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可重构空间多体机器人的动力学分析和轨迹规划

Quan Hu，Jingrui Zhang

（北京理工大学 宇航学院，中国 北京）

本文设计并研究了一种具有多只可重构机械手的自由漂浮空间机器人。该机器人采用了可锁定的被动柱形关节（PCJs）结构，其可使机械手改变其自身长度和扭转角度。每个柱形关节连接两个相邻的刚性连杆，其中没有嵌入式驱动器而仅有一个制动机构，正常情况下该机构在操作过程中被锁紧。在重构阶段，两个机械手相互夹紧形成闭式运动链，然后一个柱形关节被解锁，其相对旋转和平移运动可由其他关节上的力矩改变，这是一种典型的空间多体系统。关于具有解除锁定的柱形关节和闭式链结构的空间机器人的动力学已被研究，运动方程通过Maggi–Kane方法推导得出，获得的数学模型也无需乘子，适用于控制器的设计。并提出了一种能够避免机械手结构奇异性的轨迹规划算法，为轨迹跟踪控制而设计了一种内嵌扩张状态观测器（ESO）的滑模控制器。数值模拟试验验证了机器人重构过程采用的轨迹规划及控制策略的有效性。

1 引言

在过去几十年中，空间机器人已被广泛应用于在轨操作，如自主对接、组装、维修、检查^[1,2]等，多数情况下，机械手的尺寸和构形专为某一给定任务而设。例如，要求操作灵敏快速时，机械手应采用短连接以增加其机动性；当检查航天器外观时，应最大限度地增加机械手的结构长度以扩大其作业空间^[1]；当处理和移动载荷时，连杆的长度应根据机动性和一定的空间转位进行优化^[4,5]。

图1 带有三只可重构机械手的空间平台

为了使机械手能够执行不同的任务，模块化可重构机械手的概念被提出^{[ 6 ]}，它可以通过改变连杆的数目创建一个树状结构，而连接各模块与对接系统的复杂关节是必不可少的，但是其不适用于空间应用。近年来，Aghili 和Parsa介绍了一种简单且更有效的解决方案——基于PCJs的可重构机器人^[7,8]，这些柱形关节通常由制动机构锁紧以使相邻的刚性连杆紧固连接，当被解锁时，两连杆之间可相对平移和旋转。机械手的理想构形可通过以下方法获得：末端执行器（EE）连接到一个固定点或两机械手的末端执行器捕捉彼此形成一个结构回路；然后解锁一个或多个PCJs；利用主动控制力矩推拉PCJ以改变其自身长度和扭转角度。可重构机器人和传统机械手的最大区别仅存在于其重构阶段，因此Aghili强调了重构运动学、动力学与控制问题^[7,8]。然而，文献[7]和[8]研究的系统是地面固定基座机器人。而我们重点研究了配备多只可重构机械手的空间平台，如图1所示，每个机械手的长连杆由两个刚体组成，这两个刚体由一个PCJ连接，因此长连杆的长度和扭转角度可以发生变化，如图2所示。图3表示了机器人重构过程，本文将针对其动力学模型、轨迹规划以及重构控制器等方面开展相关的试验研究。

图2 (a)机械手的参考结构和尺寸，(b)改变长度后的机械手

图3 (a)机械手1和2从初始位置开始运动；(b)末端执行器彼此连接形成一个闭环；(c)解锁PCJ1，改变机械手1的第一个长连杆的长度；(d)锁定PCJ1并解锁PCJ2，改变机械手1的第二个长连杆的长度；(e)机械手1和2的长度改变后释放末端执行器；(f)机械手3也可以相同的方法重构

当两个机械手的末端执行器连接在一起，该空间平台形成一个具有拓扑结构的闭环多体系统。如果PCJs解锁，该系统动力学将更加复杂。拉格朗日乘子常被用来解决运动约束问题^[9,10]。然而，未知的乘子会增加系统的维数，使控制器设计困难。Cheng等人^{[ 11 ]}利用拉格朗日—达朗贝尔方法推导出一个闭链机器臂的运动方程，该方程无需乘子；然而，推导涉及到的能量函数分化问题，使得该方法不适用于复杂的空间机械手系统^[12]。环形多体系统的动力学建模可借鉴文献^[13]。值得注意的是，Saha等人近年来提出的解耦的自然正交补方法（DeNOC）也可应用于可重构机器人^[14-16]，DeNOC可消除约束力项得到最低阶的运动方程，其算法非常通用和统一，适用于完整或不完整约束的系统。我们的方案中，另一种类似的方法从Maggi–Kane方程推导而来，结合了DeNOC的多数优点，因为运动方程中没有出现乘子，所以适合计算机处理，也简化了控制器的设计。

空间机器人轨迹规划算法是以所需关节的角度、速度及加速度随时间的变化作为控制器的输入，可重构机器人的这个问题也归于受运动约束的并联机器人的轨迹规划这一类问题，公开文献^[21-23]做了大量的相关工作，但是在系统中引入PCJs也增加了新的挑战。我们认为可把重构阶段的机器人系统看作一个等效系统，只是在该等效系统中一个PCJ连接着两个独立的运动模块，然后设计各关节轨迹使末端执行器沿着PCJ轴线运动，在算法设计中也考虑到了机械手构形的奇异性规避问题。

