英语原文共 154 页

本章仅限于对薄圆柱壳的研究。不包括初始应力各向异性、变厚度、剪切变形、转动惯量、自由度，非同质性或周围环境的影响。这些复杂的影响将在第三章学习到（因为他们属于圆柱壳的部分）。

尽管如此，剩余材料的组织结构仍然非常复杂。薄壳的标准理论或经典理论由八阶微分方程组控制，如第1章所示，这些微分方程组根据所做的假设采取多种形式。对于某些问题，简化导致四阶非拉伸或拉伸理论的假设是合理的，圆柱壳可开可闭，边缘约束条件可以有多种形式。几个物理参数可以改变，包括：

（1）循环推断波数

（2）厚度/半径比

（3）长度/半径比

（4）泊松比

运动控制微分方程有时被简化为忽略切向惯性，或由于各种正当理由忽略方程中的其他项。控制方程的求解通常是通过几种近似方法中的一种来完成的。最后，实验结果和理论结果经常可供比较。在本章的第一节中，第1章中推导的壳体方程将用圆柱形壳体参数表示，并合成相应的运动方程。本章的其余部分专门用于报告振动结果。首先我们讨论了无限长壳的情况，因为它的数学计算相对简单。

随后给出了有限长封闭圆柱壳和薄圆柱壳的计算结果。到目前为止，大多数可用的结果都是针对封闭壳的，尽管在某些情况下，剂量壳的结果也可以用开放壳来解释。空壳可以是浅的，也可以是深的。尽管有136种“简单”边界条件组合可能用于封闭圆柱壳，但大多数结果仅适用于其中一种情况，即两端都由剪切隔板支撑。两类边界条件并非轴对称，但具有实用价值，目前尚未记录研究结果。他们是：

点支撑。

沿单个边缘不连续的边界条件；例如，边界的一部分可以被夹紧，其余部分可以自由。

此外，当问题的自然圆柱坐标与边界不一致时，对圆形圆柱壳的几乎没有什么影响，因为闭合壳具备非圆边边缘或切口。

2.1运动方程

他使用的壳坐标是X和0，如图2.1所示。此外，长度坐标x替换为无量纲长度s，定义为: s=z/R (2.1) 其中r是圆柱半径。按照第1.7节中概述的程序，利用表li至1.5中的以下参数，合成了圆形圆柱壳的运动方程。

薄圆柱壳的运动方程可以写成矩阵形式

其中j是位移矢量

u、v和w为正交分量在x、theta;和径向的位移，

并且【pound;】是矩阵微分。

2.1.1高阶方程

一般采用不同的八阶方程组来模拟圆柱壳的振动行为。在这种情况下，方程式（2.3）中的_算符可被视为两个算符的和；即：

式中，根据Donnell-Mushtari理论，[pound;mod]是微分算子，[pound;mod]是一个“修正”算子改变了Dorniell-Mushtari算子以产生另一个壳理论，k由下式定义：

因此，圆圆柱壳的八阶壳理论不同于Donnell-Mushtari理论，由一个算符[pound;mod]乘以常数k，这个常数对于小的H/R比非常小。

Donnell Mushtari矩阵基于以下形式：

其中，并且：

与之相似，各种圆柱壳理论的修正算子形式如下。

对于各种壳理论，修正算子在某些情况下是简单的，而在其他情况下则是复杂的。此外，其中一些被认为是非对称的，这导致了壳理论文献中的许多修正（参考文献。2.1和2.2）。非对称运动方程可以产生假想的振动频率。

在某些情况下，由微分算子描述的壳理论是第1章中推导的任意壳理论的特化，而在另一种情况下，是专门为圆柱壳开发的。第章推导了多内尔·穆斯塔里、洛夫·蒂莫申科、戈尔德·维泽·诺沃齐洛夫、弗拉格·卢尔·耶伯恩、赖斯·纳格迪·贝里、桑德斯和弗拉索夫的理论。

阿诺德和沃伯顿（参考文献2.3和2.4）通过使用具有适当应变能的语言方程和动能、能量表达式，推导出了广泛使用的圆柱壳运动方程。尽管他们从Timoshenko应变位移方程开始，但在厚度上进行积分时所做的特殊假设产生了Golden-Vinzer和Novozzhilov方程。显然，文献中已经指出了这种等效性。

Houghton和Johns（参考文献2.5）提出了一套关于静、圆柱壳问题的简化平衡方程，该方程是在Goldenveizer-Novozhilov方程中忽略k而得到的。本程序也由Bijlaard（参考文献2.6）对Timoshenko-Love方程进行。爱泼斯坦（参考文献2.7）通过对厚度坐标z的应力和位移的扩展，从三维弹性理论中导出了壳体理论的一般方程组。这些方程随后由Kennard重新推导并专门化为圆柱形壳体（参考文献2.7）。2.5至2.11）。

