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增强型锁相环

增强型锁相环（EPLL）通过去除其主要缺点提高标准的锁相环，其主要缺点是双频率误差的存在。EPLL的估计输入信号的幅度和使用在一个手段达到这个任务，新的循环来删除错误。因此，除了去除波纹，EPLL还提供了输入信号的幅度估计也提供了一种输入信号的过滤版本。换句话说，EPLL不仅作为一个锁相环，它的功能是一个滤波器，因此作为一个控制器。这使得它的应用程序的相量测量，也可用于控制回路的直接使用。EPLL无疑是最全面而在电力工程应用背景下提出的最简单的锁相环。它作为一个核心和一个建筑块的许多发展。推导，操作，线性模型，以及有关该EPLL设计指导原则进行了详细本章中介绍。

2.1增强型锁相环的结构

关于EPLL的分块图解如图2.1，它是第一个介绍这种格式与参考文献[34和35]呈现的细微的差异

图2.1增强型锁相环的结构

所述EPLL包括PLL（在图2.1的下部的虚线框内示出），并且还产生一个信号y= Uo的sinphi;o是输入信号u的音响过滤的版本的一个分支。因此，Uo的预估输入信号的峰值和phi;O估计其相位角。频率估计omega;o.1的信号s是在与输入信号相位的统一的正弦信号，并且这代表了一个稳定的同步参考。该信号sperp;是90◦相位延迟版本，因此，该信号yperp;也可以从yperp;= Uo的sperp;计算。三个正定常量mu;1，mu;2，mu;3和控制EPL的性能。总之，尽管它的结构简单，紧凑，如下面列出的EPLL提供多达10个有意义的信号。

1.额定相位角：

2.额定频率：

3.额定频率变化率：

4.额定电压：

5.额定电压变化率：

6.归一化同步信号:

7.归一化正交（90◦相位延迟）信号:

8.估计基本成分:

9.基波分量的额定正交：

10.失真和噪音的总和：

图2.1的框图是根据图1.2的压控振荡器（VCO）的结构。可替代地，图1.2B可以用于推导用于EPL另一个等效结构。这种结构在行动的相量测量应用，因为更好的贴切余弦表示被用来定义一个同步相[10,49]。两种结构之间的唯一差别是在其压控振荡器的定义。不失一般性的任何损失，我们目前的分析和其基于图1.2的VCO的图2.1的结构进行讨论。

2.2去除双频率误差

假设U = UIsinphi;i和y= Uo的sinphi;o。显然，当Uo的= UI和phi;O=phi;I，法术处于稳定局势和误差信号e= U- y是0，如果这稳定（或平衡）的情况是渐近稳定的，那么就意味着这个EPLL接近正确的解决方案。对于U = UIsinphi;i和y= Uo的sinphi;o，误差信号为e= U-Y = UIsinphi;i-Uosinphi;o。相位检测器（PD)（在锁相环乘法器）的输出是等于

假设稳定的情况（即Uo的= UI，phi;O=phi;I）是渐进稳定的，随着系统接近这种稳定局面双频率项接近0。这意味着双频率期间不断被从循环中去除并且因为它们接近其稳态值的频率和相位角估计将不携带双频纹波。在图2.1的顶部乘法器的输出是等于

系统趋于稳定状态,双频趋于0时。不会有双频涟漪在额定峰值Uo。上面的分析得出结论:EPLL不携带任何双频涟漪在回应一个纯正弦信号输入信号。

2.3线性分析

EPLL微分方程可以写通过检查的框图如下图2.1：

使用(2.2)和(2.1),考虑u = Ui sinphi;i,而忽略了双频率而言,下列微分方程得到：

定义了三个新变量Utilde;= Uominus;Ui,omega;tilde;=omega;ominus;omega;i,和phi;tilde;=phi;ominus;phi;i都是小信号变量。线性化(2.4)的结果：

以下的发现是由这个线性分析得出:

振幅额定循环回路的线性解耦阶段/频偏估计。

振幅动力学是一个一阶动力学的时间常数tau;= 2 /mu;1。mu;1 = 200,例如,对应于10 ms的时间常数。

相位和频率动态传统锁相环是一样的。其模式从特征方程得到

图2.2 EPLL(和锁相环)响应的输入信号的频率跳变从50 Hz到 60 Hz。

相角的传递函数由下式给出

选择和得出复合模式假设,例如,omega;r = 100,zeta;= 1,和Ui = 1,然后mu;2 = 20000 mu;3 = 400

图2.2显示了EPLL相同的仿真场景图1.7和图1.9。输入信号频率在t = 0.1 s从50到60赫兹。频率收敛于期望的值在一个短暂的间隔约为50毫秒,并且在稳定状态下没有波纹。相位角误差接近0和双频纹波被除去。误差信号e= U - y和所估计的峰值显示

