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1. 介绍

机器人是可重复编程的、多功能的操纵器。通过可变的编程运动，它可以设计成搬运材料、零部件、工具、或者是专用设备，这一切使得机器人都可以在何种各样的任务中表现得很出色。一个好用的机器人，能让人容易控制其运动，以及它作用于物体上的力。通常来说，机械手需要研究考虑其关节间隙的位移，换句话说，机器人在工作区的位移通常被看作关节位移。因此，要在关节间隙基准中分析机器人。这些因素产生了一个重要，复杂的控制理论，许多物理特征包括在内。这种控制被称为关节控制。

关节控制理论用机器人的“语言”，表达了机器人的位置，速度与加速度之间的关系，换句话说，它用扭矩和角度描述了机器人在执行任务时的动作。在大多数情况下，语言很难被理解，直到用户阐述了在直角坐标系中的空间动作。当机器人操纵器完全伸出或向后折叠时，例如末端执行器很靠近工作空间的边缘时，就会出现奇点。我们需要理解，奇点是一个数学问题，它会使系统不完全定义，这表明了速度控制的缺失，会导致末端执行器无法到达工作空间中的某些期望位置，这不是说机器人在结构上无法到达期望位置，这些位置是已经在工作空间中定义。S. Arimoto and M. Takegaki在1981年解决了这个问题，当时他们提出了一种基于Jacobian转置矩阵的新的控制方案，消除了奇点，并给出了直角坐标控制的原点。

关节控制用于决定基于Jacobian转置矩阵的直角坐标控制的主要特征。需要注意的是，要考虑机器人的工作空间，比如关节间隙，用户需要有关节与空间方面的知识，这会带来一些问题。因此，当用户需要移动末端执行器到期望位置，他就要理解机器人需要的关节位移。不过这个问题已经解决了，那就是用笛卡尔坐标系解释机器人的动作。这样的优势是，用户有坐标系的知识就能理解机器人的运动。因此，学好数学对分析机器人在直角坐标系中的运动十分必要，它使得我们能提出控制结构，使用动态模型，并理解机器人的物理现象。当控制了机器人的全局运动或只是机械手的位置时，我们面临着各自由度的非线性动力学。在着重于机械手动态控制的文献中，非线性动力学的复杂性被强调，一些实时补偿所有动态非线性项的方法也得到发展，以此来减少系统的复杂性。然而，这些方法需要大量复杂的计算，使用低端的控制器（比如微电脑）很难执行。此外，少量的计算错误或是系统参数的微小变化会这些方的失去可靠性。许多的工业机器人，每一个机械手的关节都通过线性反馈来独立控制。但是，对于的一般非线性机械系统，目标位置的收敛性还没有得到足够的研究。

本章的重点是用定义在直角坐标空间系中的控制结构来对机器人进行位置控制。机器人在其工作空间自由活动，用户也能理解这种空间。此外，数学工具还会详细地提出，分析和评估在直角坐标系中的控制结构。

1. 准备知识：正向运动学和Jacobian矩阵

一个刚性的多体系统由一对刚性物体组成，称为构件，它通过关节连接在一起。简单的连接方式包括转动副（旋转的）和移动副（平移的），也可以有更多普通的连接方式，从而模拟非刚性物体。著名的多刚体包括机械臂，机械手臂就是用一对构件连接成关节。有很多种连接方式，但最常见的是转动副，用角度值（标量）来描述其配置形态。其关键就是，一个关节配置就是一个或多个实标量的连续函数；对于转动副，标量就是关节的角度。要完成机械臂中的配置，就要用到矢量，例如，位置可以描述成：

我们假设有n个关节，每个 值就是关节的位置。通过末端执行器，就能控制机械臂到指定位置。期望到达的位置可以看成以下的矢量：

就是第i个末端执行器的期望位置。令第i个末端执行器的期望位置的变化，这个矢量就是错误位置了。末端执行器的位置（x,y,z）是关于关节角度的函数，这一事实可以表示为：

这就是有名的正向运动学方程。

2.1 案例研究：直角坐标机器人

为了理解直角坐标控制在机器人上的应用，我们用一个案例来解释，其中的概念都已被评价。在这一部分，有一个三自由度的直角坐标机器人，如下图。

对于这个三自由度的直角坐标机器人，我们需要绘制了一个系统图，如下图。

是关节的位移，是每个构件的质量。观察可见，机器语言的翻译使得这种机器人能实现各种动作，而正态运动学可以定义成：

我们可以观察到，第一个矢量仅是基于x轴的位移值所假设的，第二个矢量是考虑了x轴和y轴的位移值和，最后一个矢量描述了三个轴的的位移，这就代表机器人学中的正向运动学。

