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国际摩擦学

内容源自Science Direct

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齿轮动力学与功率损耗

Pedro M.T. Marquesa,n, Ramiro C. Martinsa, Jorge H.O. Seabrab

国家统计局，波尔图大学，校园FEUP，Rua Dr. Roberto，Frias 400, 4200-465，波尔图，葡萄牙

FEUP，波尔图大学，校园FEUP，Rua Dr. Roberto，Frias 400, 4200-465，波尔图，葡萄牙

文章信息

文章历史：

2015.9.30初稿

2016.1.26修订

2016．2.9上线

摘要

本文表示了一个四自由度集质量集中的齿轮时变啮合时的刚度，摩擦和阻尼，运动微分方程

从最小作用原理推导出。这项工作的目的是利用一个简化的直齿圆柱齿轮的动力学模型评估在齿轮不同载荷，摩擦和操作条件下，使用2个不同几何形状的齿轮的最终功率损耗摩擦系数。

amp; 2016 Elsevier Ltd. All rights reserved.

1. 介绍

近年来，环境和可持续发展问题显得尤为重要，经过世界各地的广泛，在提高设备的能量和运作效率以节省资源方面，已经取得了卓有成效的效果[1–8].许多机器有一个电机，在固定的速度旋转或在一个不是所需的速度范围内运行，在许多情况下为了克服这些问题，我们会使用齿轮传动。研究在准静态载荷条件下的齿轮箱效率是一个正确方向下的步骤，但同样重要的是，当齿轮处于旋转状态下时候，由于动态效果往往是变速箱承载能力的一个决定因素，我们也要理解发生了什么。在静态和动态条件下详细的齿轮箱效率估计可以让我们更可靠和高效地设计变速箱，这样一来，不仅在开发过程中，而且还通过变速箱的预期寿命，节省了大量资源。在以前的作品中，一些作者已经处理了齿轮动力学。在齿轮动力学下的创新主要是详细的动态模型（更多的自由度，变刚度和摩擦，陀螺，摇摆的影响，等）。

在这些作品中，主要的关注点是动态的超载、临界转速、传动误差和齿轮噪声，Ouml;zguuml;ven and Houser [13]对现有齿轮动力学模型的分做了一个非常全面的分析和分类。作者研究了负载分布的影响和弹性对齿轮功率损耗的影响，本文提出了两个负载分布型，静态刚度和静态弹性模型，静态弹性载荷分布模型[ 14 ]也使我们能够获得的啮合刚度函数，包括摩擦效应，在上述啮合刚度下，齿对传动和摩擦的影响引起了重要的变化，这一点已被验证，事实上，啮合刚度变化是齿轮噪声和振动的主要原因之一是众所周知的。

正如前文引用的那样，似乎并没有很多有关齿轮效率，包括动态效果的研究，本文表示了一个四自由度集质量集中的齿轮时变啮合时的刚度，摩擦和阻尼，运动微分方程从最小作用原理推导出。主要关注的不是动态分析，而是齿轮几何形状和动力学

在齿轮低功率运动下的影响。三种不同的几何形状在不同操作条件下进行了摩擦系数分析

，直齿圆柱齿轮和双螺旋齿轮先前已有研究，动态稳定条件下的平均功率损耗被拿来与用经典预测方法相比较[3,15,16].

2.模型公式

本节将提出质量集中的齿轮动力学模型，该模型包括齿轮齿摩擦，阻尼轴与啮合齿间轴刚度。阻尼系数被认为是恒定的，摩擦对时变啮合刚度有影响，包括摩擦效应的啮合刚度

经由作者引入的弹性载荷分布模型计算得出，据朗多和利弗席兹的学说，如果让任何系统占用，在由两组的坐标值所定义的时刻t1and t2位置theta;1andtheta;2then的条件是，该系统以这样的方式在这些位置之间移动时，该积分需要尽可能少的值。这是最小作用量原理。

根据theta;的变化表示公式，L对和求偏导数，再对t求一阶导数

当系统拥有多个自由度时根据 最小作用原理 每一个自由度的不同功能必须独立改变

独立地在。方程（3）是众所周知的

拉格朗日方程

系统的拉格朗日函数是动力学（T）潜能（U）的能量和外部的工作（W）函数，

也可以根据以下公式定义：

在各种各样的机械系统阻尼是重要参数。当考虑阻尼时，微分方程会根据上述影响而修改，可以通过引入瑞利耗散函数引入阻尼拉格朗日方程可以拉格朗日方程考虑阻尼可以表示，根据以下公式：

