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3.2研究实例:直角坐标机器人的动力学模型。

在这一节中，我们将获得三度的自由笛卡尔机器人的动态模型，并且在下一节中我们会用到这一模型。研究对象如图1所示。直角坐标机器人的运动只有直线移动而没有转动，因此，动能方程可简化成：

K(q.q)== (53)

速度被定义为：

v= (54)

而速度在公式（53）中以平方的形式出现，它的矢量表示方法如下，

v²=||v||²=v^Tv= （55）

由（4）和（5）得:

v=q

v=q q (56)

v=q q q

将v、v、v的解值带入（53）中，得到每个链的动能，

K(q,q)=

K(q,q)= (57)

K(q,q)=

对每个链的动能求和，

K(q,q)= (58)

该公式能分解成一下形式，

K(q,q)= (59)

同类项相加得到机器人的总动能，

K(q,q)= (60)

机器人势能为，

(61)

在计算了机器人的势能和动能后，我们使用拉格朗日法计算，

(62)

当我们用拉格朗日式(27)，我们分步解决欧拉—拉格朗日等式，我们开始计算和的从拉格朗日式衍生出的和关节速度有关的问题:

(63)

继续求其关于时间的导数

（64）

独立项解如下，

(65)

因此，直角坐标系机器人的动态模型为，

（66）

为t1，t2和t3处施加扭矩。正如我们所看到的，式子（66）所显示的动态模型没有考虑摩檫力的影响

考虑一下一些物理参数

项目	符号	数值	单位
链节1质量	m	16.180	Kg
链节2质量	m	14.562	Kg
链节3质量	m	12.944	Kg
重力加速度	g	9.8100	m/g

表1 三自由度直角坐标机器人的物理参数

我们可以通过以下方式来描述三自由度直角坐标机器人的动态模型

(67)

因为这是一个直角坐标机器人，所以不存在Coriolis和向心力矩阵C(q, ˙ q)

4.汉密尔顿方程

简单有效的方法也被设计用于解决与约束有关的动力问题，一个重所周知的最有效的方法便是朗格朗日方程。拉格朗日方程在式子（27）已经被定义了。还有一个更有效的方法便是汉密尔顿方程。首先定义一个广义动量，它和拉格朗日式子L(q,q,)和广义速度q的关系如下：

(68)

一个新的函数，哈密顿函数H(q, rho;)，这个函数为动能和势能的和，

(69)

由此可见，不难推导出：

(70)

和

(71)

这些叫做哈密顿方程，每个广义坐标系有两个哈密顿方程。他们可以用来代替朗格朗日方程。其优点是只与第一个衍生式子有关与第二个衍生式子无关。

证明：下面通过求解在等式的第一个元素，来验证哈密尔顿方程的获取，

—= （72）

为了解决这个方程中的这一部分，我们把拉格朗日方程L(q,q)视作动能K(q,,q)和势能U(q)的差，在公式（27）中。并带入方程（72）

(73)

当我们解决了局部的推导，显而易见，包含潜能U(q)的项就被消除了

(74)

并且考虑到动能K(q.q)被定义为

(75)

我们可以这样表示和求解这个方程

(76)

在这个方程中代表动量。最后，通过推导(76)我们可以得到

(77)

把方程（77）带入方程（72）中，得：

(78)

现在，为了解决方程（72）的第二部分，我们需要考虑和能量的关系，如下所示：

(79)

这样一来，我们可以这样表示方程（72）

(80)

H(q,rho;)也就是哈密尔顿方程，这代表了系统的总能量，且这个方程被定义为动能K(q,rho;)和势能U(q)的和。假定该系统的潜能U(q)是是关于q的二次微分。这个假设是以通用操作器为前提的。现在，如果我们用方程中动量的偏导求解哈密尔顿方程，我们可以发现潜能项被消去。

(81)

考虑到方程（75）中动能K(q，q)的形式，我们能够得到：

(82)

到目前为止，我们得到了方程（79）和（82），这些方程叫做Hamiltonian运动方程：

(83)

(84)

4.1工作和能量原理

当力作用在一个机构上，机构通过沿着固定轨道移动来完成工作。功W被定义为力移动一段距离所消耗的能量。并且它是能量单元的标量。

为了理解和利用“功”这一概念，我们必须先从物理角度来看待这一问题。在物理学中，很多力的作用方向不变。比如重力和电磁力。一维运动方程通过力作用下物体的位置来描述一个刚体：

(85)

功W等于力和沿力方向距离的积分，积分上限为位移初始点q和位移终点q:

(86)

在一个确定的或者数字的方式，我们都可以根据功W的积分式中可以定义U(q)这样的一个方程：

(87)

比如：

(88)

这样，我们可以把功W表示为起始点和终止点的差：

(89)

当一个物体放在某一点，这个物体便具有对应该位置的势能，而方程U(q)代表这一势能。到目前为止，我们可以知道:功可以用力F(q)来推导出来，功W在数值上也等于物体在运动起点和终点的势能U(q)之差。

从式子（86）来看，式子中的力F（q）的值，我们可以用方程（85）来替换，如下所示：

(90)

考虑到速度的定义：

(91)

我们能把变量dq写成：

(92)

这样我们就可以得到：

(93)

求解积分，我们可以得到：

(94)

正如方程（94）所示，当解开了这个积分，这个刚体的动能就出现在了式子中。众所周知在MKS系统中动能K(q.q)的单位和功W的单位都是焦耳J。到目前为止，我们可以知道，对于任何力F(q)

(95)

并且，根据式子（89）和式子（94），我们可以这样表示功W:

（） (96)

把所有方程整合我们可以知道：

(97)

能量守恒原则：

(98)

这一原则适用于任何一维问题，即力的大小，方向只和位置有关的问题。方程（98）也同样满足功能原则，由作用到物体的力F(q)所得的功W数值上等价于物体动能K(q,q,)的改变。

我们很容易发现，当积分上限是无穷大，定义能量U(q)的式子（87）中能量U(q，q)的值也是无限的。尽管如此，这没有什么影响，因为在任何实际运用中，正如方程（89）中所示，我们只会看系统势能的差。明白这一点很重要，因为这让我们可以任意的定义下势能为0的点。除此之外，在任何时候，我们可以在移动过程中添加或则删除移动点，而不会影响最后的计算结果。

4.2能量原则

果。式子(98)中的系统总能量（q，q）能够视作Hamiltonian方程H(q，q)，

(99)

并且由它推导的东西可以被视作功率P。功率P可以理解为单位时间下做工的速度。功率P被定义如下：

(100)

从机械的角度来看，功率（机械功率）是，通过机构或接触力而形成的作用在机械上的短暂的力。一个最简单的例子就是一个变化的力作用在一个自由粒子上。根据经典动力学，功率P就是单位时间内动能K（q,q,）的变化。而在机械学中有更为复杂的情况，比如固定轴上的旋转元件，它的惯性力始终保持恒定，在这种情况下，机械功率可以和发动机扭矩和外界作用的扭矩和关节运动速率q联系起来，即单位时间内角动能的变化率；在表示矢量系统的情况下，我们可以得到：

(101)

在这个式子中tau; isin; Rntimes;1代表末端执行器上受到的力和扭矩的矢量，而 q isin; Rntimes;1是关节运动速率。

证明：对式子

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