2.2 Jacobian矩阵

Jacobian矩阵J(q)是多维度的一阶导数。这个矩阵把机器人关节的速度和坐标系的速度联系起来了。因此我们可以把Jacobian矩阵当是速度q的映射。

其中是坐标系中的速度，是关节的速度，而J(q)是系统中的Jacobian矩阵。

很多情况下，我们通过建模的仿真，分析所给系统的表现。尽管在这个阶段，我们还没形成机器人的运功方程，但通过检查运动学模型，我们能表明系统很多的特征。其中最重要的一条是等式(5)，也就是Jacobian矩阵J(q)。它表明一个系统的许多特性，以及用于运动方程的特殊系统配置分析，静态分析，运动规划等。机器人末端执行器的Jacobian矩阵J(q)可以定义为：

就是上面等式(3)的正态运动学的具体化，n是q的维度数，m是x的维度数。我们感兴趣的是，关节的速度对期望的速度v造成什么结果。因此，我们需要解决一个系统的方程。

2.2.1 案例研究：直角坐标机器人的Jacobian矩阵

为了获得三自由度直角坐标机器人的Jacobian矩阵，需要用到正态运动学，定义如下：

现在对x求q1，q2，q3的偏导数：

对y求q1，q2，q3的偏导数：

对z求q1，q2，q3的偏导数：

所以，这个系统可以描述成下面的方程：

然后Jacobian矩阵的元素可以用等式(8)(9)(10)来定义：

2.3 Jacobian转置矩阵

以矩阵J(q)的行作为列，列作为行，就得到了一个新的矩阵，这就是J(q)的转置矩阵。通常来说，m*n的矩阵Jj(q)的转置矩阵就是n*m的矩阵，如下：

标量的转置矩阵就是它本身。

2.3.1 案例研究：直角坐标机器人的Jacobian转置矩阵

为了得到Jacobian转置矩阵，我们应用等式(13)与等式(12)中。在特定情况下，直角坐标机器人的Jacobian矩阵J(q)等于单位矩阵，因此它的转置矩阵就是本身，即：

2.4 奇点

机械手形位中的某些对应的奇点必须要避免，因为它会导致机械手刚度的突然缺失。在这些配置的附近，机械手会变得不可控制，关节力会大大地增加，还有有风险对机械手的机械结构造成损伤。工作空间的奇点可以在数学上被识别出来，表现为Jacobian矩阵的行列式为0：

这意味着，在数学上，矩阵J(q)是退化的，而在逆几何模型中，一个无穷大的解就在这些点的附近。

2.5 奇异位形

由于控制算法中微分矩阵和比例矩阵的调整，目标能在每一时刻保持着其错误位置接近于零。它存在着某种可能性，即Jacobian矩阵中某些行列式的值是奇异且未定义的。这称为“机器人的奇点位形”，这些分布在其中的Jacobian矩阵的行列式的值为零，如等式(15)。因为有这种情况，在奇点位形中，Jacobian逆矩阵并不存在。对于一个未定义的Jacobian矩阵，在直角坐标系中，一个无穷小的增量会在关节坐标中假定一个无限大的增量，这被翻译成一个运动：用于到达期望位置的构件的某些部分从关节到不可及的速度。因此，在奇点位形的附近，机器人会失去某个自由度，使得末端执行器无法到达某些位置。

不同的机器人奇异位形可以分为：

• 奇点在机器人工作空间的极限位置。当机器人的边缘在工作空间的内部或外部的某些极限点时，这些奇点就会出现。在这种情况，很明显机器人不能移动到那些从工作空间移除的地址。
• 奇点在机器人工作空间的内部。这些通常发生在工作区域，且机器人关节的两个或以上的轴对齐了。

2.5.1 案例研究：直角坐标机器人Jacobian矩阵的行列式

为了确定系统中是否存在奇点，需要求得系统的行列式det J(q)，考虑到Jacobian矩阵的通常结构形式，可以得出：

正如观察可见，Jacobian矩阵的行列式在任意点都是未定义的，这就表明直角坐标机器人的工作空间时完整的。

2.5.2 工作空间

工作空间是指机器人可以自由移动而无损伤的区域。这片区域是有机器人的物理与机械性能所决定的。工作空间是未考虑机器人末端执行器情况下定义的。下图描述了三自由度机器人的工作空间。