考虑集总质量系统（图1），其中包括连接随时间变化的弹簧的啮合齿轮副（每一个齿轮质量，Jp and Jw）双弹簧连接到每一个齿轮，以模拟轴扭转刚度(K1pand Kw2) ，

图1

啮合刚度是时间的函数，摩擦效应也包括在上述的时间摩擦效应之中。最后，这有助于形成一个简单的没有摩擦效应的方程组，图1 描述的系统动能可在下面公式中写出：

弹性势能根据公式7 写出：

齿轮啮合(Ktpw) 和轴的刚度 (K1pand Kw2) 已考虑在内，

W（公式8）是外力

R（公式9）增加了阻尼效果

综合公式（4）到（9），应用公式（5），得到一个四微分方程描述运动系统：

表1：仿真数据

等式10-13被量化为恒定的速度

1. 模拟

在此前的工作和研究中[3]，作者在改进的FZG试验台进行功率损耗试验，独立地对每一个主要的功率耗散组件 进行了分析和功率损耗模型进行了仔细校准和验证[2,3]，像齿轮箱功率损耗的经典方法研究（负载相关齿轮摩擦损耗），该模型假定平均齿轮摩擦功率损耗考虑刚静载荷情况下可以计算，在这项工作中进行模拟，验证动态效果是否会影响平均功率损耗，在考虑到轴的尺寸，装载离合器和传动齿轮箱的情况下，对外部质量和轴的刚度进行了计算。表1在质量集中额模型中显示了参数的属性，根据公式14，J1是求后轴的惯性，包括一个套筒和驱动轮的惯性，同样的，J2考虑离合器轴的惯性，轴的刚度K1p和Kw2 考虑典型直径计算，FZG试验台轴长度采用经典的扭转轴的刚度方程计算。

啮合阻尼参考值已给出

齿轮的几何参数

表2

时变啮合刚度Kpwt根据作者先前的书籍计算[17,14]，在负载分布处最大限度地减少系统的总势能，边界引入了使用拉格朗日乘子。在时变啮合刚度条件下考虑齿轮动力学摩擦效应，Jp和Jw从齿轮的尺寸计算节径和齿宽

图4

表3

表三显示了2个不同的几何参数，齿轮的几何形状，一个圆柱和螺旋，图3显示了水平动作和理论接触线（几何方法），根据所选择的齿轮（主要是由于不同的齿宽度）和啮合刚度，以及摩擦系数，不同齿轮的主要差异与惯性参数jp 和JW变化相关，一个中心的有限差分格式的数值模拟求解方程(10)–(13)，选择Delta;t为一微秒，至于边界条件，输入速度和扭矩固定，模拟，然后运行，直到稳定的动态条件下实现。在开始时，最大负载幅度，有严重的变化，但随着时间变化，幅度越来越小趋于稳定，模拟在FZG负载阶段K9 以200和1200 rpm转速进行。工作温度80摄氏度。

3.1功率损耗

单齿轮啮合瞬时功率损耗可以根据以下公式计算

摩擦系数可以认为是恒定的和平均的，每个齿面啮合点都可以计算，包括摩擦效应的动齿载荷可以考虑平均摩擦系数和常系数直接计算。

图5

公式16中的FN以动态总齿载荷计算，并引入了这一载荷，此处计算之前已作说明，为了计算总功率损耗，所有的同步齿对接触必须考虑在内，公式2节调速齿轮动力学问题可以用来研究摩擦系数的影响。

图6

4.1 平均摩擦系数

在这一节中，平均摩擦系数被认为是沿着接触的路径，表3显示了每个模拟的摩擦和工作条件的平均系数，图5和6显示的动态负载和选定的啮合区间在200和1200转每分。

图7

图8和图7显示功率损耗，考虑选定的啮合周期的动态影响，完整的线代表的动态模拟的结果，而虚线的点线是等效的准静态模拟，动态模拟运行，直到达到稳定的动态条件，图5 a c e和图6 a c e 表示稳定的动齿轮载荷。

200和1200 RPM的结果表明，直齿齿轮比斜齿轮易促进更高的动态过载

图8

直齿圆柱齿轮的动态总正力过载为1.7，在200和1200左右为1.45，h501和h951斜齿轮动态过载都低于1.15，从动态负载稳定的条件下（图5和图6），选择一个啮合周期（垂直虚线），以研究当地的功率损耗. 正如观察到的那样，由于动态负载有一个组件，该组件与一个不同于齿轮啮合周期的周期变化，动态负载取决于啮合周期，图8和7显示在选定的时间段的负载分布和总功率损耗，得到的结果，与负荷分配和滑动速度在准静态扫描式仿真得到的不同，这主要是由于动态效果引入的负载和滑动速度的变化，为了有一个在稳定的动态条件下现实的代表性的平均功率损耗，平均总功率损耗应计算，表4显示了在稳定的动态条件下，在表3中提出的操作条件下的平均功率损耗。结果在表4的平均摩擦系数的模拟结果表明，在稳定的动态条件下的平均功耗的计算与采用准静态载荷分布相同，牙齿平均正常负荷稳定的动力学条件等于额定负载（准静态条件下）。

