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梁的振动

• 1. 介绍
  2. 控制运动方程
     1. 固体力学的预备
     2. 潜在的能量，动能和工作
     3. 扩展Hamilton原理及运动方程的推导
     4. 一般情况下的梁方程
  3. 自由振荡：固有频率和模态形状
     1. 介绍
     2. 自然频率，模式形状和模式的正交性
     3. 边界条件的影响
     4. 内部位置附着的刚度和惯性元素的影响
     5. 具有内部质量，弹簧和单自由度系统的梁同时连接
     6. 轴力和弹性地基的影响
     7. 锥形梁
  4. 强迫振荡
  5. 摘要

9.1 介绍

在第3章到第8章中，处理了具有有限自由度的系统的振动。如第2.5节所述，具有分布惯性和刚度特性的元件，如梁，用于模拟许多物理系统，如2.5.4节的滑雪板，2.5.5节的工件 - 工具系统，以及第2.5.2节的MEMS加速度计。如前所述，分布参数系统（也称为空间连续系统）具有无限多个自由度。除了梁之外，可以在振动模型中使用的分布式系统包括弦，电缆，经受轴向振动的杆，经受扭转振动的轴，

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膜，板和壳。除了提到的最后三个系统之外，所有其他系统的描述都需要一个空间坐标。控制具有有限自由度的振动系统的运动方程是常微分方程，并且这些方程是初始值问题的形式。相比之下，控制分布参数系统的运动方程是偏微分方程的形式，具有边界条件和初始条件，并且确定分布参数系统的振动响应的解决方案需要使用额外的数学技术。然而，诸如固有频率，模式形状，模式的正交性以及在有限自由度系统的背景下使用的正常模式求解程序的概念同样适用于无限自由度系统。无限自由度系统具有无限数量的固有频率和与这些频率中的每一个处的自由振荡相关联的模式形状。

在本章中，考虑了梁的自由和受迫振动。杆，轴和弦的振动在附录G中处理。如第2.5节的各种示例所示，许多物理系统的振动模型需要使用梁单元。除了这些示例之外，其中梁元件用于模拟物理系统的其他示例包括旋转机械，船体，飞机机翼以及车辆和铁路桥梁的模型。涡轮机中的螺旋桨叶片和直升机的转子叶片通过使用梁元件建模。由于梁的振动特性对于这些不同的系统具有实际重要性，因此本章的重点将放在梁的振动上。

在上面引用的每个应用中，以及在许多其他应用中，通过动态变化的力来对光束起作用。根据这些力的频率含量，力有可能以一个或多个固有频率激励光束。设计工程师的一个常见要求是创建一种弹性结构，该结构对施加的动态载荷的响应最小，从而使大位移振幅，高应力和结构疲劳最小化，并且减少磨损和辐射噪声。

利用弹性梁的力学和Hamilton原理得到了梁的运动控制方程。处理非受迫和无阻尼光束的自由振荡，并检查影响固有频率和模式的各种因素。该检查包括处理中间位置处的惯性元件和弹簧以及梁几何变化。在柔性结构支持具有一个或两个自由度的系统的系统的背景下，也指出了前面章节中使用的模型的局限性。还介绍了使用正常模式方法确定光束的强制响应。

在本章中，我们将展示如何：

• 确定具有恒定横截面的伯努利 - 欧拉梁的固有频率和模态形状，适用于各种边界条件。
• 确定模式形状与给定质量和刚度分布正交的条件。
• 确定具有附加局部刚度和惯性元素的伯努利 - 欧拉梁的固有频率和模态形状。
• 确定变截面伯努利 - 欧拉梁的固有频率和模态形状。
• 确定伯努利 - 欧拉梁对初始位移，初始速度和外部强迫的响应。

9.2 控制运动方程

在本节中，我们将说明如何在任意载荷条件和边界条件下获得经受小横向振动的弹性梁的控制方程。变形配置的梁单元如图9.1所示。x轴沿着梁的跨度延伸，并且y轴和z轴沿着横向方向延伸到x轴。示出了幅度M的结束时刻沿j方向作用，并且假设光束位移被限制在xz平面。位移w（x，t）表示沿梁的位置处的横向位移。

控制运动方程的推导基于扩展的Hamilton原理。为了使用这个原理，首先需要确定系统势能，系统动能以及在系统上完成的工作。为了确定系统动能，将长度Ax的每个元件视为刚体，并且为了确定系统势能，使用梁材料中的应力 - 应变关系。为此，第9.2.1节介绍了固体力学的预备，然后在9.2.2节中获得了动能，势能和功的表达式。