2.6 Jacobian逆矩阵

在数学上，特别是在线性代数上，如果一个n*n的方矩阵A，是可逆的，非奇异的，非退化性的，则存在另一个n*n的方矩阵,使得：

I是指n*n的单位矩阵。数学上对逆矩阵的定义如下：

C矩阵是协因素矩阵。

2.6.1 案例研究：直角坐标机器人的协因素矩阵

为了得到协因素矩阵，我们需要定义一个矩阵A：

则协因素矩阵为：

矩阵中每一个元的定义如下：

结合等式(12)中的Jacobian矩阵考虑，我们得到如下的协因素矩阵：

矩阵中每一个元的定义如下：

2.6.2 案例研究：直角坐标机器人的Jacobian逆矩阵

为了得到的Jacobian逆矩阵，根据等式(18)中的定义，我们需要协因素转置矩阵，

Jacobian矩阵(16)的行列式为：

观察可见，对于特殊情况的三自由度直角坐标机器人，其逆矩阵存在。

3 动态模型

动态模型是一个系统的数学表现，它描述了系统内部或外部出现刺激后的行为动作。对于直角坐标控制的设计目的，并且是为了更优的控制，通过由基本的物理规律得来的数学模型来揭示机器人的动态行为是非常有必要的。我们使用拉格朗日动力学来描述数学方程。我们从普通形式的拉格朗日方程开始对运动进行研究。对于守恒的系统，考虑拉格朗日方程如下：

，它们分别是关节空间的位置和速度，是施加的扭矩的矢量形式，是摩擦矢量，表示是动能与势能之间的不同。

拉格朗日方程的应用产生了数学方程，该数学方程用于描述了系统受任何刺激时的表现，称为动态模型方程。机器人动力学也可以按如下形式：

分别是关节空间中位置，速度，加速度；是对称的正定惯性矩阵；是一个包含科式力和向心力扭矩效果的矩阵；是一个因势能升降变化产生的重力扭矩矢量，

是摩擦扭矩矢量，它是分散的，因此某种意义上，只取决于和。

摩擦是两个接触面之间的相互作用力。从物理意义上讲，这些相互作用力是很多不同机制导致的结果，包括接触形式、接触表面材料、接触物之间的位移和相对速度，以及润滑情况。

存在着两种摩擦的状态：静摩擦和动摩擦。静摩擦又不同的元素组成，每一个都对摩擦力有一定的影响。关键思想是，摩擦总是阻碍运动的，它的大小取决于速度和接触区域。在速度不为零的时，摩擦扭矩被假设为消耗能，因此，它总是出现在第一或第三象限。在一个非零速度下，摩擦力是一个静态函数。下图(a)展示了库伦摩擦力；图(b)是库伦摩擦力加上粘性摩擦；图(c)是静摩擦力加上库伦摩擦力和粘性摩擦，图(d)是展示了摩擦力是如何因水平静摩擦而持续减少。

这个特征适用于常见的库伦摩擦和粘性摩擦。速度为零时，只有静摩擦满足下式：

。是关节i的静摩擦极限值。

最近在动摩擦方面有一个让人关注的事情。这是由好奇心驱动，满足精密私服系统和先进硬件，使实施摩擦补充变得有可能。“Dahl模型”就为了模拟存在摩擦的控制系统而开发的。Dahl开始做了实验，是关于带滚珠轴承的伺服系统上的摩擦。他的其中一个发现是，轴承摩擦和固体摩擦十分相似。这个实验表明，表面件存在金属接触。Dahl开发了一个简单的比较模型，并广泛用于模拟系统中滚珠轴承的摩擦。Dahl的模型从经典固体力学中的应力-应变曲线出发，如图：

物体受到压力时，摩擦力会逐渐增加，直至断裂。Dahl为它的模型设定一个不同的方程。x是位移，F是摩擦力，Fc是库伦摩擦力，该方程如下：

sigma;是刚度系数；alpha;是一个决定应力-应变曲线的参数。alpha;=1最常见，高的alpha;值意味着曲线更加弯曲。如果摩擦力F的初始值满足，则它的值永远不会超过Fc。在没有摩擦和其他干扰的情况下，等式(28)中，关于n个构件

的刚性机器人的动态模型可以写成如下：

假设机器人构件都是用转动关节连接。因为方程(28)很复杂，所以我们用方程(33)来分析，便于系统的设计。有必要说明，欧拉-拉格朗日方法不是获得机器人动态模型的唯一过程，因为这个问题一直是许多研发的对象。研发人员已经开发了一种基于牛顿-拉格朗日力学的替代方法，以获得更有效的模型。

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