Small-signal AC modeling Technique of Buck Converter with DSP Based Proportional-Integral- Derivative (PID) Controller

Mohammad Faridun Naim Tajuddin School of Electrical Systems Engineering Universiti Malaysia Perlis

Kangar, Malaysia

Nasrudin Abdul Rahim Department of Electrical Engineering

University of Malaya Kuala Lumpur, Malaysia

Abstract—Control applications of switched mode power supplies have been widely explored. The main objective of research and development (Ramp;D) in this field has always been to find the simplest method to analyze and model the DC/DC converter and the most suitable control method to be implemented in various DC/DC converter topologies. This paper presents a simple and systematic approach to the design of a practical Digital Signal Processing (DSP) based Proportional-Integral-Derivative (PID) voltage controller for Buck converters. A simple and easy-to-follow design procedure is demonstrated. Experimental results are presented to illustrate the design procedure.

Keywords—Buck converter; continuous conduction mode;

for buck converter, to bridge the gap between the control principle and circuit implementation. Moreover, the approach is presented in a manner involving only a standard digital PID buck converter model and some simple guided steps and design equations. This allows designer to skip through laborious preliminary derivations when performing the controllerrsquo;s design.

1. THE BASIC MODELLING APPROACH

The inductor current and capacitor voltage of small- signal AC model of the Buck converter are given in (1) and (2).

PID controller

L dŝ(t) = Dv^ (t) d^V

(1)

• 1. INTRODUCTION

One of the challenges in controlling the DC/DC

dt

C dv^(t)

g g

v^_o(t) D (2)

converter is compensation of the converterrsquo;s nonlinear lightly damped dynamics, which is a function of load parameters. Advances in signal processing technology have spurred research in new control techniques to improve converter control.

Traditionally, regulation of the output voltage of DC/DC converters has been achieved through the use of analog control techniques. An analog control system operates in real time and can have a high bandwidth. In addition, the voltage resolution for an analog system is theoretically infinite [1]. However, an analog system is usually composed of discrete hardware that must be modified to change controller gains or algorithms. In addition, the implementation of advanced control

dt = — R_L

The AC output voltage variation v^_o(t) can be expressed as the superposition of the terms arising from those two inputs

v^_o(s) = G_vd(s)d^(s) G_vg(s)v^_g(s) (3)

The first term represents the control to output transfer function while the second term represents the line to output transfer function. The transfers function of G_vd(s) and G_vg(s) can be defined as

algorithms requires an excessive number of components. On the other hand, the complexity of a digital control system is contained mostly in software. Once it is working properly, software is more consistent and reliable than a

and

Gvd

(s) = v^_o(s)

d^(s)

v^ (s)

(4)

complex analog system. Digital processors also have the advantage of being less susceptible to aging and environmental or parameter variations. In addition, the

G_vg(s) = ^o

v^_g(s)

(5)

processor can monitor the system, perform self diagnostics and tests, and communicate status to a display or a host computer [2-3].

This paper provides the introduction of AC small signal analysis and presents the programming algorithm in implementing PID controller using DSP so that engineers may conveniently adopt it. Nevertheless, this paper is still principally focused on introducing a simple approach that is easily applicable in the development of a PID controller

An algebraic approach to drive these transfer functions is by taking the Laplace transform and letting the initial condition be zero. We can find the general transfer function in (6).

The line to output transfer function contains DC gain G_go, while the control to output transfer function has a DC gain G_do. The salient features of the line to output

978-1-4244-4683-4/09/$25.00 copy;2009 IEEE 904

and control to output transfer functions of the basic Buck converter are summarized in Table I.

(1 — s )

1. PID Controller Design Steps

The standard procedure of designing the controller for

the Buck converter is focuses on how to overcome the weak points of the converter such as poor phase margin at

v^_o(s) = [G_do

m_z

(1 s s

2 ] d(s)

high frequency and low DC gain at low frequency. Therefore, at this point and with the aid of (6) and Table

Qmo (mo) )

1

(6)

I, it is possible to design the Buck converter with standard procedure focusing on these weak points and

[G_go

1

s Qm_o

s

(mo)

2] v^_g(s)

improving these parameters by addition of PID control. Our discussion here starts with the assumption that the converterrsquo;s parameters are known and they are given in Table II. These parameters are calculated on the basis that

TABLE I.

SILENT FEATURES OF THE SMALL-SIGNAL CCM TRANSFER FUNCTION FOR DC/DC BUCK CONVERTER [5].

the converter is to be operated in CCM for 20 V to 30 V input supply at 0.5 A to 2 A. The maximum peak to peak ripple voltage is 50 mV.

