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近场动力学：一种非局部连续理论

Etienne Emmirich，Richard B.Lehoucq,和Dimitri Puhst

摘要：近场动力学是一种基于不带有空间导数的微积分方程的连续介质力学的非局部理论，可以简单的应用于周围的裂缝。且在位移场不连续发生，在本文中我们对于近场动力学理论的重要分析和数值结果及应用进行了研究。

关键词：近场动力学bull;非局部模型bull;连续介质力学

1. 介绍

描述固体的线弹性行为。

))=(Lu)(x,t) b(x,t), (x,t)

与

(Lu)(x,t):=( (1)

这是由牛顿第二定律：力=质量*加速度公式推导得出的，在公式（1）中代表体密度；等式右端由外力密度b以及内部张力以及宏观力与拉梅系数和构成。变量

U:with and d

是位移场。线弹性模型（1）隐含了一个限定条件，即，若假设变形是二次连续可微的，这会导致我们无法自然的对裂纹破坏进行建模。而这些裂纹和破坏在位移场中又是不连续的，因此，公式（1）在裂纹或裂缝处没有定义。

2000年，Silling[42] 基于变形最小正则性假设提出了近场动力学连续体理论，即使用离散位移场的积分来代替空间微分算子。用于描述固体本体的颗粒之间存在的与可能的非线性相互作用力。得到的不含微分项的非局部近场动力学运动方程，其一般非线性形式为，

))

=(x,u(x,t),u(,t),t)d b(x,t),(x,t) (2)

这个理论由希腊单词peri（近）和dynamis（力）命名， 因为在公式（2）中，每个材料粒子x所受到的力包括该粒子周围所有近邻对x施加的力。积分作用域表示粒子相互作用的空间范围，通常这个范围表示的是半径为的球形区域与的交集。其中，被称为近场范围。在这个作用域范围以外，我们可以得出：

=0. (3)

读者们可以参考Silling和Lehoucq[48] 最近的文章，在他们的论文中，着重研究了近场动力学连续体理论力学方面的问题。其中包括了近场动力学能量平衡与热力学限制条件，这样保证了热力学第二定律的满足。Lehoucq和Sears [34]使用经典统计力学的原理来推导能量守恒定律和动量守恒定律。写这篇文章的目的是希望能够对于重要的分析和数值结果，以及对于非局部连续体理论的应用做出贡献。

我们考虑到之前所做的线弹性材料的长期相互作用对非局部连续体理论的影响，以及对于固体问题和断裂力学问题中的应用研究已经持续了很长一段时间，首先 参考Kroner [32]和Eringen[28]开创性工作，其中引用的参考文献来自于Kunin [33]和Rogula[40]，以及最近的（还有许多未举出）Altan [5,6]，Bazant和Jirasek[9]，Chen等。 [15，16]，Lei等人。 [35]，Pisano和Fuschi[37]，Polizzotto[38，39]，Wang和Dhaliwal[49，50]作出的贡献。与近场动力学理论相比，这些理论都依赖于空间导数。

本文内容安排如下。在第二部分中我们介绍了近场动力学模型。首先，证实了基于键的模型的可行性，该理论的重点在于成对力函数f。其次，我们由线性化成对力函数推导得到线性模型。再然后，我们介绍了由基于键模型推广得到的基于态的近场动力学模型，在第二部分的最后，还介绍了其他非局部弹性模型。

在第三部分中，我们由一项线性基于键模型的数学分析研究推导得出了非线性基于键的模型和基于态的模型。此外，还提出了非局部矢量演算概念，这是描述基于态模型的有效工具。

在第四部分中，我们将近场动力学作为一个多尺度方法研究。首先，我们研究了极限条件下的非局域消失现象，即公式（2）中，当近场作用范围趋向于零时的极限条件。然后，是考虑两种尺度收敛性的复合材料建模。

