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多自由度系统中结构振动的主动隔振，第一部分：系统的动态属性

Gardonio, S.J. Elliott, R.J. Pinnington

声学与振动研究所, 南安普顿大学, 南安普顿 SO17 1BJ, 英格兰

本文是有关隔振系统中结构振动的主动控制的两篇配套文章中的第一篇。这是一项基于多隔振器以及多自由度的被动隔振系统的准备性研究，根据功率进行隔振效果评定。该系统的数学建模基于矩阵方法，使用以下三个独立部分的导纳或阻抗表示：振源，接收器和将振源连接到基础的隔振器。关于在平面中振动的刚性质量体（振源），对扭转波和纵波传播的梁（隔振器）以及无限或有限平板中给出了导纳及阻抗公式，详细描述平面（基础）内横波和纵波以及平面外的扭转波传播。

结果表明，在低频时，任何“刚体模式”（轴向模式，切向模式，扭转模式）都能够向基础传送相当大的功率，而较高频率的振动传递主要与分布式隔振器或基础的动态特性有关。

引言

通过安装有源隔振器降低振源传递到基础的振动的主动隔振已经在引起了近年来的广泛关注[1]，学术界在这一方面取得了很大的进展，特别是在主动隔振执行器[2]和数字控制隔振系统[3]方面。这些系统有时可以实现比传统的无源隔振程度更大的振动衰减，尽管只有当主动隔振系统与被动隔振系统结合安装使用时，才可以获得最佳隔振效果。然而，主动隔振系统的理论研究和技术开发还远未完成。

目前的理论研究主要集中在两个方面：第一，研究无主动控制作用的被动隔振机制;其次，研究不同控制策略的有效性。作者所进行的研究正是基于这两方面展开的，并且在本文中介绍了关于隔振器中结构振动传递机制的准备性研究成果，而在另一篇配套文章[4]中对采用不同控制策略的控制系统有效性进行了对比研究。本文的主要内容可以分为两部分：第一部分是对隔振系统的数学模型进行构建;第二部分是使用该模型来研究结构振动传递的机理。这里采用的数学模型和表示振动传递的方法包含描述振动传递的一些细节，这对于理解隔离器配备主动隔振器时发生的现象是非常重要的。

1.1理论模型

主动隔振系统通常由一个可以各种方式自由振动的振源，通过多个分布式主动隔振器连接到一个柔性基础来构成。可通过使用主动隔振器隔离振源的实例是汽车，船舶和飞机的发动机或安装在家用机器（例如洗衣机或冰箱）中的电动机，再或是用于空调系统中的风扇。这些振源通常通过能够支撑机器重量的软质悬架安装到柔性箱体或框架上。通过考虑三个频率范围[1]：低频，中频和高频范围，可以获得对这种完整隔振系统的动态特性的全面表述。由于悬架上的振源振荡，低频范围的动态特征是部分“刚体”模式，而中频范围的特点是动态模式数量更多，因为分布式布局的隔振器和分布式连接的基础产生共振。通常情况下，振源是一个刚度很大的系统，只能在较高频率下产生共振。在这两个频率范围内，系统的振动通常根据系统的全局特性使用模态方法来描述。最后，在高频范围内，接收器和支架的振动主要受声波传播现象的影响，并且系统的结构振动变得更像声学振动，通常根据元件的声学散射特性构成系统。von Flotow [5]将系统的动力学特性从模态特性转变为声波传播特性的频率下限称为“声学极限”。

找到一个能够描述系统在整个频率范围内中出现的所有情况的模型并不容易。单自由度模型并不令人满意，即使考虑到多个坐标系的模型，将它们建模为耦合系统也是不完整的。 Swanson等人 [6]已经证明了建立以具有多个隔振器，将分布式振源和柔性基础用单自由度隔振器连接起来的完整隔振系统模型的局限性。Sanderson等人 [7] Petersson和Gibbs [8]讨论了考虑振源和基础之间的多重隔振器和多自由度振动传递的必要性， 特别是他们强调需要在分析中包括线性的和旋转方向振动的传递。

在本文中，构建了系统的矩阵模型，其中特别关注多个隔振器的影响和多自由度振动传递。振源和接收器的特性使用点导纳和传递导纳表示，而隔振器的动态特性是由点阻抗和传递阻抗指定的。

我们特别对这种振源是一个可以在平面内自由移动并通过一对有源隔振器连接到无限或有限板上的刚性质量块的情况进行了详细研究。 三种类型的波可以传播到基础中：平面内纵波和横波以及平面外扭转波。 这些隔振器被建模为以任意角度倾斜的分布式一维系统。每个隔振器被等效为一个对轴向和切向位移以及横截面旋转产生反馈橡胶环。主动控制行为模拟为一对作用在隔振器顶部和底部的轴向反作用力。