TABLE II.lt;

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基于DSP的比例-积分-微分（PID）控制器的Buck信号小信号交流建模技术

Mohammad Faridun Naim Tajuddin

电气系统工程学院

马来西亚玻璃市大学
马来西亚的Kangar

Nasrudin Abdul Rahim

电气工程系
马来亚大学

马来西亚吉隆坡

摘要:开关电源的控制应用已得到广泛探索。该领域的研究和开发（R＆D）的主要目标一直是找到最简单的方法来分析和建模DC / DC转换器以及在各种DC/DC转换器拓扑中实现的最合适的控制方法。本文提出了一种简单而系统的方法来设计基于实用数字信号处理（DSP）的比例积分微分（PID）电压控制器，用于降压转换器。演示了一种简单易用的设计过程。实验结果用于说明设计过程。

关键词-降压转换器;连续传导模式;PID控制器

第一节

介绍

控制DC/DC转换器的挑战之一是补偿转换器的非线性轻微阻尼动态，这是负载参数的函数。信号处理技术的进步刺激了新控制技术的研究，以改善转换器控制。

传统上,通过使用模拟控制技术已经实现了DC/DC转换器的输出电压的调节。模拟控制系统实时操作并且可以具有高带宽。此外，模拟系统的电压分辨率理论上是无穷大的[1]。然而，模拟系统通常由离散硬件组成，必须对其进行修改以改变控制器增益或算法。此外，高级控制算法的实现需要过多的组件。另一方面，数字控制系统的复杂性主要包含在软件中。一旦它正常工作，软件比复杂的模拟系统更加一致和可靠。数字处理器还具有不易老化和环境或参数变化的优点。此外，处理器还可以监控系统，执行自诊断和测试，并将状态传达给显示器或主机[2]-[3]。

本文介绍了交流小信号分析，并介绍了利用DSP实现PID控制器的编程算法，以便工程师可以方便地采用。尽管如此，本文仍然主要介绍一种简单的方法，该方法可以很容易地应用于降压转换器的PID控制器的开发，以弥合控制原理和电路实现之间的差距。此外，该方法以仅涉及标准数字PID降压转换器模型和一些简单的引导步骤和设计方程的方式呈现。这允许设计人员在执行控制器设计时跳过费力的初步推导。

第二节
基本建模方法

Buck变换器的小信号AC模型的电感器电流和电容器电压在（1）和（2）中给出。

（1）

（2）

AC输出电压变化 v^_o(t) 可以表示为由这两个输入产生的项的叠加

、

第一项表示控制到输出传递函数，而第二项表示线到输出传递函数。G_vd(s)和G_vg(s)的传递函数可以定义为

（4）

和

(5)

驱动这些传递函数的代数方法是采用拉普拉斯变换并使初始条件为零。 我们可以在（6）中找到一般传递函数。

线路输出传递函数包含DC增益G_go，而控制到输出传递函数具有DC增益G_do。 表I总结了基本降压转换器输出和控制输出传递函数的线路的显着特征。

（6）

表I.用于DC/DC降压转换器的小信号CCM传递函数的静默特征[5]。

降压转换器 静音功能	Gdo	F
	Ggo	D
	mo
	Q (品质因素)

第三节
标准设计程序

本节提出了标准PID降压转换器模块，以及实际实施的逐步设计过程。 提供了一个设计实例用于说明。

A.带PID控制器的标准降压转换器模型

图1显示了基于DSP的PID控制器的建议降压转换器。请注意，在基于DSP的系统中，电压感应，补偿器和脉冲宽度调制器功能仍然存在，但以不同的名称出现。类似于传统方案，v_o的反馈传感网络由分压器电路提供。

图1.带有DSP的PID控制器的降压转换器

1. PID控制器设计步骤
   设计降压转换器控制器的标准程序重点是如何克服转换器的弱点，例如高频下的相位裕度差和低频时的低直流增益。 因此，在这一点上并借助于（6）和表I，可以设计具有标准程序的降压转换器，聚焦于这些弱点并通过增加PID控制来改善这些参数。 我们在这里的讨论首先假设转换器的参数是已知的，它们在表II中给出。 这些参数的计算依据是转换器应在CCM下工作，输入电压为20 V至30 V，电流为0.5 A至2 A.最大峰峰值纹波电压为50 mV。

表二 DC/DC降压转换器的规格

参数名称	符号	标称值/规格
输入电压		30V
		20V
输出电压		12V
输出电容	C	220mu;F
感应器	L	2.12mH
负载电阻		18Omega;
交换频率		20kHZ
功率MOSFET	M	IRF530
功率二极管	D	MUR820

1. 步骤1：通过等同于（6）和表I的系数来计算转换器的直流增益，转角频率和Q因子。

（7）

（8）

（9）

1. 步骤2：将控制代入（5）的输出部分，得到环路增益T(s)的等式。

（10）

1. 步骤3：在（10）中等于s = 0并且使用单位增益补偿器，回路系统的未补偿直流增益为：

（11）

4）步骤4：在Matlabreg;的帮助下，博德图整体未补偿系统如图2所示。整个系统在1.16 kHz的频率下具有2.06度的较差相位裕度。

图2.未补偿环路增益的波特图Tu（s）

5）步骤5：开关电源设计的一般做法是选择交叉频率，fc在功率转换器开关频率的10-20％之间[6]。这里选择交叉频率fc为开关频率的20％。

（12）

1. 步骤6：fc处的增益等于-15.27 dB。为了在fc处获得单位增益，补偿器在fc处的增益应为15.27 dB。该补偿器应改善相位裕度。因此需要PD补偿器。基于开关模式电源的通常做法选择52度（假设）的相位裕度，其中相位裕度m应该在45°和70°左右[6]。引线补偿器将具有以下极点和零：