图2.3 PLL响应的输入信号频率跳变从50Hz到60Hz。

2.4使用梯度法推导EPLL

考虑成本函数

当变量delta;o估计初始相位角输入信号的起始时间。除了作为一个函数变量的三维向量theta;=(Uo,omega;odelta;o),成本函数(2.7)是一个函数的时间变量t。考虑最简单的情况下,输入信号是一个正弦信号ui = ui sinphi;i ，phi;i = 0 tomega;i dtau; delta;i(tau;)。然后,实行成本函数的最小值0在theta;opt点=(Ui、omega;idelta;i)，成本函数方法其作为输出变量的最小值点的方法相应的输入变量。

现在,考虑更一般的情况下,输入信号有N个频率成分

由于输出信号是一个正弦信号,成本函数J永远不变或最小化。然而,如果输出信号同时输入正弦信号与任何人,平均成本函数变得最小”。“换句话说,它可以近似表示,成本函数有N个最低”点。”,每个点实现信号的输出变量与变量时的任何一个组件的输入信号。

梯度(或最陡下降法)[68]可以用来直接输出信号(和输出变量)对比感兴趣的任何组件的输入信号,例如,最基本的组件。这种方法是基于调整输出变量梯度向量的向相反的方向,也就是说,

其中theta;是的参数，mu;的载体是正定矩阵。我们认为一个对角形式的矩阵mu;为mu;=diag{mu;1，mu;2，mu;3}和参数theta;=（UO，omega;0，Delta;O）的矢量。然后，下面的方程得到：

omega;n是输入频率的标称值。实际的EPLL方程(2.3)可以从(2.9)获得通过消除的因素Uo的频率和相位方程。下面的定理给出了一些稳定的性质这两组方程:

定理：2.1输入信号u = Ui sinphi;i,phi;i = 0 tomega;i(tau;)dtau; delta;i,两方程组(2.3)和(2.9)有两个解决方案(或平衡点或极限环)

，

和

两个平衡点是(2.9)的渐近稳定。然而,对于(2.3),P1是一个渐近稳定解,P2是不稳定的

证明为稳定点P1(2.3)已经提出了在2.3节中使用线性分析。类似的方法可以用来证明这个系统不稳定的P2和稳定的点(2.9)。

对于这两个系统的振幅估算方式是等于mu;21。该相位/频率模式从获得系统(2.3)，从获得系统的（2.9）。

提出的线性分析证实了EPLL方程的局部稳定性。基于更完整的非线性分析方法,如平均定理和庞加莱映射定理提出了参考[50]。

2.5拟线性锁相环

2.3节中给出的线性分析表明EPLL的行为取决于输入信号幅度。这是一个缺点在输入信号幅度的情况下经历广泛的变化。一旦为标称值的输入级设计,EPLL反应往往不稳定当大小变得太大时变得迟缓当大小太小了。这是一个传统的锁相环的缺点。EPLL,然而,与传统的锁相环相反,提供了手段,克服这个缺点由于它估计大小。

伪线性EPLL(PL-EPLL)是一个版本的EPLL独立于输入信号的大小。类似于EPLL,PL-EPLL是非线性结构,但它显示了一个性能接近一个线性系统。对PL-EPLL由以下方程组描述：

如上所述在以下定理,PL-EPLL的性能由方程(2.10)的不依赖于输入信号幅度。

定理2.2输入信号u = Ui sinphi;i,phi;i = 0 tomega;i(tau;)dtau; delta;i,所描述的PL-EPLL组方程(2.10)有两个平衡解决方案

和

平衡点渐近稳定和线性化方程组的模式(特征值)是相等的。

这个定理的瞬态响应意味着PL-EPLL并不依赖于输入信号幅度。这个定理可以证明使用轻微改变2.3节的线性分析方法。

在PL-EPLL的框图如图2.4所示。以下言论对此EPLL是必要的：

由于所估计的在PL-EPLL振幅可以是负的,修正应获得实际的估算值。更正声明如下:

