前言：整体最小二乘TLS(total least-squares)方法是最近30多年来发展起来的一种能同时顾及观测值误差和模型系数矩阵误差的数学方法。

Golub 等于1980 年导出求整体最小二乘参数理论解的奇异值分解法(SVD)，Schaffrin等提出整体最小二 乘法的递推算法，孔建、鲁铁定等提出整体最小二乘的迭代算法。

然而并不是设计矩阵中的所有元素都有误差，设计矩阵和观测值向量中元素的误差也不相等，因此有必要顾及这种差异，引入加权整体最小二乘( weight total least-squares，WTLS)。

一、加权整体最小二乘的原理 设有观测方程：Lbrvbar;(n,1)=Bbrvbar;(n,t) Xbrvbar;(t,1) dbrvbar;(n,1) (1) 当观测向量L中存在随机误差V；同时系数矩阵或结构矩阵Ｂ也含有随机误差E_B ,假设d=0，此时误差方程为：V-[X #770;^T#8855;I_t ]vec(E_B )-BX #770; L=0 (2) 设观测值的权阵为P_L;误差阵E_B列向量化后vec(E_B )的权阵为P_B；单位权方差为σ_0^2，则V～N(0, σ_0^2 P_L^(-1)),vec(E_B)～N(0, σ_0^2 P_B^(-1)),整体最小二乘估计准则为： V^T P_L V vec(E_B )^T P_B vec(E_B )=min 以式（2）为条件，按Lagrange乘数法求解，构成目标函数为： Φ=V^T P_V V vec(E_B ) Q_B^(-1) vec(E_B )-2K^T (V-[X #770;^T#8855;I_t ]vec(E_B )-BX #770; L) (3) 式中，Kbrvbar;(n,1)是对应于式（２）的联系数向量；为求Φ的极小值，将其分别对Vbrvbar;(n,1)、(vec(E_B))brvbar;(n#215;t,1) 和X #770;brvbar;(t,1)求一阶导数，并令其为零，有 #8706;Φ/#8706;V=2V^T P_L-2K^T (4) #8706;Φ/(#8706;vec(E_B))=2vec〖〖(E〗_B)〗^T Q_B^(-1) 2K^T [X #770;^T#8855;I_t ]=0 (5) 2K^T E_B 2K^T B=0 (6) 由式（４）、（５）分别得： V=Q_L K (7) E_B=-(BX-L)〖(1 X^T X)〗^(-1) X^T (8) 将式（７）、（８）代入式（２），得 K=Q^(-1) (BX #770;-L) (9) 式中， Q=Q_L [X #770;^T#8855;I_t ] Q_B 〖[X #770;^T#8855;I_t]〗^T (10) 将式（９）代入式（６），整理得： X #770;_TLS=〖(B^T Q^(-1) B)〗^(-1) B^T Q^(-1) L-(B^T Q^(-1) B)^(-1) E_B^T Q^(-1) (BX #770;-L) (11) 上式即为未知参数的加权整体最小二乘解。

二、加权整体最小二乘的应用现状 加权整体最小二乘估计方法作为经典最小二乘估计方法的扩展，近20年来被广泛地应用于信号处理、计算机视觉、图像处理、通信工程以及大地测量与摄影测量等测绘相关领域，成为各专业领域进行数据处理的基本方法。

1、加权整体最小二乘在GPS高程拟合中的应用 GPS高程拟合在实际工程中应用很多，如何准确地把大地高H转化为正常高h，一些学者做出了研究，研究表明采用多项式对GPS高程进行拟合的方法是可行的，但考虑到水准测量和GPS大地高测量均带有不同程度的误差，因此引进加权整体最小二乘的方法是更为适用的。

由于整体最小二乘方法建立的模型对方程的两边都进行了最小化约束，因此它比假设系数矩阵无误差的最小二乘方法更加合理，而加权整体最小二乘则是在整体最小二乘的基础上考虑了权值的问题，把对方程影响程度大的因子赋予了较大的权值，因此它又比一般整体最小二乘方法更加合理。

2、基于加权整体最小二乘的多元线性回归分析 多元线性回归是数据处理方法中一种常用方法，已被广泛应用于社会、经济及众多自然科学研究中。

多元线性回归是研究一个变量( 效应量)与多个因子(自变量)之间非确定关系(相关关系)的最基本方法。

在变形监测数据处理中，该方法通过分析观测的变形(效应量)和外因(自变量)之间的相关性来建立荷载-变形之间关系的数学模型。