摘 要

近几十年来，随着科学技术的不断进步，智能优化算法在工业，社会，经济，管理等各个范围内得到了普遍的使用，其关键性可想而知。所谓“最优化”就是应用数学的方法，从解决一个问题的各种方案中找出一个最好或者较好的方案来解决这个问题，从而达到为决策者提供科学依据的目的。量子行为粒子群优化算法是一种非常重要的智能优化算法，在很多的领域都有着越来越重要的应用，本文研究的用量子行为粒子群算法解决最小一乘问题就是在数学领域的众多应用之一。本文主要研究工作如下：

1）首先介绍了什么是最小一乘问题，最小一乘问题的背景等。

2）然后介绍了一下量子行为粒子群算法的基本思路和算法的工作流程，并且说明了它与普通粒子群算法有什么基本的区别。

3）最后介绍了量子行为粒子群如何解决最小一乘问题，以及结果的评价标准以及分析。

关键词：最小一乘；量子行为粒子群算法；算法程序；结果分析与评价

Abstract

In recent decades ,with the development of technology,optimization algorithm,in the industry society,economy,management and other fields has been widely used, its importance can be imagined. The so-called optimization is applied mathematics method ,from a variety of solutions to a problem to find a best or better solution to solve this problem ,thus achieve the purpose of provide scientific basis for decision makers.Quantum-behaved particle swarm optimization algorithm as a kind of importance in intelligent optimization algorithm, application in various fields is also very much, this paper studies using quantum-behaved particle swarm algorithm to solve the least absolute deviations problem is one of the many applications in the field of mathematics. In this paper, the main research work is as follows:

1. First introduces what is the least absolute deviations problem and the background of the problem, etc.
2. Then introduces the model and work flow of the quantum-behavior particle swarm optimization,and the basic difference from particle swarm optimization.
3. At last, the quantum-behavior particle swarm optimization is introduced to solve the problem of the least absolute deviations, and the evaluation criterion and analysis of the result.

Key Words: the least absolute deviations problem; quantum-behavior particle swarm optimization; algorithm program; result analysis and evaluation

目 录

第1章 绪论 1

1.1 最小一乘法研究意义 1

1.2 量子行为粒子群算法优良特性及应用 1

1.3 本文的组织结构 2

第2章 最小一乘法 3

2.1 最小一乘法概述 3

2.2 最小一乘与最小二乘差异 4

第3章 量子粒子群算法 6

3.1 粒子群算法 6

3.2 量子力学背景 7

3.3 量子行为粒子群算法的基本模型 7

3.4 量子行为粒子群优化算法 9

3.5 基于量子行为粒子群算法求解最小一乘问题 12

第4章 仿真实验 14

4.1 仿真实验算例 14

4.2 实验结果分析 18

第5章 结论与展望 20

5.1 结论 20

5.2 展望 20

参考文献 21

附录 23

致 谢 29

绪论

1.1 最小一乘法研究意义

在现实问题的解析当中，经常的要探索某一现象与影响它的某一最主要原因之间的关系。对于相似的问题，通常会先设立对应的数学模型，然后对模型中的参数进行估量。比如在中学里，知道两点，要求过这两点的直线方程，只需要将这两个点带入直线方程中，就可以求出它的未知参数，确定出唯一的一条的直线，这就是所谓的“选点法”^[1]。而最经常被使用的用来进行参数估计方式就是最小二乘法，其中一个非常关键的原因就是，当研究的问题呈现出正态分布模型时，最小二乘法表现出了出色的参数估计特性，所以它也随着正态模型被人们大量的使用而发展得日趋成熟和完善。

但是，它也存在一些不可避免的缺点，比如当测量噪声存在于测量数据中的时候，尤其是，当所作的拟合有较大干扰的尖峰，使用最小二乘法进行参数估计，所获得的参数精度并不是特别的高，其中的原因是由于当存在尖峰突出时，其误差平方之后的数值会比平方之前更加的大，想要去减少平方和，就必须迁就这些奇异点，因此残差本身就比较大的数据对参数的影响就更大了，从而使参数估计的精度大大降低。在异常值的方面，经过比较会发现最小一乘法与最小二乘法相比有更好的鲁棒性^[2]。但最小一乘准则的一个主要缺点是，标准函数是不可微的，并没有一个准确的公式来确定最优参数。

1.2 量子行为粒子群算法优良特性及应用

现在，随着计算机科学的不断发展，通过各种优化算法与最小一乘问题的结合，使得最小一乘问题有了求解最优解的可能性^[3-4]。而在众多的一系列寻找其最优解的智能优化算法之中，量子行为粒子群算法有着一个非常重要的地位。在了解量子粒子群算法之前先来了解下什么是粒子群算法。PSO算法这个概念是由美国社会心理学家Kenney和电气工程师Eberhart在1995最先提出的^[5]。粒子群优化算法的优势是在于其本身的算法思路和流程并不复杂，而且它基本也不存在参数方面的调整，很容易被学习和掌握。它的应用范围也非常的广泛，不仅有函数优化、神经网络训练、模糊系统控制等方面的应用，还可以在其他的遗传算法方面有一个大的作用，可以把两种优化算法融合到一起进行算法的优化。回到寻找最小一乘法最优解问题上，PSO可以自动的如鸟群寻找食物一样，自主的进行搜寻，并不断改变其最佳位置，直到找到最优解为止。但是，PSO算法它本身也存在着一定的局限性，由于粒子群算法并不是一个能够进行全局收敛的算法，因此在PSO算法运行的过程中，当它的迭代次数趋近于无穷大的时候，算法其实并不能以概率1收敛于全局最优解。其次由于PSO是基于鸟群行为设计的，因此协同搜索能力不强。为解决以上问题，在2004年提出了在PSO算法基础上，进行改进了的QPSO，即量子粒子群算法^[6]，来寻找最小一乘问题的最优解。以上就是本文介绍的主要内容。

1.3 本文的组织结构

第1章 绪论。主要介绍了在已有最小二乘的背景下，最小一乘法的研究意义，量子行为粒子群算法对比普通粒子群算法的优良特性，以及在各领域的应用。

第2章 最小一乘法。介绍了最小一乘法的研究背景，基本概念，以及最小一乘法与最小二乘法的差异。