至于重构控制方面，可以借鉴闭式运动链（CKCs）的相关方法，参考文献[24]也提供了很多极好的CKCs控制方案，但是运动方程通常被写成微分代数形式，这给问题带来了极大的困难。如果CKCs的动力学模型可以转换成状态空间形式，那么所有的时域方法都可用于求解。根据这个思路，Wang 和Ghorbel提出了一种简化方法求独立广义坐标下的运动方程，可以将开式链的运动规律扩展至CKCs。Aghili 和Parsa针对可重构机器人开发了一款基于投影的比例微分控制器。本次工作，我们采用新形式的Maggi–Kane方程将动力学方程的维数降到最低，针对可重构机器人可能面临参数不确定、未知环境及动力学无法建模等问题，设计了一种用于轨迹追踪控制且结合了ESO的滑模控制器，该控制器只需要测量关节角度、机械手速度以及平台的姿态信息。

2 系统描述

连杆的结构弹性和关节柔性不在研究范围内，且带有可重构机械手的空间平台可视为一个典型的刚性多体系统。图4为一个航天器的简图，其由一个刚性基座和两个可重构机械手M₁、M₂组成，M₁、M₂的末端执行器彼此连接形成一个闭环。为了建立该系统的的控制方程，首次在两个末端执行器之间引入一个切断点，以便消除约束。假设在所得的系统中有n个刚性杆件和n个关节，它们可任意编号，为清晰起见，每个关节应与其外侧杆件编号相同，如图4所示。杆件固定坐标系与杆件 (j = 1, 2, hellip;,n)固连，惯性坐标系用符号表示。Maggi—Kane方法采用广义速度[18]来描述系统的运动，即

式中表示的广义速度，上标T表示矩阵的转置。该式描述了杆件与其内侧连杆之间的相对运动，此内侧连杆靠近基座并通过关节与杆件相连。

图4 重构阶段空间机器人的简图

广义速度的大小随着关节类型变化而变化，例如，基座与一个六自由度（DOFs）的惯性系相连，因此在杆件坐标系中的惯性速度和角速度以列矩阵的形式表示，即；对于转动关节，，其中表示相对转角；对于PCJ，定义为 ，其中和分别表示PCJ的线位移和角位移。的大小以下列公式计算：

其中 表示。

3 运动方程

通过Maggi–Kane方法制定矩阵形式的运动方程，并首次引入“偏速度矩阵”和“偏角速度矩阵”的概念，使计算机更有效地处理算法。这些概念由Banerjee和Kane^[17]提出，并由Hu等人扩展。

3.1偏速度矩阵和偏角速度矩阵

假设中一个普通的质量单元，其惯性速度为

= (3)

其中和分别表示连杆坐标系的惯性速度和角速度，为质量单元在中的位置矢量。根据Maggi–Kane法，可以系统广义速度的形式表示，即

式中为与质量单元的第个广义速度相对应的偏速度，是非线性项。同理，和也可以写为

式中和分别是中的偏速度。

以如下形式组合构成的偏速度矩阵：

(6)

的维数均相同，即，该性质使它能以相同的方式表达每个元素对系统动力模型的作用。

同理，在其参考系下的偏速度矩阵和偏角速度矩阵可以定义如下：

(7)

由、及，式（4）、（5）可以用一种简单的形式表达，即

(8)

(9)

将式（8）、（9）代入式（3）得到一个偏速度矩阵的运动学关系，即

= (10)

而非线性项也存在类似的关系，即=。

上述式中的所有运动变量、、、、和都可递归计算，可大大提高建模效率。由于运动受关节形式的影响，我们只研究可重构机器人的转动关节和柱形关节。

图5 (a)转动关节；(b)柱形关节

3.2 转动关节和PCJ的运动学模型

如图5(a)所示，和通过一个转动关节相连，其轴线方向为。与的递推关系可以写为

(11)

式中表示与之间的相对转速。选择为的广义速度，式(11)写成矢阵形式，即

(12)

式中和分别是坐标系和的矢阵。Hughes[26]为了清晰地推导矢量形式的动力学方程，提出矢阵的概念，其由坐标系的组成向量定义而来。例如，坐标系的矢阵为，其中、、是坐标系的三个正交的坐标轴，如果坐标系以角速度旋转，对时间的导数为。这一概念在建立运动学关系中起着关键的作用。

式(12)对时间求导有

(13)

假设=是广义速度向量中的第个元素，将代入式(12)和(13)推导出偏角速度矩阵和角加速度非线性项的递推关系，分别如下：

(14)

(15)

式中表示在矩阵中的位置。

相同地，与类似的关系如下：

(16)

(17)

(18)

其中为原点到原点的向量。

对于解锁的PCJ，描述其允许的相对运动的广义速度为和，定义如下：

(19)

式中和表示解锁PCJ中的相对直线移动和转动速度；为关节的方向向量，和分别是广义速度矩阵第和第个元素。

由于PCJ和旋转关节都只有一个转动自由度，它们旋转运动的递推方程相同，即方程(12)—(15)。因此，只讨论了PCJ的移动部分。如图5(b)所示，假设和通过一个被解锁的PCJ，那么的惯性速度为

(20)

式中，为在中的列向量。将关于的式(9)代入式(20)，合并广义速度的线性项得到的递推关系如下：

(21)

式中下标y表示在矩阵中的位置，的递归计算可从式(20)得到，即

(22)

递归运动学方程如式(12)，(14)-(18)，式(20)-(22)可用来计算3.3节中的运动变量、、、、和。

3.3 广义惯性力和广义主动力

多体系统的运动学方程可写为

(23)

式中，，其分别是系统的广义惯性力和广义主动力；和与相对应。为系统中所有物体的广义惯性力之和，即，式中表示刚性基座的广义惯性力，其大小由下式[1

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