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直齿轮线外啮合效应分析建模

WennianYu ,ChrisK.Mechefske

机械与材料工程学院，皇后大学，金斯顿，ONK7M3N6，加拿大部

摘要

在重载之下，轮齿的松动造成了线外啮合，它在修缘齿传动系统的动态分析中通常都被忽视了。为了弥补这一空缺，一个研究关于修缘直圆柱齿轮的啮合刚度、静态传动误差和动态响应的线外啮合效应的分析方法应运而生。这种方法的目的是为了强调线外啮合效应在两种啮合刚度模型的动态分析上的不同和在三种单自由度模型上是一样的。与文献中的实验结果相比较得出当没有齿阔修形的信息或者详细信息时，应当忽略齿轮动态分析中的线外啮合效应。通过引入不同程度的齿顶修形进行分析，来对所提出的模型的静态响应进行详细比较，而它们的有缺点都展现了出来。

文章资讯

文章背景

2015年5月3日接收

2015年8月29日接收修改的版本

2015年10月1日被采纳

2015年11月11日在网上发表

关键词：

线外啮合

负载静态传动误差

啮合刚度模型

线性修缘

绪论

由于对噪声和振动振幅由齿轮传动装置系统生成的操作期间严格限制和在市场对工业机械的日益激烈的竞争，已经出现了很多针对减少齿轮噪声和振动的研究。齿轮的噪音和振动研究揭示了啮合区齿对变化是激励大幅振动和高噪音的主要原因之一。齿轮静态负载误差和齿轮配对之间不可避免的齿隙也被认为是激发齿轮振动和产生噪音的主要原因。除了这些，外部激励例如转矩波动，轴，齿轮的质量不均和轴的不对称还有轮齿常出现的问题都会影响齿轮传动装置系统的整体的振动和噪音水平。

文献大量的记载了关于多种激励在齿轮动态过程的影响。有限元（FE）方法被广泛地用于计算啮合刚度，静态传动误差，甚至齿轮传动系统的动态传动误差。它在代替齿阔关键接触面和建立逼真的模型方面有明显的优点。但是有限元计算比较麻烦，因为它需要充分的网格细化，必要时要重新划分接触点的位置。另一方面，为对齿轮啮合刚度的分析方法计算和离散参数模型（即集总参数模型）齿轮动态分析在他们的计算速度和建模效率方面有显著优势。尽管通常采用一些简化假设，建在以前的研究分析模型仍然产生与实验测得的结果一致的结果。在文献中所使用的离散参数模型的详细审查中给出。

虽然在过去使用的理论模型在一些方面有所不同，由林和Kahraman制成，具有由Munro的和Kahraman [中提供的实验结果一起分析研究，清楚地表明，啮合齿轮齿对的数量与齿轮侧隙的不可避免的波动必须包括在齿轮动态分析，这样就可以得到的齿轮动态行为的准确预测。 齿轮减振由于赫兹接触，润滑和啮合齿之间产生的摩擦力面，通常是通过使用能量相当于恒定简化从实验测量或经验公式获得的阻尼比。虽然最近的一些研究已研究的摩擦力和润滑阻尼分别的影响，并包括它们的作为进一步非线性元件模型，我们发现的等效恒定阻尼比足以占到摩擦损失和润滑因素。

啮合齿轮齿对数的变动在大多数模型中被普遍视为随时间变化的齿轮啮合刚度（Gms），而间隙通常建模为分段线性函数。但是，由不同的齿轮模型建立研究人员还在彼此略有不同。主要差异包括齿廓误差的处理和角落接触（即类型的干扰）。在一些文献中，无论是不希望的齿轮和制造误差和故意制造误差轮廓的修改都被视为位移激励。而在其他文件中，不是被当做位移激励，而是被隐含的表示在啮合刚度中。此外，配合齿对由于线外啮合面积的过早或延迟接合在一些研究中完全忽略，而在一些其他论文这种效果通过稍微修改啮合刚度功能并入。这些困惑首先由卡苏比和埃文斯的注意。在他们的论文中，GMS是完全独立的齿轮误差的而负载被定义为固定变量啮合刚度（FVMS），而被齿轮误差和所受载荷所影响的被定义为变啮合刚度（VVMS），与FVMS相对。

基于该啮合刚度的两个不同的定义，可以建立两种不同类型的齿轮模型。在FVMS模型：（1）齿轮的轮齿误差可以忽视，或对啮合刚度没有影响;（2）重合度或者啮合刚度不受动载或过早或过晚结合的影响（3）动态模拟是基于定期不间断啮合刚度功能和错误排量条。在VVMS模型中，轮齿误差和线外啮合效应反映在VVMS的静态分析计算，并从控制方程清楚而反映在VVMS中。

两个模型之间的差异已经被注意了一段时间，但它们都广泛的使用。两个模型之间也没有做比较系统和直接的比较。刘和帕克都比较靠对FE基准一些现有的离散参数模型预测的动态响应。然而，疫苗瓶监控器模型不包括在他们的分析。 哪种模式是最有效和高效的齿轮动态分析仍然是一个悬而未决的问题。这构成一个这项研究的主要动机。

