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第三章.层合板弹性和强度

大多数复合材料结构是由板和壳组成的。这是由于当它携带膜载荷时，结构是更有效的。另一个重要的原因是厚层合板难以产生。

例如，有一个用做拉伸的均质材料的梁(图3.1)，抗压强度，承受弯矩M。此外，考虑一个实心梁，截面为方形，宽度和深度等于2c，面积为A，惯性矩为I，截面模量S按（公式3.1）给定为：

当梁的表面上的应力达到破坏应力，每单位面积的弯曲力矩

现在考虑尺寸2Ctimes;2C方形空心管(图3.1)，壁厚t，2cgt;gt; T，从而使下面的近似是有效的

图（3.1）a实心管 （b）空心管

在失效时实心管单位面积上m _u是薄壁空心方形管的两倍。当然，失效的时刻是受薄壁的压曲限制（见第4章）。这是复合材料的屈曲分析是非常重要的原因。大多数复合结构下，由于厚度小，材质是在非常强的屈曲约束条件而设计的;因此通常一个物体没有遭受材料失效如在金属结构（例如，屈服应力），但结构失效，例如弯曲。

板是一个特殊的外壳,没有初始曲率。因此，只有壳将在后续中被提及。壳被建模为二维结构，因为两个维度（长度和宽度）比厚度大得多。厚度坐标从方程忽略，使三维问题简化为二维。在这个过程中，厚度变得一个已知参数并提供给该模型。

层合复合材料的建模与传统材料模型不同有三个方面。首先，每个叶片的本构关系是各向异性（第1.12.3）。第二，元件的构方程取决于所使用的壳理论的运动的假设和其实施到单元。最后，当你试图使用模型的对称条件时，材料对称几何和负载对称一样重要。

3.1壳运动

壳元件基于各种外壳的理论，而这又是基于运动的假设。即，有关于可能类型材料变形的一些基本假设。需要这些假设，将三维基本方程减少为二维。这些假设都或多或少适合于各种情况，比如接下来所讨论。

不变形的横截面 变形的横截面

3.1.1一阶剪切变形理论

最流行的复合材料外壳理论是一阶剪切变形理论（FSDT）。它是基于以下假设：

I:一条直线画通过在未变形的壳的厚度可能连续旋转,但绘制当外壳变形，将直接保留。X-z和X-y 与正常的未变形中面它形成的角度（如果有）由phi;_x和phi;_Y表示，分别为（图2.19和3.2）。

Ii:作为外壳变形壳厚度的变化是可以忽略不计。

当下列条件正确时，这些假设是通过实验观察大多数层压壳得以验证的：

--纵横比r= A / T，其定义为最短表面尺寸a和厚度t之间的比例，大于10。

--在壳的刚度进行计算坐标(x,y,z)不会相差超过两个数量级。这种限制有效排除了夹层壳，其中芯比表面软得多。

根据以上的假设，一个通用的B点在外壳的任意位置位移可以在中面C写成位移和转角

在（3.5）的右边的中间变量面是仅有两个坐标（x和y）;因此壳理论是2D的。在左手侧，该位移的有三个坐标，因此是对应于三维材料的代表。在三维水平，我们使用3D本构方程（1.68）和三维应变位移方程（1.5），它现在可以看成2D量，如下：

--中表面应变 也称为膜应变，代表拉伸应力和面内的中面的剪切力。

--曲率k_X，k_Y，k_XY，接近但不完全一样，作为中间面的几何曲率。它们正是为3.1.2节中所讨论基尔霍夫理论。

层间剪切应变 ，是贯穿厚度剪切变形。这些都很小，但对于层合复合材料不可忽视的，因为当与在面内弹性模量E1相比层间剪切模量G₂₃，G₁₃是很小的。金属在受剪切时相对刚性的（G= E /2（1 nu;）），因此层间应变是可以忽略不计。此外，层间剪切强度值F ₄，F ₅，当相比于在面内强度数值F _1t ,F _1c，从而使层间应变（和可能的应力）必然都比较小。另一方面，金属的剪切强度相当于它们的拉伸强度，并且由于层间应力总是比的面内应力较小，没有必要检查均质金属壳层间破坏。这在层合金属壳的情况下并不适用，因为粘合剂是不太强，其可以通过层间剪切失效。