图2.4 PL-EPLL结构

在（2.11）中，c代表校正变量和标志（UO）是符号函数，其等于1时Uo为正，等于-1时Uo为负。

函数被定义为但在PL-EPLL中,它以不同的方式可以改进。首先,为了避免被零除,它可以被修改为：

其中，是一个小的正数。它可以在输入信号幅度的标称值的X％设定，例如x= 1或x= 0.5。因而，=0.01xUn，其中Un为对输入信号幅度的标称值。

函数f可以进一步改进EPLL的操作（和继续提供一个同步引用）如果输入信号范围内。等特性是有用的应用程序的锁相环时要求提供一个不同步的同步参考输入信号不是甚至当输入信号范围内不存在。这样的应用程序的一个例子是在不间断电源(UPS)的逆变器产生的参考信号从电网电压[77]。函数f的运作类似于开关断开时输入信号的异常条件。对于f的一个建议是

和最小和最大容许范围的特定应用程序的输入信号幅度

对EPLL理论上可以收敛到一个负频率。这几乎不会发生,除非系统收益(或系统)的初始值选择远远超出了推荐值。无论如何，为了避免这种情形的发生，饱和块的频率积分器的增加，如图2.4。当多台EPLL用于提取不同的谐波，间谐波这样的块是必要的。饱和块的限制是和的范围，和是中心值的上下界。

独立PL-EPLL振幅方程（2.10）给出了第2.5节由直觉认为除以幅度运算消除系统特征值对输入信号幅值的依赖性。那些方程也可以使用一些近似的牛顿的方法。在这种方法中，矩阵mu;作为Hessian矩阵的矩阵[ 69 ]。换句话说，

考虑成本函数（2.7）和参数theta;= [U，delta;] T中的向量，则nabla;J= - [Esinphi;，eUCOSphi;] T，其中，phi;=omega;ot delta;,Hessian矩阵之后会等于

然后，经过一些重排的术语，表达式为

被获得。Hessian矩阵的办法是保证执行比二次成本函数梯度法更好。用于非二次情况下，如式（2.7），改善不被保证。它甚至变成了方程(2.14)不提供理想的瞬态性能，术语分母具有快速瞬变，导致整个系统都不需要的振荡。然而，它被注意到，这个术语可以被简化和近似的恒定值。平方的正弦和余弦项被替换，其平均值等于0.5。此外，项esinphi;被忽略，因为它的平均为0。这种简化导致的修正方程（2.10），在二次方程中除以振幅。

综上所述,由于振幅估计的特点,EPLL也可以被设想为一个过滤器，提供了一种过滤版U在其输出Y这样的滤波器是一种非线性滤波器的输入信号。它可以显示(2.10)的PL-EPLL成为输入-输出线性时不变(LTI)当频率更新方程是禁用的。（即，mu;2= 0）和mu;1 =mu;3。这就是所谓的LTI-EPLL由方程表示

并示于图2.5。下面的定理总结了LTI-EPLL的属性：

定理2.3 考虑(2.15)描述的LTI-EPLL，其中omega;n是常数，e = uminus;y =uminus;Uosinphi;o。这个系统的输入-输出关系可以由下面的线性传递函数描述:

图2.5 LTI-EPLL的结构

证明：定义坐标的变化和然后，差分方程变换到

因此，线性状态空间

适用于本系统。下面的传递函数则认为：

传递函数从U到Y是一个二阶带通滤波器(带通滤波器),单位增益和零相移的中心频率和零增益在零频率。传递函数从U 到Yperp;是一个单位增益的二阶滤波器和-90°中心频率的相移。图2.6显示了框图表示的方程(2.17)。

在数学上是等价的LTI-EPLL二阶带通滤波器。换句话说，是LTI-EPLL提出的二阶带通滤波器的另一种实现。这种认识似乎有一个更复杂的结构与之相比，如图2.6中的。然而，正如将在4章所示，由LTI-EPLL提供的实现具有高鲁棒性的数字实现。此外，它提供的相位角和幅度直接估计。

图2.6 LTI-EPLL的线性模型(mu;2 = 0, mu; = mu;1 = mu;3)

图2.7 LTI-EPLL的结构（替代结构）

备注：LTI-EPLL的方程式可能表示为：

当，e = u minus; y = u minus; Uo sinphi;o = u minus; mu;Vo sinphi;o时，实现这组方程的LTI-EPLL如图2.7所示。

2.8 LTI-EPLL作为谐振控制器

2.7

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