4.2局部摩擦系数

为了考虑局部的摩擦公式我们采用迭代公式，摩擦是非线性相关的载荷分布，反之亦然，因此这个问题必须给予迭代解决，一个恒定的摩擦是基于平均摩擦计算的动态负载分配，然后使用先前计算的动态负载分配计算局部的摩擦，一个“新”的动态负荷分配与先前计算的局部摩擦要重新计算，这个过程继续下去，直到实现局部摩擦和负荷分布的收敛，摩擦的动态效果在整体的扭转动力学行为中似乎有非常小的影响。

5．讨论

这项工作的主要目标是评估在实际工作条件下的齿轮功率损耗的动态和齿轮的齿形几何的影响，齿轮几何稳定在动态行为中起着非常重要的作用，主要是由于不同的啮合刚度函数，这一点已经被验证，在一个小的时间周期对功率损耗进行研究，不同时间帧和平均功率损耗的显着差异，主要是由于正常的负载变化，这一点同样也已经被验证，然后研究在稳定的动态条件下，当平均为几十个啮合周期时的功率损耗。

此结果在恒定摩擦下获得，他显示，用准静态方法和稳定动态条件下的平均功率损耗的方法计算出的平均功率损耗并没有差别，然而当局部摩擦被考虑在内时，在静态负载和动态负载下的结果又有不同，直齿轮显示，这两个操作条件下的差异低于5%，螺旋齿轮表现出非常不同的行为，h501有些接近与准静态的方法得到的值，而h951差异达15%，这些结果表明，如果需要知道一个更精确的预测的平均功率损耗，动态应考虑在内，这种差异的原因时，局部的摩擦相对于负载的非线性关系。另一个有趣的发现是，动态效果不一定会增加功率损耗，事实上，Sheng Li在最近的工作也验证了这一点[22],据他所说，对直齿轮副的这种行为的解释是，系统的动态响应导致了低负载。

图9

表6

开发并没有考虑到由于弹性效应的接触路径的长度的变化，制造误差与横轴刚度，以及还有一些被我们所忽略的但是对实验有影响的因素，路径接触的长度的相应的变化，最有可能导致预测的功率损耗进一步改变，尽管功率损耗是这项工作的主要研究重点，但齿轮动力学仍在齿轮设计中扮演重要角色，其影响仍然不可忽视，齿根安全性，传动误差和齿面苦恼相关的故障仍然是一个值得我们重点关注的问题，以往的研究表明，负载历史的表面磨损和微窘迫现象起着非常重要的作用，这些研究的作者通常认为准静态载荷分布，是由于表面粗糙度引起的接触压力峰值引起的，动态载荷下表面困扰问题的研究将会是一个非常有趣的研究课题。在稳定的动态条件下，给定足够的啮合周期，正常的负载平均值为准静态值，但对表面失效相关问题的影响是不线性的，

6. 总结

从最小作用原理推导了一四自由度扭集总质量齿轮动力学模型，该模型考虑了摩擦（恒定摩擦和局部摩擦）的振动特性的影响，轮动力学和齿轮几何平均功率损耗的影响，然后进行评估，齿轮几何在齿轮动力学中占有十分重要的地位，直齿圆柱齿轮具有较高的动态过载主要由于阶梯状啮合刚度变化，从多个齿轮的啮合过渡到单齿副反之亦然，摩擦并没有表现出显着的，但可见，无论是直齿圆柱齿轮还是斜齿轮的扭转动力学行为的影响，

局部摩擦系数，Hai提出了一种提出了一种基于弹流模型，实验验证了的摩擦系数公式，此模型在不同条件下运行了10000次，然后一个自定义函数符合了结果。更多细节可以在文献参考中找到[19]

表A1

参考文献

[1] Marques PM, Camacho R, Martins RC, Seabra JH. Efficiency of a planetary

multiplier gearbox: influence of operating conditions and gear oil formulation.

Tribol Int 2015;92(0):272–80. http://dx.doi.org/10.1016/j.triboint.2015.06.018.

[2] Fernandes CM, Marques PM, Martins RC, Seabra JH. Gearbox power loss. Part I:

losses in rolling bearings. Tribol In

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