作用的板或壳件上应力结果：（A）每单位长度的力，（B）每单位长度时间，（C）壳理论定义的旋转phi;相比于数学的角度theta;。

虽然三维本构方程描述应变与压力的关系，而层压板本构方程描述的是中面应变和曲率关系。层合板本构方程，通过使用应力结果的定义获得的。而在三维弹性材料的每一点都是在压力下，壳的应力加载如图（图3.3），这是对壳的厚度的应力分量的进行简单的积分，如下：

图（3.4）：坐标系统的定义来定位薄板（Z _k）和的中面薄板（Z _k）之间的接口

其中，N是层数，Z_k1和Z_k为在底部和第k层的顶部表面的坐标分别如图（图3.4）。在每一层壳的局部坐标（1.100-1.101）更换三维本构方程在的平面应力，并使其一体化，我们得到

其中：

其中 是所述的层压体坐标的系数，平面应力刚度矩阵层数k，t_k是k层的厚度， 是第k层的中间表面的坐标。有关各种术语的含义进行了深入的讨论，参见[1]。总之， 系数表示层压体的面内刚度， 系数代表弯曲刚度， 表示弯曲延伸的耦合， 表示层间剪切刚度。所有这些系数可以通过（3.9）计算，并在广泛使用的软件如CA DEC[12]实现。当膜和弯曲变形解耦（例如，对称层板），FSDT的控制方程解决弯曲问题涉及三个变量（W ₀，phi;_x，phi;_y），在解决膜问题涉及两个变量（U₀，V₀）。弯曲延伸耦合意味着所有五个变量将必须同时找到，这就是有限元分析软件代码适合每一种情况，无论问题是否被联系在一起。

板的平衡方程可以通过使用PVW衍生（见（1.16））。此外，控制方程可以通过替换衍生本构方程（3.8）进入平衡方程。

3.1.2基尔霍夫理论

从历史上看，是优选的基尔霍夫理论，因为控制方程可以在只有壳W0的横向偏角一个变量。在信息预处理时期，容易获得解析解的只有一个变量而不是FSDT所需的三个变量。这意味着有价值的设计公式和近似解在工程设计手册都是基于基尔霍夫理论[13]存在的。

这样的简单设计公式仍然可以用于复合壳体的初步设计，如果我们细心，我们理解他们的局限性。金属壳过去和现在通常都以基尔霍夫理论为模型。所述FSDT控制方程可以简化为基尔霍夫控制方程，并可以得到近似解，如图[14]。基尔霍夫理论层间剪切应变被假定为零。从最后两个方程（3.6），我们得到

并将他们代入前三方程（3.6），我们得到

注意，变量phi;_x，phi;_y已经被忽略，只有基尔霍夫理论使用三个变量u_o(x,y), v_o(x,y)和w_o(x,y)。这使得分析解决方案更容易找到，但数字化基尔霍夫理论是更难实现。由于得出应变需要的w_o二阶导数，弱形式（2.30）有W₀的二阶导数。这将要求的插值函数（参见2.1.4节）对C1具有连续性。也就是说，插值函数不仅必须使得位移而且要使其偏微分在原件整个边界连续。换句话说，当从要素共享边界计算时，无论是位移w_o和偏倒part;w_o/part;x, part;w_o/part;y在原件之间的边界上的是相同的。这是很难以实施的。

考虑梁在弯曲的情况下。常施加的分布载荷的微分方程（ODE）

是

弱形式中得到（2.3）

分部积分两次

当元如2.1.6节那样聚集，事实证明，相邻元件i和i 1个共享一个节点具有相同的偏转方向，但是在公共节点有着相反的剪切力Q_x和弯矩的M_x，如下

对于如（2.24）那样取消剪切力，它仅需要满足 ，它是由在公共点上连续性元件符合 所满足的。对于如（2.24）那样取消弯矩，则要求 这在C¹具有连续性时才能进行。即，倒数 必须在公共节点相同。这种元件是难以处理（[15，第276]）。

在FSDT理论，一阶导数在的应变（3.6）中使用。所以，弱势形态（2.30）只有一阶导数，正如（2.24），只有C⁰元件具有连续性，所有公共节点的内部广义力才可。

3.1.3简支边界条件

耦合效应的层合板可能有弯曲，剪切，和膜的形变耦合即使加载的是纯弯曲，纯剪切变形或纯面内荷载（见[1，图6.7]）。虽然简支总是意味着限制横向偏转w(x,y),它不唯一地定义边界条件在面内的位移u_n和us,分别垂直或正切于边界。