Houghton和Johns（参考文献2.5）提出了一套关于静、圆柱壳问题的简化平衡方程，该方程是在Goldenveizer-Novozhilov方程中忽略k而得到的。本程序也由Bijlaard（参考文献2.6）对Timoshenko-Love方程进行。爱泼斯坦（参考文献2.7）通过对厚度坐标z的应力和位移的扩展，从三维弹性理论中导出了壳体理论的一般方程组。这些方程随后由Kennard重新推导并专门化为圆柱形壳体（参考文献2.7）。2.5至2.11）。

将适当的应变位移方程代入方程（1.85）中，并对其厚度进行积分，得到了圆柱壳的应变能。总应变能可写为

式中，id-m是根据Donnell-Mushtari理论的壳体应变能的积分，并由下式给出：

I mod是“修正被积函数”，它根据所使用的壳理论而不同。下面给出了一些适用于壳理论的修正被积函数的例子。

进一步指出，由方程（2.11）和（2）给出的应变能积分。12）与本节前面针对这些理论给出的运动方程一致。一致性要求运动方程可以通过变分程序从能量原理导出。例如，可以引用的一个变分原理是汉密尔顿原理，它可以写成:

也就是说，时间积分在给定的时间范围内的变化与动力学的不同。势能必须消失。壳的动能是:

取代（2.10），方程（2.11），（2.12），和（2.14），可以看出，方程（2.13）可以用以下形式给出：

以及函数u，。hellip;，d 2 w/dtheta;2是s、theta;和t的函数。从变分法中，方程（2.15）满足的条件是欧拉-拉格朗日方程，由下式给出：

其中，例如，df/du表示函数f相对于函数du/ds的偏导数。

利用方程（2.11）和（2.12）给出的各种应变能函数，结合方程（2.16），将得到方程（2.7）和（2.9）确定的运动方程。

应变能积分与方程中的其他理论一致。（2.9）不存在，因为运动方程不对称。

方程式（2.10）中给出的总应变能积函数可写成两部分之和：一部分由于拉伸（薄膜），另一部分由于增加弯曲刚度；即：

Ibending是方程（2.10）被积项的和，其中包含k，取自方程（2.11）和（2.12）。

2.1.2拉伸（薄膜）方程

圆圆柱壳的拉伸或膜理论有着广泛的历史，包括瑞利的早期著作（参考文献）。2.28和2.24）以及爱（参考文献2.25和2.26）。在使用这一理论时，假设壳体的弯曲刚度在每一点都可以忽略不计。因此，可以通过在方程（2.5）和（2.7）中设置k=0得出拉伸运动方程，得出

这个方程组是S和theta;中的四阶微分方程。方程（2.18）中给出的应变能积分与这些方程一致。

2.2无限长外壳

首先考虑具有形式位移的无限长闭合圆柱壳。

其中a、b、c和lambda;为待定常数，n为闭壳的整数，w为自由振动频率，单位为弧度/秒（如果质量密度p以秒为单位表示）。循环频率（cps）由w除以2pi;得到。方程（2.20）中的解形式假定时间和空间变量是可分离的，从而产生执行简单协调运动的正常模式，壳体上所有点的运动周期和相位相同。方程（2.20）中使用的theta;的周期函数保证位移是周期性和连续性的。

将方程（2.20）代入方程（2.1）和（2.3），利用方程（2.7）和（2.9）给出的八阶壳理论的任何形式，可以很容易地看出，运动方程每个项中的微分数目使得每个运动方程允许包含t,s,theta;和的项的因式分解。从每个方程中取出t。运动方程必须满足所有允许独立变化的s、theta;和t值。这导致了一组齐次方程，例如，对于Donnell-Mushtari理论，可以用矩阵形式写入方程（2.21）。对于非无效解，方程（2.21）中系数矩阵的行列式设为零，这会产生以下两个特征值问题之一：

1. 对于给定的x，存在频率参数的一个或多个适当值，从而使行列式消失，或

对于给定的频率w，存在一个或多个合适的lambda;值，使得延迟消失。当然，由于s=lambda;/R，如果x选为pi;R/l，则x方向位移函数的半波长为l，自由振动的频率与给定的波长相对应。

如第2.3节所示，方程式（2.20）中选择的位移函数也完全满足有限长壳体的自由支承或剪切隔膜端条件。因此，无限长的圆形圆柱壳在振型中振动，使x方向的半波长为l，对应于具有特定端部条件集的长度为l的有限壳。

利用平面应变的概念，建立了无限长圆柱壳的一个简单数学模型。必要的假设是壳体长度方向上没有运动，物理量（位移、膜力、弯曲力矩等）不取决于沿长度的位置。因此，平面应变的易受性要求