用来确定在STE和的负载很重的值齿轮GMS线外啮合的分析方法已启动并达到一定程度的效果。几种刚度功能已经由梅泽等容纳尖干扰所讨论的，并进行了实验测试，看看哪个刚度功能更好描绘传输错误的静载荷和动啮合条件下的行为。林等人。已经导出了传输错误接触的正常路径之外的计算分析公式的确切版本（也称为齿轮分离距离）；而西格和Munro等人开发了使用简单和高度精确的近似公式。然而，在他们的讨论，不包括齿轮齿形误差对角落接触的效果。人们普遍的认为，如果齿顶和齿根修正被广泛应用，这是这种作用在齿轮动力学研究上遭忽视的主要原因。然而，当齿顶修正或者齿根修正不足，尤其是对于高负载条件下工作的齿轮，线外啮合可能仍然存在。对于这种情况的分析研究是有限的。

在这项研究中，来确定齿轮静态传动误差线外啮合作用，并与引入齿轮齿廓误差啮合刚度的分析方法将提交。 根据这种新方法，两种类型的网格刚度模型的分化和三种不同类型的齿轮动力学的单自由度模型是一概而论。它们是FVMS模式，疫苗瓶监控器模型和时间不变近似模型，利用受载静态传动误差（LSTE）作为输入。为了确定哪个模型是最有效和高效的齿轮动力学预测的基础上，这三种模式的模拟结果将直接比较针对在文献中提供的实验测量结果。最后，参数研究将进行定义这些模型之间的关系。这项研究的最终目的是填补关于齿轮齿廓误差的相互作用和线外啮合效应分析研究结果的空白澄清有关齿轮时VVMS剩余的混淆，区分的几个单自由度模型开发并在以前的研究中使用，并概括各模式的优点和缺点。

2.齿轮啮合刚度模型

单个轮齿的合规性Cⁱ（i=1,2，⋯，N）可通过计算（有限元为基础）和分析方法获得。在本文中，使用基于所述势能原理的分析方法 。根据Weber和康奈尔，Cⁱ的分析计算可以分成三个独立的因素，可以概括为：（1）引起的啮合齿之间的每个轮齿的局部变形;（2）在当齿轮齿被认为是不均匀的悬臂，而齿基础被假定为完全刚性负荷的方向上的齿束偏转;（3）齿偏转引起时作为弹性平面考虑而齿被假定为完全刚性的基础的弹性载荷的方向。因此，通过叠加，在一个单一的齿对的负载F_J方向的点j的总齿偏转是：

其中，delta;hj是啮合齿之间的局部赫兹接触变形;及g分别在驱动齿轮齿和分别从动齿轮齿的齿光束偏转; delta;fj）p及（delta;fj）g分别驱动齿轮的圆角引起的变形。根据韦伯工作各种分析的方程已经提出来来估计每一偏转的大小。在整个讨论中都可以找到关于它的大小。因此，第i个轮齿对合规性的接触点j被定义为：

研究分析表明，齿轮齿对的合规性是与外载荷无关的，而由齿轮的几何形状（即齿宽与啮合长度之比）和材料性质（杨氏模量和泊松比等）。

2.2齿轮传动静态误差和负载分担比例

传动误差，x，它被定义为从动齿轮的实际和理想状态之间的差，通常是表示为沿着作用线的线性位移：

传动误差的常用符号用在齿轮理想位置之后。考虑直齿轮副具有一般的重合度（1b中的CR b 2分配，因此，I =1,2）在经受负荷F低速运行时，齿轮副在这种情况下工作的传动误差称作静载传动误差，它一般包括齿部变形，轮齿制造误差，

还有在啮合处的齿廓修正，而且这种误差应该均分到啮合的两个齿轮上。

在这些等式中，不包括线外啮合效应而它将在下一节（因此一个“帽子”符号来加以区分）来考虑。将代式（1）带入上述等式可以发现总的载荷被齿轮副上的齿轮均分了。

其中，是在啮合处j被齿轮均分的静载荷，m是关于啮合的第i个齿对，其中包括在齿轮制造误差和齿廓修正等效齿廓误差。值得注意的是当从动轮低速运转时静传动误差可以通过实验测量。当实验测量卸载静态传动误差的时候，应对齿轮对施加一个较轻的力，这样齿轮的偏转就可以被忽略掉。

对于高重合度的齿轮副，所述的加载静传动误差，它的静载荷分配到一对齿轮上，相对应的分配比可以通过上述相同的步骤得到：

2.3. 线外啮合

由于受载轮齿的弹性变形，线外啮合或者正常接触之外的接触能够出现在直齿轮或斜齿轮传动系统中，这将导致过早或者延迟啮合。这个非常容易通过图像观察来解释。图1是承载齿轮副弹性变形。，#2将导致输入齿轮对#3比理论的接触点B过早啮合。同样地，受载输出齿轮对#1将比理论啮合结束点E更晚的结束啮合。这延长了啮合区的长度，同时增加了重合度。显然，这增加的啮合程度依赖于所施加的扭矩，因为施加的扭矩越大，受载齿轮的弹性变形越大。林等分析表明，忽略的角落接触的影响结果是低估共振速度和高估最大动态负载。林等人使用的间隔距离的概念解析分析传动误差角落接触的影响，并产生最终LSTE曲线。