第五部分使用了求积公式法处理近场动力学的数值近似问题。

最后，第六部分上的应用程序和数值模拟在几个注解中给出。

2近场动力模型

2.1基于键模型

由于基于键模型不存在空间导数，所以一般不需要为偏微积分方程（2）设置边界条件（虽然这取决于积分核函数的奇异行为和函数解析设置）。但我们可以通过在沿边界处的带状区域上约束位移u来设置“边界”条件。因此，公式（2）补充了初始数据：

u(,0)= and u(,0)= (4)

区域内的材料粒子之间的相互作用被称为键。由于键被成对定义，这导致泊松比被限制为=1/4。由于该关系式=2中，拉梅参数 和 和线性基于键的近场动力学理论一致。所以线弹性各向均匀材料可具有在-1和1/2之间的泊松比,虽然我们已经发现了许多泊松比接近1/ 4的材料，例如复合材料，聚合物，砂，玻璃，和铁。

下面，我们将使用记号 u (,t)-

注意，是变形结构的相对位置（参照图1）。假设对于时间没有明确依赖并且仅在位移场的差异上存在依赖的话，成对力函数写为

图.1 基于键模型的记号

结合牛顿第三定律（作用与反作用定律），我们可以推导得出

f(,x,-=- f(x,, (5)

我们可以由由角动量平衡得出结论：成对力函数平行于。

当f(x,, =f (满足于所有 和 时，我们称f为均匀的，此外，如果存在一种所谓的成对势函数w使得f (=w（成立，则这种材料被称为微弹性材料。它是最简单的非线性模型之一，当

f (=s( （6）

同时成立时，则这种非线性模型被认为是比例微弹性材料模型。

s(=表示键的伸长率（bond stretch），键的伸长率是一个键长度的相对改变。我们用 || 表示欧几里得形式。在这种情况下，相关的势函数由下式给出

w(= ）

在这里我们选择了势函数使w(=0。其比例常数为

=，==

体积模量为K=，将动能和弹性能密度定义为

（x,t）=

（x,t）=

然后使l=表示总能量密度与由外力密度b引起的。然后由最小化的函数的变分问题可以推导出公式（2），u。

具体的可以参见Emmrich和Weckner[26]的论文内容。

为了模拟裂纹和模拟破坏，我们允许键断裂开。这是由成对力函数相乘实现的，由公式(6) 给出例子，与函数

得出，键伸长至s0时我们判定键断裂。（参见Silling和Askari [45]以及Parks等人的文献 [36]）。可以注意到产生的成对力函数现在明确依赖于时间t。

2.2线性化

对于微小相对位移的一阶近似证明而言，一般线性假设

f((

与刚度张量（或微型模函数）C=C（在参考配置中表示的力。为了不失去其一般性，我们可以假定否则可合并入等式右侧b，一般来说，刚性张量C是没有定义的，不过，C相对于它的参数和它的张量结构，必须是对称的。使得C()= C()与= C()成立。然后相应的势函数由下式给出w(=C()/2.

鉴于公式（3）我们应要求当||.时C()=0。

刚性张量显然为：C()=（||）

对于线性微弹性材料（见Silling [42]文章），表示二元产物。由于r函数：:与决定了特殊材料模型，并同时取决于维数d和近场动力学范围，线性近场动力学方程（2）现写为

))=（）（x,t） b(x,t), （x,t）

与(|-x|)(-x)(-x)-u(x,t))d

（）(x,t):=

最近Du等人作出的报告[21]也证明了，一维等式（7）可以被写做两个一阶时间精度的非局域平流方程 。需要注意可以在r=0处有一个奇点，这个标准的例子是公式（6）与(r)=(r)的线性化形式。然而，在这个模型中，当r=时，颗粒之间相互作用跳转到零，这种不连续跳转可以通过使

(r)= (r)

