起重机机构的动态特性

图3。不同起动条件下无冲击质量变化的摆幅-时间图。

其中，或

其中K（K）是第一类完全椭圆积分。

图4。摆的相位轨迹，其质量在不受冲击的情况下变化。

平面同宿轨道的扰动。应用基于同宿轨道摄动的Melnikov方法，得到了出现不规则运动的参数。方程（14）的Melnikov函数是

将式（18）代入式（22）为

在较低的轨道上

如果Melnikov函数有简单的零点并且与E无关，那么对于~足够小，稳定流形和不稳定流形横向相交[10]。它代表了混沌运动和小马蹄形运动存在的条件。函数有一个简单的零

这是混乱的必要条件，但还不够。

所得结果与Guckenheimer和Holmes[10]对具有弱恒转矩和阻尼的平面摆的讨论是一致的。上同宿轨道在与直线（20）相切且U=0的唯一曲线上的同宿分支中生存。

在图5中，绘制了各种U值的El、-eJ、C曲线。对于曲线上方的参数值，可能会出现混沌运动。

次谐波轨道的扰动。下一个问题是是否有其他不变曲线在扰动下保持不变。周期轨道由方程（19）描述。引入扰动。对扰动系统建立了次谐波Melnikov函数

图5。不同U值的Ehl~e曲线。

使用关系式（18），积分可以重写为

其中E（k）是第二类完全积分（见参考文献[l I，12]）。

对于h--2，等式（26）简化为等式（23）。对这一结果的讨论与Guckenheimer和Holmes的论文[10]中的讨论是一致的。这意味着，对于Ugt;2的所有值，都有一个h的值M（g，l，U，h）-O。因此，扰动系统（14）也具有周期Th的次谐波轨道。

当分离质量的绝对速度为零时，机构的模型为

是分叉值。在图6和图7中，绘制了、和的相位平面和振幅-时间图。

阻尼力是一个时变函数

假设阻尼根据关系变化

数学模型是

对于无扰系统，分离线曲线内的同宿轨道和周期轨道分别由方程（17）和（19）定义。引入轨道摄动，定义了混沌运动的条件。

平面同宿轨道的扰动。根据前例的步骤，形成了Melnikov函数

图6。，和的相图

图7。，和的振幅-时间图。

根据方程式（17），它是

Melnikov函数有一个简单的零

如果我们定义

对于~f f/6jgt;R°（f~），扰动同宿轨道横向相交。在图8中，绘制了U的恒定值的R°（f2）。随着f~，曲线有增大的趋势。

此外，由于J/在~/6，=R°（f~）时具有二次零点，因此U=2是发生二次同宿切点的分叉值。

次谐波轨道的扰动。除了研究同宿轨道的扰动外，我们还必须考虑F 0范围内的闭水平曲线的扰动。现在我们计算了共振周期轨道的次谐波Melnikov函数。共振条件是

其中，对于p的每一个选择，q可以唯一地解出k（p，q），从而得到一个唯一的共振轨道。

让我们扰动轨道。次谐波Melnikov函数是

使用v--d0/dT，方程（18）和（19），积分可以重写为

图8。R°（f2）对于U的恒定值。

利用方程（19）的傅里叶级数和积分（见参考文献[8,9]），我们得到

其中

定义

我们的结论是，如果JV~/fjgt;RP/q（~“~），则在与~=RP/q（~）61相切的分叉曲线上出现一对次谐波。在图9中显示了一些分叉曲线RP/q（~2）。

（B)下降和卸载

降低过程中风力的影响是明显的。假设卸载时没有冲击，但风力作用满足以下关系

长度变化是

式中，fl=常数。这项动议被描述为

除了质量和长度的变化外，风力还会引起扰动。这些扰动会导致混沌运动。应用Melnikov准则得到了混沌运动的参数值。Melnikov函数是

图9。分叉曲线RP/q（~）。

整合之后

这里Melnikov函数与时间无关，因为方程（42）是一个自治系统。函数有简单的零

fl/W~gt;O出现混沌运动。

在实际系统中，未受扰动系统的运动由周期轨道表示。我们想知道这些是否会由于长度变化和风力而在扰动下保留下来。形成了次谐波Melnikov函数

对于周期为20的轨道（19）。Melnikov函数有简单的零

对结果的讨论与A部分相同。

lt;

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