本文提出的矩阵模型可用于各种分布式机械，声学和机械—声学耦合系统，其特点是通过多种路径将振源振动传输到底座。该模型的“核心”是其整体由每个特定子系统的导纳或阻抗矩阵组成。在本文中，对矩阵模型的描述是通过使用一个刚体质量块（振源）的各点导纳和传递导纳的详细表达式和一个薄的有限或无限平板（基础）上的平面纵波和横波以及超出平面的扭转波传播。除此之外还写出了了隔振器中横波和纵波传递的阻抗公式。

1.2振动传递的表示

当考虑多方向振动传递模型时，由于传递给底座的结构振动由大量参数表征，在某些情况下存在不能直接比较的问题。Goyder和White [9-11]使用了一种新方法来描述完整隔振系统中的振动传递。它们通过使用传递给底座的结构振动功率来描述振动传递，因为这个量可以用来量化和比较振动的所有分量。Noiseux [12]，Pavic [13]，Verheij [14]和Williams[15]等人率先提出了利用功率量化结构振动。其他作者也使用这种方法;例如，Pinnington和White [16]以及Pinnington [17]在假定将隔振器简化为一个自由度的情况下研究了向柔性基础的功率传输。Petersson [18,19]和Koh和White [20-22]强调了力和力矩激励在梁或板状结构的功率传递中的重要性。 Rook和Singh [23]以及Fastard和Singh [24]研究了具有多个连接部位的耦合系统中的功率传递。

在本文中，通过使用结构功率来量化通过多个分布式安装隔振器传递到柔性基础的振动。通过使用功率模型和使用耦合的多自由度模型比较不同机构振动传递到基础的过程，来对隔振器的动态特性进行新颖和详细的说明，这是简化模型无法做到的。

出于以下两个原因，功率也被用作量化结构振动传递的参数。首先，在许多情况下，隔振的目的是控制底座振动发出的噪声[25,26]。使用功率进行振动传输的特征描述是一种评估完整隔振系统基础发出噪声的好方法，因为这个数量代表了可用于产生辐射声音的功率[27]。其次，主动振动控制的一种策略是尽量减少传输到基础的功率[28]。这是传统策略的一种替代方案，用于消除隔振器与基础之间的连接处的速度或力，或最小化基础在多个点处的振动响应。因此需要对无源隔离器系统中的功率传输进行考查，以了解主动隔振对功率传输的减小效果。

这里使用的矩阵模型的准确程度以及用于描述振动的方法已经可以做到详细研究完整隔振系统中的振动传递。首先，所进行的分析表明考虑多隔振器和多自由度模型在低频段的重要性，因为已经证明任何“刚体模式”共振（轴向模式，切向模式或扭转模式）能够传输大量的振动。此外，在对隔振器和基础以分布式系统建模时已经显示出中频范围内振动传递的趋势。结果表明，特别是对于有限元板而言，基础的第一阶模态会大大影响振动的传递，此时的振动可能比振源刚性固定在基础上的情况要大。最后，通过使用功率作为评价指标，可以评估和比较每个自由度对振动传递的影响。仿真结果表明，在低频时，功率主要通过轴向振动传递，但随着频率的增加，功率的传输趋于在轴向和角度振动之间均匀分布。

多主动悬架系统的一般模型

许多有关完整隔振器的研究都涉及到只有一个方向振动的单隔振器隔振系统[29,30]。对于具有多个隔振器（通常为三个或四个）且由分布式柔性元件构成的系统，需要对其进行更详细的研究[31-33]。有限元方法可以用来研究这个问题，但是隔振模型可能很复杂，模型的物理复现能力也有限。通过使用将系统分成单独部分（这里将完整隔振系统分为三个部分：振源，隔振器和底座）的完整隔振建模系统的方法已经获得了良好的结果，并且研究了每个部件的点和传递导纳和阻抗[34,35]。在参考文献[34]中描述的矩阵模型，其中振源和基础的动态以点导纳矩阵表示，连接隔振系统的两个隔振器的动力学特性根据传递导纳矩阵给出。该公式适用于线性系统，可以描述所有三个构件的耗散效应，但仅限于轴向运动。在下一节中，这种方法将被推广用于多轴振动[36]。

完整的隔振系统分为三个单独的部分，如图1所示：振源，由n个隔振器组成的隔振系统，以及基础。这些部件连接在有限的连接点上。 每个连接点处的速度和传递的力都由六个参数描述。 这些速度和力参数被分组为一个交点速度向量和一个交点力向量，在某个特定频率下，对于第j个连接点，可以写为