（13）

（14）

1. 步骤7：在4 kHz下获得15.27 dB的低频补偿增益如下：

（15）

1. 步骤8：为了进一步改善低频调节，引入了倒零（滞后补偿器）的加法。因此建立了PID补偿器，并且为了使积分控制不影响相位裕度，我们选择f L为f c的十分之一。

（16）

1. 步骤9：该引线补偿器将在低于100 Hz的频率下增加增益。根据以前的计算，PID控制将具有以下传递函数（17）,并且具有PID控制的降压转换器的波特图如图3所示。

（17）

可以看出，在2kHz至20kHz的频率范围内，Tc，PID的相位近似等于520。因此，导致交叉频率稍微偏离4kHz的分量值的变化应该对相位裕度几乎没有影响。

图3.补偿环路增益的波特图Tc，PID

1. 数字式PID控制器的实现
   实现数字PID控制器需要将表示模拟（17）中的PID控制器的差分方程转换为数字形式。有许多方法可用于此任务[7]。可以从离散时间传递函数[8]产生以下差分方程。

（18）

在该等式中，是根据第K个样本计算的新占空比，并且是第K个样本的误差。误差计算为= -，其中是第K个样本的转换数字值，Ref是对应于所需输出电压的数字值。等式中的第二项是误差之和，并且-是第K个样本的误差与第个样本的误差之间的差。
公式（18）在TMS320F2812评估模块上实现，该模块产生应用于降压转换器的MOSFET的门控信号。在稳态和启动瞬态期间，使用TDS220示波器测量降压转换器的输出电压。
DSP中完整的实时控制器实现是中断驱动的。 PWM模块在每个开关周期开始时加载占空比的新值。有关占空比的所有计算都在ADC中断服务程序中实现。DSP中的数字PID控制器的实现由图2和3中所示的流程图表示4和5。

打开

程序初始化

1.宏定义

2.中断向量地址声明

3.初始化局部变量

4.配置CPU和系统时钟

5.清除模块错误标志

6.初始化RAM

7.设置数字I/O端口

8.设置中断寄存器

9.启动PWM

10.将ADC设置为连续转换模式

11.启用屏蔽中断

N

中断使能

Y

中断子程序

1.等待ADC转换

2.计算误差值

3.数字PID算法

4.更新工作周期

5.等待下一次中断

图4.在DSP上实现的PID控制器主算法的流程图

中断子程序启动

延迟3微秒

等待ADC转换

e(k) = Vref - ADC(k)

ud(k) = Kd *[ e(k-1) - e(k)]

up(k) = Kp * e(k)

ui(k) = u(k-1) Ki *[e(k-1) e(k)]

u(k) gt; umax

Y

Y

u(k)lt;-umax

u(k) = umax

u(k) = -umax

N

u(k) = up(k) ui(k) ud(k)

Y

u(k) lt; 40%

N

u(k) gt; 60%

u(k) = 40%

u(k) = 60%

工作周期

e(k-1) = e(k) u(k-1) = u(k)

u(k-1) = u(k)

中断屏蔽

返回

图5.在DSP上实现PID控制算法的中断服务程序流程图

IV.SIMULINKreg;仿真模型

Simulinkreg;软件用于验证上一节中的PID控制器。该程序用于模拟电路的稳态和瞬态行为。然后可以使用模拟结果与后来的实验结果进行比较。图6显示了具有PID控制器（闭环）的降压转换器。表I中所示的实验组分值用于模拟。

图6.带PID控制器的DC/DC降压转换器的Simulinkreg;模型

图6（a）Simulinkreg;模型用于带有PID控制器的DC/DC降压转换器的内部结构，如图3所示

图6（b) 用于PID内部结构的Simulinkreg;模型

本节评估使用前一节中描述的过程设计的降压转换器的PID控制器的性能。
A.稳态性能
图7显示了在半负载时输入电压为24V的转换器的输出电压和电流波形。 从图7所示的仿真结果可以看出，带有PID控制器的系统产生所需的输出电压和电流。 这些结果与理论值非常一致。
为了分析PID控制器在稳态条件下的性能，输入电压在20到30V之间变化，以确定是否可以保持所需的12V输出电压。图8显示了稳态在标称负载条件下输入电压为24 V时获得的波形。通道1显示输出电压，通道2显示占空比。可以看出，当输入电压改变时，控制器将占空比调节到新值，从而导致新的稳态

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