它将壳体运动的特征从二维变为一维（仅随theta;变化），大大简化了分析过程。例如，在方程（2.22）的假设下，方程（2.1）、（2.3）、（2.7）和（2.9d）给出的Flugge运动方程减小为（2.27至2.29）

方程式（2.23）可通过假设来求解。

将方程（2.24）代入（2.23）得出

对于非无效解，将方程（2.25）中系数矩阵的行列式设为零就得到了根。

如Reismann所示（参考文献2.27和2.28）。n=0时的根Omega;2=0对应于壳体的刚体扭转旋转。

现在考虑方程（2.20）中给出的解函数，当x（和s）方向的波长变为无穷长时。然后解决方案函数可以表示为

以Donnell-Mushtari理论为例，将方程（2.28）代入运动方程，得到一组齐次方程，也可以通过将方程（2.21）中的极限取为l--gt;infin;（即：x-gt;0），即

从方程（2.29）可以看出，运动不耦合，产生纯轴向（或纵向）运动，其特征是频率参数.

而且，由于v和w位移s现在与u不耦合，给定n的其他两个模态与本节前面讨论的平面应变模态相同。在Donnell-Mushtari理论的例子中，从方程（2.29）中找到非耦合二阶行列式的根，给出了

该式可与方程式（2.27）中给出的Flugge运动方程对应的平面应变频率进行比较。

其余理论（方程式（2.9））运动方程中矩阵算符中的非对角项pound;11,pound;12,pound;13和pound;31也为零，或者在每个项中包含关于s（给出lambda;）的导数，因此每个理论的无限长圆柱壳的结构相同。表2.1列出了每种理论的三根Omega;2的频率公式。在推导表2.1中含有k2的项的频率公式时，忽略了这些项。

表2.1——根据各种理论，无限长圆柱壳的频率参数公式

表2.1中分别列出了“Biezeno和Grammel壳理论”。实际上与Flugge的频率方程相同，但它们的频率方程（参考文献2.30）与Flugge的频率方程（参考文献2.31）之间存在细微差异。在他们的工作中，只有包含ksup2;的术语在扩展频率决定条件时被丢弃，而flugge在单位上也忽略了k，因此抛弃了附加的术语。

值得注意的是，表2.1中的圆柱壳膜,Biezono-Grammel和Vlasov公式是在n=1的情况下，在最低径向周向振动模式下产生正确零频率（对应于横向刚体平移）的唯一公式。另一方面，Vlasov、Epstein-kennard和Kennard简化公式对于n=0的扭振模式不产生应产生的零频率。

根据r/h=2（）和500以及n=0,1,2,3,4的各种理论，表2.2和2.3给出了无限大壳体和v=0.3的频率参数。表2.1的公式是表2.2和2.3的基础。只有Epstein-Kennard和Kennard径向和周向频率参数的简化公式Omega;2取决于V。壳体理论之间的显著差异仅存在于某些径向周向模式，通常是那些本质上以径向为主的模式，这些差异随着r/h的增加而减小。

考虑到表2.2显示了理论之间的最大差异，我们观察到：

1. 对于n=0，一个非零频率的存在满足了所有理论之间的一致性。
2. 对于n=1，可以清楚地看到刚体“梁弯曲”模式理论之间的差异。Houghton-Johns方程产生了一个假想频率。
3. 对于n=1，考虑到最高频率，理论分为两组，频率相差约8%。
4. 对于nge;2，除Donnell Mushtari、Flugge、Houghton Johns和最低频率的膜理论外，所有理论都是一致的。

对于无限长圆柱壳的Flugge理论，由于忽略了特征方程中的k对单位的影响而产生的显著差异，显然在以前的文献中没有指出。

从表2.3中可以看出，对于较薄的壳体（r/h^=500），Donnell-Mushtari、Flugge、Houghton-Johns和薄膜方程再次给出了不同的结果。

对于其他理论nge;2的最低频率。Epstein-Kennard理论现在也有很大的不同。

耦合径向周向模式的振幅比b/c是通过将相应的频率代入控制这些模式的齐次方程（例如，等式（2.29）的最后两个方程之一）来确定的。因此，例如，根据Donnell-Mushtari理论的方程式（2.29），振幅比b/c由下式给出：

式中，Omega;sup2;由方程式（2.31）给出。有关各种n的频率顺序和相应振型的讨论，请参见第2.3.2节“有限长长壳体（小lambda;）”。

2.3封闭壳-两端的剪切隔板

考虑满足边界条件的有限长为L的封闭圆柱壳

在物理应用中，这些条件近似于在每端刚性连接一个薄的、扁平的圆形盖板。

这些板在其自身平面上具有相当大的刚度，从

资料编号：[3288]