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7.1引言

第2-6章专门讨论经典声学问题，即流体介质对位于其边界内或边界上的规定速度源的响应。本书的主要目的是研究振动结构与浸没这些结构的声学流体之间相互作用的问题。为了解决这个问题，我们不仅需要声学背景，还需要形成声学介质边界的结构元素的真空响应。在完全严格的分析中，这些元素将被视为三维弹性连续体，因此能够支持扩张和扭曲（剪切）波运动。但是，出于本书的目的，我们考虑结构配置，其中一个或两个特征尺寸远小于其余尺寸。在这种情况下，做出的假设大大简化了控制边界运动的微分方程;这些方程在本文中称为结构理论，与结构响应的弹性或连续理论不同。

待处理的结构分为两类。 第一组是在变形之前没有明显弯曲的那些。 这些包括杆或梁，其中因变量（例如，偏转和应力es）取决于单个坐标，以及变化超过两个空间坐标的板。 这种结构将成为第7.2-7节的主题。 本章的其余部分涉及最初弯曲的结构，特别是圆柱形和球形壳体。

7.2弹性杆的纵向振动

最简单的结构振动问题被认为是弹性杆的纵向振动，其长度远大于任何横向尺寸。 这种杆的纵向振动本身通常不是声辐射的重要来源，但可以激发可能附着在它们上的板和壳中的弯曲波。 这些弯曲波可以是有效的声音辐射器。 在水下传感器的情况下，压电元件的纵向振动本身用作声辐射源。

考虑一个横截面积为S的细长弹性杆，其定向使得x轴测量沿杆长度的距离。 如果在杆的运动期间，横截面保持平面并且其上的应力是均匀的，则可以通过使用作用在杆的一小部分上的弹性力和惯性力之间的力平衡来获得运动方程。

图7.1长度为Ax的杆的元素，显示施加在其上的合力。

考虑长度为Ax的横截面积和横截面积S的体积元素（见图7.1）。作用在杆左侧的拉力是 ，其中是纵向应力，而作用在元件右手面上的力是， 根据牛顿第二运动定律，作用在元素上的净力由元素的惯性平衡：

其中u（x，t）是体积元素的纵向位移，p 是条材料的体积密度。由于假设条形是完全弹性的，我们可以通过胡克定律将应力与位移u联系起来，

其中E是棒材的杨氏模量。 关于应力-应变和应变-位移关系的一般描述，读者可以参考冯的书。 结合方程（7.1）和（7.2）并用除以得到。

如果假设E和S在条的整个长度上是恒定的，则控制位移u的运动方程具有完全相同的形式

图7.2长度为的杆的元素，其上施加有合力和力矩。

作为控制由等式（2.6）给出的一维声波传播的控制。 在这种情况下，传播速度称为条速度，由下式给出：

为了解决有限长度弹性杆的振动问题，必须规定边界条件。 在固定在一端的杆的情况下，位移必须消失，即= 0，而如果端部是自由的，则应力必须消失，因此，使用等式（7.2），。

7.3弹性杆的弯曲振动

除了纵向运动之外，弹性梁还可以通过横向振动响应，即，在垂直于其纵向轴线的方向上的运动。 考虑具有均匀横截面的直杆，其纵轴沿x轴定向。 在推导出控制这种运动的运动方程时，我们将自己约束于横截面关于穿过中心线的垂直平面对称的梁（见图7.2）。 此外，引起梁运动的载荷作用于该垂直对称平面。

中性表面，即在梁的弯曲期间不经历延伸的表面垂直于垂直对称平面并且穿过横截面的重心。 粒子与该表面的垂直距离应用.t表示，相应的位移分量用w表示。 在基本的Bernoulli-Euler弯曲理论中，最初垂直于中性表面的横截面在变形后保持不变。 使用该假设，纵向位移通过几何关系与相关