有一个合适的恒定比例避免。参见Emmrich和Weckner[25]的文献。这对于依赖求积的数值逼近同样是一个优势。

2.3基于态模型

积分阐述了x上的内力密度是所有向量上作用力的总和。此外，被加向量之间是彼此独立的。如Silling [42, 11]文章中论证的，这是线性各向均匀固体的均匀变形，它有效地将泊松比的值限制在四分之一之内。在此论文中，Silling提出了一个一般规律，并使用

e(),其中

以增强上述积分。

数量是所有键的加权平均值，并且提供了一个可变形的球形空间区域作为x的参考构造中心；数量e为同时包含了所有集体运动方程的空间相关的应变能量项。然后线性算子被证明限制泊松比至四分之一的允许值 (见 Silling 等人的文献. [ 46])。Seleson 等人 [ 41]最近作出的一份报告论证了这种一般化和镶嵌原子势（EAM）的分子动力学势之间的共生关系。

Silling等人在文章. [46]中 介绍了基于物质点状态的近场动力学理论，后续推广至Silling 在文章[ 42, 15]中的方法上，公式（2）的积分被取代

)(x,t)= (8)

推导得运动方程

))=)(x,t) b(x,t),(x,t) (9)

其中，表示每单位体积内力密度通过体内其他点施加在x上的位移函数

应力矢量态[x,t]是在时间t时，x点由键到x点处每单位体积应力密度的映射，并且在超出近场动力范围以外时为零。材料模型由x附近变形和x的受力状态之间的关系决定：

其中Y是变形状态，由键连接到任意材料点x的映射到这些键的变形图像：

[x,t]= (11)

虽然变形或受力状态将载体导入了向量中，但它们比二阶张量更复杂，因为该映射可以是非线性甚至不连续的。本构关系( 10) 解释了共同运动的x的受力状态与关系式f(.A的对比。基于键的应力A通过识别[x,t]= f(恢复，因为有

[x,t]-[,t]

= f(- f(

= f(

最后我们引用了等式（5），这种鉴定揭示了基于键的理论和基于态理论之间的另一个重要区别。也就是说，在基于键理论中，这种相互作用力由键决定，但是在基于态理论中，这种相互作用被拆分成和之间的受力状态。

文献[46] 介绍了一种线性材料基于物质点状态的近场动力学模型，它是基于键线性材料模型的概括。同时Silling [ 44]进一步推广了线性近场动力学基于态的材料模型。其关键概念是模态与二阶张量，

=:

关于受力状态的Freacute;chet导数。当中模态代表了传统线弹性理论四阶张量的近场动力学模拟，并且令我们能使与时间无关的形变状态的受力状态线性化，例如,

)= d (12)

其中是定义为

-( (13)

的位移状态场。

假设体力b能将 分解为与时间无关的外力密度 ，则

-([]d (14)

其中(将线性受力状态公式（12）插入运动方程（9）并且引用关系式（13）和（14）得出了由公式（12）的积分算子计算得出的体力和受力状态的运动等式。

弹性近场动力学材料模型是一个重要的材料模型，定义为(

=((15)

其中，是标量值函数W的Freacute;chet导数，即应变能密度函数。这种弹性材料模型是经典弹性模型的近场动力学模拟

其中 和F分别是Piola–Kirchoff应力张量和形变梯度模态变为=(读者可以参考Silling [44]的文章中材料模型的举例。

2.4弹性理论中的其他非局部模型

第一部分中，我们引用说明了各种非局部弹性模型，现在给出下列两个例子。在文献[22]中, Duruk 等人.研究了一维非线性非局部的柯西问题

)=(g(u(,t))d, (x,t) (16)

补充初始条件：在这里是一个可积的核函数，它的傅里叶变换满足一定的增长条件，g是非线性函数。他们对解的整体存在和条件及解本身进行了研究。对于所谓的双指数核函数，等式（16）等价于高阶布辛涅斯克方程

-

其中，a,b是正常数，这个例子说明，首先，非局部模型目前为止还依赖于空间导数，其次，非局部模型可能与高阶空间导数偏微分方程描述的局部模型有关。

Eringen [28] 和 Polizzotto [38] 提出和发展了Eringen模型。结合运动方程

)=div

应力张量的非局部公式化表述为

=))d

其中包含了由胡克定律得出的的经典应力s 和适宜的的相互作用核函数的整体。

()

与刚性张量S，并给出了线弹性运动非局部等式。

3近场动力模型的数学分析

3.1的线性基于键模型

对于

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