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多体系统里的啮合齿轮刚弹性模型

Saeed Ebrahimi · Peter Eberhard

摘要：在机械工程中的许多应用中，齿轮是用来传输的在旋转轴之间的力量，因此，将它们合并成多体的能力系统与模拟接触已成为多体系统中的一个重要课题动力学。

然而，在某些应用中，齿轮可能不被认为是绝对刚性的。由于接触力的影响，有发生在啮合齿的相关变形这是一个高质量的分析引入了一些弹性的要求啮合齿轮模型。因此，在这项工作中的弹性元件之间的牙齿以及每一个齿轮的车身被认为。这种方法特别适合于多体系统，因为它是一个完全的刚性模型和完全弹性模型之间的折中，能够允许大运动的模拟，同时还很重要考虑弹性。每一个齿轮的牙齿和身体仍为蓝本但它们是刚性的，但它们通过弹性元件彼此连接。这样做，一个有效的物理动机的算法进行了描述和实施，以找到的影响啮合的多齿接触以及齿隙和左右侧接触牙齿。一些例子比较的模拟结果的刚性、部分弹性和充分弹性模型。

关键词：切活齿、啮合齿、多触点、弹性齿轮、齿轮接触模型、多体齿轮系统

1、简介

齿轮的接触建模有一些特殊的困难，例如，从齿刚度，齿隙，齿轮几何参数的非线性行为，见例如[ 5，6，21 ]。应用分析方法对啮合齿轮的建模进行了大量的研究，如[5、8、10 ]等。在大多数的文献，一个齿轮副的运动方程被规定好。这些公式基本上是齿轮的几何和材料参数如刚度和阻尼系数的功能。为简单起见，每个齿轮副之间的接触是通过一个弹簧阻尼单元的行为，切向各啮合齿轮的基圆模型。在使用这种公式，对齿轮接触的一些重要特征，如渐开线啮合轮齿效果，非标准齿或多接触往往没有考虑到的，因此，它们不能用于齿轮之间的接触的一般情况。相反，数值方法可以处理通过引入有效的参数这对动力性能的影响涉及所有困难接触建模现实案例。

这些数值方法可以分为两大类：第一，有限元方法（FEM）和基于多体动力学的第二方法（MBS）。有限元法无疑是接触建模领域中最强大的数值方法。虽然它非常适合于特别是高精度的要求，其非常高的计算努力接触的齿轮，导致一些实际困难，如非常长的模拟时间。因此，在较长的模拟时间内，用有限元法对齿轮进行接触仿真，几乎是不可能的。在这种情况下，MBS通常可以用来有效的模型精度较高的齿轮副的接触，相比于有限元大大减少了计算量。

基于多体动力学的数值方法依赖于不同的技术。一种最简单的建模方法，只对每个齿轮的自由度（自由度）进行模拟。在这个层面上，一个专注于啮合齿轮的扭转振动，没有其他的振动可以考虑。下一个层次的复杂性，认为每个自由齿轮机构的所有6个自由度，是一个扩展的一个扭转自由度模型。这6个自由度，每个齿轮的车轮模型，可以实现通过引入适当的弹簧阻尼元件的轴承。最后，多体模型相结合的mbs-fem模型进一步扩展为在某些组件的有限元模型建模而不是完全刚性体。这些不同层次的详细描述可以在[ 14 ]中找到。

上面提到的建模和复杂度已在文献中得到解决。一些以前的方法都集中在一个单一的齿轮啮合接口的建模[ 13 ]。后来，6自由度刚体模型的齿轮在[ 5 ]。Blankenship和Singh[ 4 ]提出了一种6自由度齿轮啮合接口模型，可用于动态分析内部和外部的直齿和斜齿圆柱齿轮。这一提法是他们以前的工作[ 3 ]和[ 13描述了一个扩展的工作]。在[ 20 ]的方法和多网格传输系统的多体模型的结果。这些作者已经使用了6自由度的刚性体齿轮与假设的时间依赖性和分布式齿轮啮合刚度。在一些其他的方法，对有限元法和MBS将用来解决空间变啮合刚度[ 1，2 ]。在[ 20 ]中可以找到关于多目齿轮系统接触模型的不同研究的简要综述。

本文首先简要说明所采用的方法在[ 11 ]接触啮合刚性齿轮建模是实现力元的是一种代码SIMPACK软件进行分析和设计的通用多体系统[ 17 ]。然后，通过引入弹性元件之间的牙齿和齿轮机构的延伸，该算法将被描述。齿轮的接触分析方法在很大程度上依赖于多体系统中的齿轮类型。本文提出的方法已实施的直齿和斜齿圆柱齿轮的接触建模，并可能与一些修改也可用于锥齿轮的接触建模。文中简要介绍了不同复杂度的模拟结果，并对其进行了讨论。