然后给出纵向应变。

使用一维Hooke定律，等式（7.2），压力可以用来表示。

在这种情况下，我们看到纵向应在整个截面上线性变化，而在纵向振动的情况下，由公式（7.2）给出的相应应力在整个截面上是均匀的。

现在考虑一个长度为的横梁和横截面积S的元素，其合成力矩M和作用在其上的剪切力F如图7.2所示。 忽略元素的旋转惯性，我们得到力矩平衡关系。

通过分开，元素在垂直方向上的运动方程变为

其中q是每单位长度的力应用方程（7.8）和方程（7.9），我们有

通过使用等式（7.7），得到的力矩M可以与w相关：

其中是截面的惯性矩。 公式（7.10）则变成：

如果我们假设IN，弯曲刚度在整个梁的长度上是恒定的，则等式（7.12a）变为：

公式（7.12b）可用于求出沿梁传播的波的相速度。 为了做到这一点，我们在没有施加力的情况下寻求方程（7.12b）的解，q（x，t）= 0，形如

其中

的式子就是相速度，等式（7.13）就是方程的解。

（7.12）如果k和在条件

下彼此相关。

用下标f表示弯曲，方程（7.15）变化成

从公式（7.14）得到相应的相速度

与压缩波相反，在这种情况下的相速度取决于频率。 相速度的频率或波长依赖性称为色散。 原则上，任意干扰总是被写为正弦波分量的连续叠加，每个正弦波具有不同的波数。 由于相速度的频率依赖性，每个分量以不同的速度行进。 当沿着梁的长度行进时，这导致扰动形状的逐渐增加的变形。

7.4群速度

我们现在可以介绍群速度的概念。 我们假设以下形简谐波的连续叠加，而不是假设公式（7.13）中给出的形式的解。

在这种情况下，表示初始偏转的傅里叶变换。 为了使这成为等式（7.12）的解，必须满足关系式（7.15）。 我们现在寻求一种对大t有效的解决方案。 使用固定相的方法（见5.3节），有效时间长的解可以显示为

其中符号 和-分别是当而是方程

或

中的值。

因此，对于给定的x和t值，对响应的主要贡献来自一组波，其波数接近满足方程（7.20）的k值并因此以一个速度行进。

这就是群速度。 使用等式（7.14），我们可以找到群速度U和相速度V之间的关系：

从式（7.22）可以看出，当没有色散时，即当V与波数k无关时，组和相速度相等。

7.5旋转惯性和横向效应：Timoshenko梁方程

在弯曲波的特定情况下，等式（7.22）产生的群速度恰好是相速度V的两倍，或者就弯曲波长而言

公式（7.23）告诉我们，弯曲扰动的极短波长分量以非常高的速度传播;实际上，当接近零时，群速度变为无穷大。这在物理上是不合理的，并且是运动方程的近似性质的结果，等式（7.12）。因此，除了早先假设横向尺寸在梁长度方面较小的假设之外，我们必须假设横向尺寸在特征波长方面较小。对于不满足该假设的情况，我们可以通过包括旋转惯性和横向剪切的影响来校正方程（7.23）中所示的难度。包含这些效应的运动方程是Timoshenko梁方程。为此，我们引入一个新变量，它是截面的旋转角度;然后由给出截面的角加速度（见图7.3）。方程式（7.8）假设力矩平衡，但如果我们包括旋转惯性的影响，则作用在元件上的力矩之和必须通过元件的转动惯量与其角加速度的乘积来平衡。如此修改后，等式（7.8）在经过分割后变为，

其中是每单位长度的梁的旋转惯性。

通过使用等式（7.24）代替等式（7.8）来包含旋转惯性本身将消除对于无限小波长具有无限相速度的困难。 然而，通过仅包括旋转惯性效应而获得的群速度的有限极限值是条形速度，而三维理论预测极限值是瑞利表面波的极限值。 通过包括横向剪切的影响来消除这种进一步的不足。 如果我们放松了最初垂直于中心表面的平面截面在变形后保持垂直于变形中心表面的条件，则方程（7.5）的推广变为

其中不再等于（见图7.3）

使用等式（7.25），我们看到纵向应变变为:

而我们现在有了

而不是方程（7.11）

等式（7.25）也导致不希望的剪切应变

根据胡克定律得出的剪切应力

剪切模量G与杨氏模量E相关，为E / 2（1 v），其中v为泊松比。 剪切力F是通过在横截面积上积分方程（7.29）得到的：

其中是一个因子（接近于1），是为了说明剪切应力不是真正独立于的事实。使用方程（7.27）和（7.30），我们可以重写方程（7.9）和（7.24）：

我们用取代了. 从等式（7.31）和（7.32）中消除，最终得出的等式，其中包括旋转惯性和横向剪切的影响：

为了使方程（7.33）减小到由方程（7.12b）给出的经典梁方程的方程式，我们必须假设消失并且数量变得越来越大，因此截面剪切力Fin方程 （7.30）即使也是有限的;也就是说，我们忽略了每个梁单元的旋转惯性和剪切变形。