2.3.1齿间间隙

齿间间隙被定义为当没有弹性变形的时候，一对齿轮轮齿快要啮合或刚刚脱离啮合的位置。这个距离作用线表示，将与受载静态误差相比较决定啮合情况。Lin等人已经衍生分析公式的确切版本为齿分离距离的计算，而西格和Munro等开发了使用简单，高度准确的几个近似公式。

2.3.2包含线外啮合效应的LSTE

线啮合效应对传动误差的影响已经被林等人充分的讨论了。对于重载的齿轮忽略掉轮齿的齿廓的误差也许是一个合理的假设。然而，在文中将会得到包含线啮合效应的承载静传动误差的一般形式。

就一对有着一般重合度烦人直齿轮副而言，线啮合效应主要发生在当一对刚要进入啮合的轮齿刚刚要到达理论的啮合开始点和一对刚要离开啮合的轮齿刚刚到达理论的啮合结束点。在本文中，我们假定：（1）线啮合仅仅影响每对轮齿单啮合区域的开始和末端而不影响双啮合区域；（2）像图1所示，在单啮合区域只有一对轮齿在啮合，齿廓误差不足以导致啮合误差。第一个假设是合理的，因为根据有限元分析的结果，在单啮合区和双啮合区之间的交接区随着载荷的增加会有一点轻微的移动，这样导致无论双啮合区是否相对稳定，当线啮合效应发生时，单啮合区会减少。第二假设的引入是为了忽略因齿廓剥落，凹陷，和轮齿断裂所造成的齿廓缺陷。结果是，当线外啮合效应发生时会有三种不同的情况。

齿轮副#3有线啮合效应，齿轮副#1没有线啮合效应。在这个例子中，齿轮副#2承载了大多数载荷。齿轮副#3进入啮合更早了，而且逐渐的增加了它所承担总传动载荷中的比重。齿轮副#1脱离了啮合，不承担任何的载荷。因为每个齿轮副的传动误差应该相等，所以：

其中，Sa_j³是进近过程中的齿对＃3的间隔距离，当轮齿对＃2在j点啮合。解决这些方程会给：

然而，在某些情况下.齿形误差将会防止#3的线啮合效应，而只有齿轮副#2承载。因此，无论何时对于齿轮副#3承载产生错误的观点：

②齿轮副#3，没有线啮合效应，齿轮副#1有线啮合效应。在这种情况下，，弹性挠曲导致牙齿对＃1连接合的理论结束点之后保持啮合。其负载的份额逐渐降低到零。在此期间，齿轮副#3没有啮合。因此：

是当齿轮副#2在j点啮合的时候齿轮副#1的齿间间隙。解决这些方程会给：

相似的，每当#1这一对轮齿所承载的载荷为负值，则：

#3和#1轮齿对都是线外啮合。在这种情况下，弹性变形导致#1轮齿对保持啮合，#3轮齿对更早的进入啮合。这是一个三接触区，#2轮齿对承受了大部分载荷，而#3和#1轮齿对都保持啮合。因此

解决这些方程会给：

同样地，每当轮齿对#1所承载的载荷为非正值，就表示轮齿对#1没有线外啮合，然后返回到案例1。每当轮齿对#3所承载的载荷为非正值时，表示轮齿对#3没有线外啮合，然后返回到案例2。然而当轮齿对#3和#1所承载的载荷都是非正值：

表1显示了各种情况下，有线外啮合效应的受载静态误差的公式。这是唯一通过以上公式计算轮齿对的受力情况来决定它们是否存在线外啮合的方法。

对于高重合度的齿轮副，LSTE和个轮齿上的受载情况都可以通过上述过程获得，这里就不在详述。表2显示了静态传输误差与高重合度齿轮副线外啮合效应的公式。线外啮合发生在当轮齿对#（n 1）将要进入啮合区，而轮齿对#n刚刚离开啮合区，这里的n是一个整数，比重合度的值要大。

2.4.FVMS和VVMS

第i个轮齿对在啮合点j处的FVMS直接定义为它等效于屈服形变的倒数：

因此，对于屈服形变和FVMS，它们由宏观几何形状、材料的特性所决定，而与和齿轮误差以及施加在齿轮上的固定载荷无关。换句话说，FVMS对于一个给定的轮齿对而言是确定的，与齿轮的微观几何形状和所施加的载荷无关。齿轮副的FVMS为参加啮合的每个齿轮的FVMS的总和：

的VVMS和第i个轮齿对在j点的VVMS定义为：

这里的是先前考虑线外啮合所计算处的受载静传动误差。因此，不像FVMS

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