2.刚性齿轮在多体系统中的接触建模

MBS工具提供了许多其他功能也是SIMPACK模拟齿轮基于刚性齿轮之间的力元为了模拟接触模块之间。该力单元采用几何、初始转动角和啮合齿轮的转动速度作为输入，计算出在齿轮上的力矩和力矩。在这个过程中，被认为是所有的渐开线齿的几何特征。该力元件连接在2个固定的标志，位于齿轮的旋转轴的轴线，并考虑到以下几点：

●渐开线啮合齿

●直齿圆柱齿轮

●齿隙和齿顶修正

●提示缓解因子

●轴距离的变化

●齿轮相对轴向运动

●齿刚度的抛物线特性

在齿隙的存在下，通常的初始接触可以被模拟为冲击，因为在开始时，从动齿轮是在休息，因此，啮合齿的相对速度具有很高的价值。齿轮的建模中的冲击现象的已经被一些研究人员解决，例如，[ 5，7 ]。在他们的工作中，他们提出了一个线性模型，对齿轮的影响调查。初始接触后，由于一个较低的相对速度的啮合齿，冲击的影响变得更小。刚性齿轮接触模型的算法和实现[ 11 ]被用作我们扩展的基础，在这项有三个主要步骤的工作的基础上。因此，在修改和扩展前，接下来的每一个第一步骤简短的描述被给出。

2.1.啮合齿轮基本参数的计算

像许多不同类型的多体动力学系统，在齿轮模拟的第一步，需要遵循的前处理水平设置了大量的参数和变量，这是必不可少的和重要的建模。由于齿轮系统的接触的性质和特殊的几何形状的齿轮，各种参数,必须考虑包括几何和材料特性。

渐开线齿形的几何参数之一是渐开线参数。齿轮齿廓形为渐开线曲线，最大限度地减少磨损、振动和噪声，并最大限度地提高功率传输效率。渐开线参数应用在非标齿轮齿隙计算和齿顶修正。齿隙是影响齿轮啮合的重要因素之一，通过导致使接触齿分开和引起振动，从而影响齿轮的动力学行为。因此，必须考虑齿隙及其对齿轮副的旋转的影响。在实践中，有不同的方法测量的反弹，例如，在[ 15，18，19 ]

为了计算齿轮副啮合刚度，必须考虑啮合齿的几何重合度。在这样做时，一个沿着这种行为的刚度行为被采用。

通过引入齿轮刚度比和使用一些几何和材料特性，最大的齿轮刚度最小值可以计算出其中E是对齿轮体弹性模量的平均值，B为有效啮合齿轮的宽度，s是形状因子和R是刚度比。后来，这些值将被用来确定基于抛物线的刚度刚度的修正量，见[ 12 ]。

通过接触比参数，计算接触区域的接触区域。在这样做时，首先获得每个齿轮副的凹槽的长度。然后，除以基间距然后加入它们，总横向接触比将被确定。也有必要考虑重合度的斜齿轮的情况。

上面提到的参数是最重要的，只有简短的解释。我们可以在[ 11 ]或在书籍如[ 10，12 ]找到接触建模的齿轮系统必要参数的更多细节。

2.2.接触几何计算

为了计算啮合齿的接触点的位置，以及弹性渗透的量，必须使用适当的理论的几何关系。因此，可以避免昂贵和复杂的接触点搜索算法。

首先，穿过这对接触齿轮中心的中心线被选作接触角的测量基准。然后，根据图1边界1和2之间的角度minus;P1 P1 / 2 / 2 齿轮1线的交叉点和角minus;P2 P2 / 2 / 2 齿轮2节圆上相应的定义。这些边界用粗实线显示在分度圆中。

图1分度圆圆中心边界的定义

图2.齿轮1和2在中心边界的左手侧缘

在下一步中，齿轮1和2的齿，必须找到其左手边的轮廓与他们的间距是在相应的边界。如图2所示，在参考线和穿越齿轮中心的线之间的phi;1和phi;2还有两个交点应该被定义好。齿轮2相对转角的数量根据phi;1和phi;2可以写成

n1和n2分别是齿轮1和齿轮2的齿数。在这一点上，让我们把这个相对转动角称之为中心相对转角，因为根据上面的解释，它对应于齿轮1和2，这是位于中部的齿轮齿廓。

if |_phi;| le; phi;b

no flange contact

else

if _phi; gt; phi;b

left hand side contact: angle of attack has a negative sign

else

right hand side contact: angle of attack has a positive sign

end

end

首先，if语句检查法兰接触和二次检查左或右手侧的接触情况。若发现有中心接触，那么在考虑接触率的前提下检查接触区域内的相邻接触齿轮。因此，下面的算法，所有可能的多个接触，包括左，右手边的接触会被发现。值得注意的是，必须考虑用于计算的实际渗透的圆周侧隙的量之间的差异和中央的相对转角。这样，最终的价值phi;必须修正如下