振源

图1 一个完整隔振系统的方案

控制激励向量

隔振系统

主要激励向量

基础激励向量

基础

(1,2)

其中分别是沿x，y和z坐标轴方向的复合线速度向量，分别是指绕x轴，y轴和z轴方向的复合角速度向量，是x，y和z坐标轴方向上的复合力，最后，分别是方向上的复合弯矩。 参照图1所示的表示方法，这些连接点点向量被组合在一起以形成三对向量对：振源速度向量（）和力向量（），基础速度向量（）和力向量（）和隔振系统速度向量（）和力向量（）。 振源和基础速度向量和力向量由下式给出：

其中和分别代表振源在和第j个隔振器连接处的速度向量和力向量，而和分别代表基础在和第j个隔振器连接处的速度向量和力向量。隔振系统的速度向量和力向量由下式给出

(7,8)

其中和表示振源和第j个隔振器的连接处隔振器上的速度向量力向量，和表示基础和第j个隔振器隔振器上的连接处的速度向量和力向量。

通过使用导纳矩阵方法研究振源和基础的动态特性，它们的速度和力向量可以写成如下形式

其中，，和，分别是振源和基础的导纳矩阵（见附录A和C），，分别是主激励向量和基础激励向量。直接激励基础的力可能是由于连接到它的子系统或连接振源与基础的辅助路径引起的。使用阻抗矩阵方法来表示隔振系统的动态特性，

其中和是安装系统的阻抗矩阵（见附录B），是控制激励向量。 振源方程和基础方程（9）和（10）可以组合在一个方程中，

其中两个导纳矩阵和激励向量具有以下形式：

连接点速度和力向量由下式给出：

其中和分别被称为振源—基础速度向量和振源 – 基础力向量。振源 – 基础向量通过变换矩阵T与与之相似的隔振系统向量建立联系，以满足每个连接处的连续性原理（对于速度向量）和平衡原理（对于力向量）：

这些矩阵对于垂直的隔振器等于1，但对于倾斜的隔振器则采用更复杂的形式（见附录D）。 通过使用这两种关系式，可以将方程（11）和（12）关联起来，以便根据主要和控制振源找到振源 – 基础速度向量或振源 – 基础力向量：

从而

到基础的振动传递将通过功率进行量化，并且对于特定模型所考察的五类功率参数可以定义为：由主要激励输入到振源结构上的的功率，{}; 由基础激励输入的功率，{};由控制系统输入的功率，{}；通过隔振系统将主激励和控制激励传输到基础的功率{}; 和输入到基础的总功率{}。

由振源结构上的主激励输入到完整隔振系统中的功率由下式给出：

其中是一个在主激励作用下的振源被激励处速度参数的向量，可以表示为

其中和表示以与附录A中所述相似的方式评估的导纳矩阵。由侧向激励输入到完整隔离系统的功率可以表示为

其中是一个向量，它包含了在激励点发生作用的基础处的速度参数，它可以表示为

其中和是以与附录C中描述的类似方式评估的导纳矩阵。由于控制振源而输入到完整隔振系统的功率可以表示为

其中是一个只包含隔振器连接处轴向速度的向量。 由主要激励和控制激励传输给基础的功率由下式给出

在接下来的章节中，传输到基础的功率分析将考虑三个部分：与轴向或平面外位移相关的功率，与横向或平面位移相关的功率以及与旋转相关的功率。以下符号将用于定义这些功率量。与振源连接点的轴向位移（）或基础连接点的面外位移（）相关的功率将被称为“功率的轴向分量”。与振源连接点的横向位移（）或基础连接点的面内位移（）相关的功率将被称为“功率的横向分量”，并且与振源连接点（）或基础连接点（）的旋转相关的功率将被称为“功率的角度分量”。最后，输入到基础的总功率是通过将由振源发射传输到基础的功率和通过基础激励输入到基础的功率相加得到的，为

由主要和控制激励（）传输到基础的功率或通过基础激励（）输入到基础的功率可以假定为负值，如果是负的或直接作用于振源侧边，且是负数，则表明振源到基础的功率流向表现为吸收。

基础（简支板）

隔振器

振源

图2 完整的隔振系统

具有两个主动隔振器的自由度完整隔振系统

在本章中，我们讨论一个振源通过一对有源隔振器连接到简单支撑的有限板或无限板的振动隔离。主动隔振器具有可为任意值的倾角beta;，只能产生轴向控制力。本章探讨了系统的被动动态，而没有考虑主动控

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