在解析解的情况下，习惯上限制u_n和us两者之一。因此，可能存在下面的情况：

在类型SS-1中，法向力和力矩被指定。在SS-2，剪力和力矩被指定。旋转的命名规则和图3.3力矩合力的命名规则是一样的，其中下标（）_n表示的方向垂直于壳的边缘，下标（）s表示的方向相切于壳的边缘（参见[14，图6.2.1]）。注意，该旋转矢量phi;_s是垂直于方向S的，使得phi;sasymp;part;w/part;s;因此，SS-1和SS-2旋转角为零。最后， 表示一个固定的已知值，这可能为零也可能不为零。

几何对称的线性分析层压板受到弯曲不会形成明显的u_n,u_s位移。因此，SS-1和SS-2应该有几乎相同的结果。差异对其他情况下可能是重要的。此外，该条件phi;_S = 0不应该被忽视。例如，当条件phi;_S = 0不包括在使用36 S4R元素[16]的层压板的解决方案中，计算出的中心偏转增加11.5％。

图3.5：（a）微观力学，（二）水平薄板，和（c）水平层压板方法。

3.2层压板的有限元分析

层压复合材料的变形和应力分析，可以在不同的层次来完成如图（图3.5）。对于该材料详细需求的描述，取决于后处理的需要的水平。在这种情况下，有必要描述的微观结构，包括纤维形状和几何分布，以及各成分的材料特性。更多的细节在第6章给出，其中微型机械建模用于产生纤任何维和基体组合的属性。此外，当该复合材料是一种机织物，或层压很厚，或研究的是局部现象，如自由边缘效应，该复合应该被分析为固体，如5章。然而，必须指出的是，大多数层合结构可以用板和壳进行简化见3.1节说明。

在频谱（图3.5.c）的另一端，该复合材料可以被认为是均匀的等效材料。在这种情况下，它的结构性能可以通过使用第1章中所述的正交各向异性性质进行分析。如果将整个层合板做为均质壳来分析，使用微尺度级方法（图3.5.c），在层合板中的应力分布不能被获得。然而，当只需要位移和弯曲负荷和模式，或者是只需要震动平率和模式时，这个非常简单的层压体的描述就足够了。在这些情况下，只需要层合体的刚度（3.8）（见三节3.2.9）。在某些情况下，即使是一个简单的材料描述就足够了。例如，当层合体是单向的，或者如果该层合体是均衡和对称（参见[1，第6.3节]），层合体可以被建模为一个单一正交异性材料的薄片（第3.2.10节）。

在大多数情况下，应力和应变需要在层合体每个薄层来计算的。然后，实际的层合体堆叠序列（LSS）必须输入到程序（第3.2.11）。在这种情况下，必须给定，各薄层的弹性特性，以及每一薄层的厚度和纤维方向。此方法是通常被称为中尺度方法（图3.5.b）。

单向层能令人满意近似为横向各向同性的。然后，它可以使用各向异性材料方程E₃= E₂，G₂₃= E₃/2（1 nu;₂₃）。一个单向薄层的弹性性质可以采用微观力学（第6章）或单向层压体的实验数据进行计算。

一些单向的复合材料的材料性能示于表3.1。

在大多数复合结构的分析,通常是避免微观力学方法和通过实验获得单向板甚至整个层压板的属性。但是，由于在设计过程中的成分或纤维体积分数发生变化使得所有材料的数据无效，并且需要对新材料进行新的实验方案，因此实验方法是不理想的。最好是使用微观力学的薄层来计算弹性性质，使用软件如[12]（参见第6.1节）。不幸的是，微观力学方式是不准确的预测强度，所以的试验工作，不能完全排除。

总之，层合体性能可以通过两种方式来指定：

--由基本矩阵的A，B，D和H

--或通过指定每一薄层层合体堆积顺序（LSS）和属性。

当层合体基本矩阵A，B，D，H的用于限定薄板，壳单件不能在不同的薄层之间进行区分。它只能将广义力、广义力矩和广义应变和曲率联系在一起。另一方面，分层壳单元可以通过使用该层叠堆积顺序（LSS）和层合特质来计算层和板的属性。

3.2.1元素类型和命名约定

壳单元允许建模一个由薄到适当厚度的壳，以10比率下降到边侧厚度。然而他们中的一些有3个或4个节点，其他有8节点，因此要用更高等级的插值函数。壳单元在三维空间中定义时，每个节点具有5或6个自由度（DOF）（沿x、y、z方向的位

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