基于中心相对转角的量，每一个接触情况下的数值渗透，将如下节所诉的那样被计算和用于确定施加的接触力。

2.3.接触力和力矩的测定

作为最后一步，接触力和所产生的转矩被确定并应用于齿轮副。接触建模的实现是基于著名的罚函数法。它在轮齿表面上使用弹簧和阻尼器原件，根据渗透和相对速度在正常和切向方向的量以适用于适当的力量。

首先，对左手和右手侧接触的情况，中央接触的情况被考虑到。然后，所有其他相邻的轮齿可能接触的情况下也被发现。对应于每个接触的情况，必须得到正确的位置和它的角度。此外，在正常和每个与齿轮2相关的每个接触情况的相互啮合齿轮的相对速度的计算为

在第一种关系，vn是在接触点的相对速度是相同的所有接触的情况下，omega;是齿轮2相关的相对角速度，见公式（2），rb2是齿轮2的基圆半径。第二公式适用于所有k接触情况的相对切向速度，并且是角速度omega;1和2omega;两齿轮、接触theta;i和节圆半径r p2齿轮角的关系。开始给出恒定摩擦系数和相对切向速度将被用来确定啮合齿面上的变摩擦系数。

在下一步中，每个接触点的渗透量delta;i将被确定。因此，运用penalty terms来计算标准的接触力，同时在接触点考虑弹簧和阻尼力的公式可以被写成

其中Ki和Ci分别为刚度和阻尼系数。利用轮齿表面接触点的标准接触力和摩擦力系数mu;i，切向接触力可以被计算为

然后，将标准和切向接触力投影到参考坐标系中想x方向、y方向和z方向上，可以得到每个接触点的总接触力矢量

在alpha;n是横向工作压力角，beta;是啮合齿轮的螺旋角。然后，对应于每个接触情况下产生的力矩Ti可以被计算出来。最后，总接触力和由此产生的扭矩矢量将通过汇总相应的矢量Fi和Ti来确定。

3.通过引入切向活动的齿轮来实现刚性齿轮延伸

这种方法考虑到齿轮系统中的大部分重要的特点，并且可用来设置一些必要的参数。然而，在先进的应用中，不能忽视齿轮机构和啮合齿的灵活性，刚性齿轮不能产生实际的结果，在某些情况下，这种方法的仿真结果可能与实际测量有很大的差异，。有限元法可以以非常高的精度处理这种情况，但需要非常昂贵和耗时的计算。作为完全刚性的建模和完全弹性有限元方法之间的妥协，在我们的工作中，提出了考虑弹性元件之间的单齿和齿轮机构为每个齿轮的刚性建模方法的扩展[ 11 ]。在这种方法中，切向活动每个齿轮的齿和齿轮体还是固定的，但他们由弹性元件相互连接。下面是为做这些扩展所需的步骤一个描述。

3.1.将齿坐标作为一个新的力状态引入到运动方程中

在传统的方法中，每个齿轮的旋转通过一个旋转坐标来描述。在提出的扩展方法中，这个旋转坐标是用来描述的齿轮体的旋转和切向位移的牙齿将被描述通过额外的旋转坐标，可以假定为内部的力元素分配，见[ 16 ]。因此，对应于每一个齿，引入一个独立的旋转坐标。每个坐标是根据每个对应轮齿的参考位置测量出来的。图3用齿轮体的旋转左边和第一个齿轮的旋转坐标s1展示了一个齿轮，其中第一个齿轮的s1是处于参考位置和轮齿的位移位置之间。轮齿由于齿轮只能切向移动，并且在径向不存在可行的移动。

图3.考虑齿轮与齿轮之间的弹性元件的齿轮模型

3.2.考虑齿与齿轮之间的弹性元件

为了限制轮齿相对齿轮体的移动，和建成轮齿和齿轮体之间的弹性模型，轮齿和齿轮体之间被人看成并联弹簧阻尼器组合相同的弹性元件。不幸的是，还没有一个完全成形的理论用来计算弹簧刚度和阻尼系数，没有额外的计算，因此，他们必须确定一次从一个数值的参考计算使用的有限元程序。这是做如下：建立一个齿轮模型，首先是一个半弹性有限元模型的创建。在这半弹性模型，齿轮体与至少一个刚性元件啮合，轮齿和弹性元件啮合。然后，齿轮体的转动是固定的，并且任意外力沿着基圆的切向被加载在任意轮齿的凸缘表面。通过替代法或轮齿速度来划分施加的力，将分别得到适当的弹簧刚度和阻尼系数。

因为如果对每个齿轮都进行单独预计算可能会浪费时间，可以为不同的齿轮典型组做一些标识，然后用这些结果建立一个表。然后，对于相似的齿轮，可以通过两种已知的情况的插值法，找到弹簧刚度和阻尼系数，这是接近调查齿轮模型的。

弹簧刚度和阻尼系数的确定后，可以写出各齿的运动方程

mt是每一个齿的质量，rd是齿轮的齿根圆半径，phi;和omega;是齿轮本体转动的位置和速度，Ti是作用于轮齿i上的接触扭矩，N是齿轮的总齿数，Si

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