为了找到相速度的表达式，我们再次插入形式为的解，假设，并获得的等式：

其中和。 因为等式（7.34）在中是二次的，所以有两个根。 如果我们考虑两者中的较小者，并采用的极限情况，我们得到等式（7.16），而等式（7.34）的高频极限是:

根据确切的理论，这应该是瑞利波的速度。 因此，如果我们对所考虑的特定材料采用，运动方程式（7.33）预测适当的极限相速度。对于钢，该比率为.0.925。

7.6无限弹性梁的强迫振动

现在让我们使用方程（7 .12b）来得到受到点力的无限梁的弯曲响应。 在不失一般性的情况下，我们可以假设力被应用于原点。 对于谐波时间变化，等式（7.12b）变为：

其中现在表示位移的空间依赖性。 由于波束被假设为无穷大，因此适当的求解方法是通过使用由等式（5.28a）的一维模拟定义的复傅里叶变换来变换方程（7.36）。 然后我们找到,的傅里叶变换：

其中弯曲波数在等式（7.16a）中给出。 通过使用反演公式获得响应。

评估方程（7.38）的最简单方法是在复平面上进行积分。 被积函数在处具有极点，并且可以使用残差理论来评估。 然后我们找到xgt; 0。

当方程（7.39）与时间依赖性相结合时，我们看到响应由两部分组成，一个非传播的近场偏转和一个以相速度

传播的传播波。这与等式（7.16）相同。 如前所述，相位速度的频率依赖性在处理瞬态波传播问题时引起色散，并且当考虑结构振动与环境介质中的声场的耦合时变得极其重要。 使用公式（7.40），可以很容易地得出驱动点阻抗的表达式，定义为力与应用点处的最终速度之比：

如果我们回顾1.3节。 在定义驱动点移动性概念的地方，我们看到对应于无限梁的。

7.7有限弹性梁的振动

为了分析有限梁的强迫响应，我们必须首先研究这种梁的自由振动，通过将强迫函数设置为零来找到，然后寻求随着时间的谐波函数而变化的所得方程的解：

其中是实数并且表示时间变化的频率，其中自由振动尚未确定。在没有外力的情况下，公式（7.12b）变为：

其一般解可以写成。

其中k，在（7.16a）中给出。 现在必须制定通用解，方程（7.44），以满足问题的边界条件。 出于说明的目的，让我们假设梁在其端点x = 0和x = L处简单地受支持。函数必须满足边界条件

方程（7.45a）的第一组边界条件是在边界处偏转为零的事实的陈述，而第二组方程（7.45b）表明在没有施加到梁的力矩的情况下 这四个边界条件导致了方程（7.44）的四个未知常数A，B，C，D中的一组四个线性齐次方程。 对于存在的特解，由系数A，B，C，D形成的行列式必须消失，这导致特征方程。 边界条件要求，而条件要求.这两个方程只有在时才能同时满足。边界条件如果满足以下条件

为了存在一个特解，

对等式（7.48）中的行列式的求值产生特征方程，

当

时方程满足。丢弃的解，因为它导致通解.

将等式（7.50）代入等式（7.46）或等式（7.47），我们发现D必须消失，因此

其中下标n用于表示对于n的每个值，我们具有满足微分方程和特定边界条件的x的不同函数的事实。 这些函数被称为问题的特征函数或特征函数。 此外，使用k的定义和方程（7.50），我们看到自由振动问题只允许某些离散频率的解

这些是系统的自然频率或共振频率。 对于不同的边界条件，固有频率和本征函数是不同的。 利用可用的自由振动问题的解，可以容易地找到由于任何规定的激励引起的响应。 作为一个例子，我们考虑在点处应用的谐波时间变化的集中力，其中。假设形式为的解，其中现在是激励频率，控制的方程是

和方程（7.45）给出的边界条件相同。为了求解方程(7.53）。考虑是从自由振动分析中发现的本征函数的叠加：

其中还不知道。每个本征函数满足边界条件，因此剩下的全部是确定系数。 如果我们将等式（7.54）代入等式（7.53），我们就会发现：

将方程（7.55）的两边乘以，在区间上积分，并利用正交性条件

我们找到了的表达式：

由公式（7.52）给出，响应可写为

其中是梁的总质量。

只要激励频率（J）等于相应的固

资料编号：[3317]