固体力学的预备

在图9.1中，可以看到位于曲率中心的光束面将收缩，而相对面上的光束面将延伸;也就是说，面部AA将被延长，而面部BB将被收缩。通过横梁横截面的质心的线被称为

图9.1

受到末端力矩的梁的变形。

A

A

1. w(x, t) As

–z x

1. 作为o

M B

j

i

k

中心线 B M

（中性轴） R

z A8

中心线。这里，假设沿中心线的纤维经历零轴向应变。因此，该中心线是中性轴。假设梁的变形由伯努利 - 欧拉梁理论1描述，该理论适用于长度与回转半径比大于10的薄弹性梁。根据该理论，假设中性轴保持不变，垂直于中性轴的光束的平面部分保持平面并垂直于变形的中心线，并且诸如BA的横向法线沿法线方向经历零应变。对于位于距中性轴z距离的光纤，如图9.1所示，沿光束长度经历的应变由下式给出：

cent;s - cent;所以 z

P = = —

cent;so R

(9.1)

其中R是曲率半径，Aso是沿中性轴的光纤长度，As是距中性轴距离z的光纤长度，我们用几何来写

cent;s = 1R - z 2cent;u和 cent;so = Rcent;u

(9.2)

根据胡克定律，作用在纤维上的相应轴向应力是

Ez

s = EP = -

R

(9.3)

其中E是材料的杨氏模量。根据图9.11所示的惯例，正位移w在单位矢量k的方向上。因此，中性轴上方的纤维经历正s，其表示张力，并且中性轴下方的纤维经历负s，其表示压缩。

在梁的内部部分，围绕y轴的力矩平衡导致

y 2

M = —J

b

szdzdy = 工程安装

J

R

(9.4)

y1 —a

其中y1和y2是对应于沿y方向积分的空间限制，我们使用了等式。（9.3），和

y2

I = J

y1

b

jz2dzdy

—a

(9.5)

数量I表示光束横截面关于y轴的面积惯性矩，其通过质心。一般来说，方程式中双积分的极限。（9.5）不必是常数;即，a = a（x），b = b（x），y​​1= y1（x），y​​2= y2（x）。在这种情况下，面积惯性矩

1EP Popov，Solids工程力学，Prentice Hall，Upper Saddle River，NJ，第6章（1990）。

沿着长度变化，因此，通常，I = I（x）。曲率k =

1 / R，假设向下凹曲率是正的，是

1

k = =

R

02 w

0x 2

c 1 a

0w 0x b

2 —3/2

d

(9.6)

如果假设斜率很小 - 即0 0w / 0x 0 lt;lt; 1，则其中w/x是位置x处的中性轴的斜率，然后是Eq。（9.6）简化为

1

k = divide;

R

02w

0x2

(9.7)

取代Eq。（9.7）进入Eqs。（9.1）和（9.4），我们得到

P = —z 0 w

2

0x2

m = ei 0 w

2

0x2

(9.8)

因此，应变和弯矩的大小与光束位移的第二空间导数成比例。弯矩与梁位移的第二空间导数成线性比例的说法是伯努利 - 欧拉定律，它是线弹性细梁理论的基础。

通过仅考虑光束末端的力矩的影响来获得等式（9.8）。此外，如果存在横向载荷f（x，t），则在梁内存在抵抗该力的垂直剪切力。在图9.2中，如果关于点o的力矩的总和是沿j方向取的，并且如果忽略梁单元的转动惯量，则结果是

M 1V cent;V 2 cent;x = M cent;M

这导致

cent;M = V cent;V

cent;x

在极限cent;x lt;0时，剪切力增量cent;V lt;0，我们有

林

cent;M = 0M = V

(9.9a)

cent;xlsaquo;0 cent;x 0x

图9.2

f (x, t)

V AV

作为o

o

V

胡

斧头

我 am

受横向载荷影响的梁的变形。

x

j

i

k

M

z

在使用Eq。之后（9.8），结果

V = 0m= 0a EI 0 wb

2

(9.9b)

0x 0x

0x2

因此，剪切力等于沿着弯矩的弯矩的变化

x轴上。因此，如果M（x）沿x是常数，则V = 0。

潜在的能量，动能和工作

我们构建系统势能，系统动能，并确定外力完成的工作，以便在9.2.4节中进一步使用。

潜在能量

变形梁的势能具有来自不同来源的贡献，包括应变能。对于由于弯曲而经受轴向应变的梁，如果应变能是对系统势能的唯一贡献，则梁的势能写为2

L b y2

1

L b y2

1

Ez2

U1t 2 = 2 j j jsPdydzdx = 2 j j j

r2dydzdx

0 —a y1 0 —a y1

L

1 0 2w 2

= 2 J

0

EI a

0x2b dx

(9.10)

在哪里我们使用了Eqs。（9.1），（9.3）和（9.7）。3

动能

假设光束的平移动

资料编号：[3312]