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用于无线传感器网络中目标跟踪的基于稀疏表达的扩展卡尔曼滤波

Engin Masazade，IEEE成员，Makan Fardad，IEEE成员，Pramod K. Varshney，IEEE研究员

摘要

在本篇文章中，我们研究了基于传感器读数的目标跟踪问题。 我们通过使用扩展卡尔曼滤波器（EKF）来最小化估计误差。获得卡尔曼增益矩阵作为优化问题的解决方案，其中向目标添加稀疏惩罚函数。 所添加的项惩罚卡尔曼增益矩阵的非零列的数量，其对应于有效传感器的数量。 通过使用稀疏卡尔曼增益矩阵，只有少数传感器将其测量值发送到融合中心，从而节省能量。 仿真结果表明，具有稀疏卡尔曼增益矩阵的EKF可以实现非常接近经典EKF的跟踪性能，然而运用经典EKF时，所有传感器都要把数据传输到融合中心。
索引术语： 乘法器的交替方向方法；扩展卡尔曼滤波器；传感器选；，稀疏性提升优化；目标跟踪；无线传感器网络；

第一节：介绍

在本篇文章中，我们研究了无线传感器网络中的目标跟踪问题，其目的是估计发射能量的物体的位置和速度。在这项工作中，我们假设每个传感器测量来自源头的能量，该能量随源头和传感器之间的距离而衰减。融合中心收集传感器测量值并负责最终分析与推断^[1]。在无线传感器网络中，由于通信和能量限制，通常需要在每个跟踪时刻使用有限数量的传感器。在信号处理相关的文献中，存在许多感知选择算法（参见^[2]和参考文献）。通过基于信息的测量选择预期能够获得最多信息的传感器选择策略^[3]，[4]。使得估计误差最小的传感器选择策略在计算上比基于信息的传感器选择方法^[5]更有效，并且还在^[2]，[6]中使用过。由于从网络中的N个传感器里选择k信息传感器是NP难组合问题，因此传感器选举问题在^[2]中使用凸优化来放松和解决。此外，在^[7]中使用压缩感知算法解决了组合传感器选择问题。

扩展卡尔曼滤波器（EKF）首先线性化非线性测量模型，即各向同性信号发射模型，然后获得近似最优卡尔曼增益矩阵，其中误差协方差矩阵的迹是要最小化的目标函数。在本篇文章中，我们希望获得卡尔曼增益矩阵作为优化问题的解决方案，其中将稀疏性惩罚函数添加到目标中。添加的项惩罚卡尔曼增益矩阵的非零列的数量，其对应于有效传感器的数量。然后，通过使用交替方向乘子法（ADMM）^[8]解决了所得数据的优化问题。我们在这项工作中用于寻找最优稀疏卡尔曼滤波器增益的方法与文献^[9],[10]中采用的方法非常相似，考虑使用交替方向乘子法找到最佳稀疏静态反馈增益的问题。文献^{[9],[10],[11],[13]}中的结果证明了稀疏性促进框架的有效性以及ADMM在渲染稀疏矩阵增益中的应用。从某种意义上说，目前的工作可以被认为是对^[9],[10]的一种复制。在^[12]中，ADMM还被用于引导动态系统网络中的最优稀疏选择。

在^{[2],[4],[5],[6],[7]}中所做的关于传感器选择的早期工作假设在每个跟踪时间步里，在WSN中的所有传感器中被选的传感器的数量是固定且已知的。在这项工作中，我们对活动传感器的数量没有特定的要求。相反，所选传感器的数量由参数确定，该参数表征对卡尔曼增益矩阵的列稀疏性的强调。最近在目标跟踪应用^[14]中考虑了稀疏性，在文章中作者考虑了目标可能位于的感兴趣区域（ROI）中的已知位置处的网格点。网格点是要估计的矢量的元素，其中通过考虑目标的各向同性信号发射模型，只有少数网格点非零。然后提出稀疏感知卡尔曼滤波器来估计网格点的值，其中所有传感器将其测量值传输到融合中心。于此不同的是，在这项工作中，我们不假设目标必须位于网格点。此外，我们假设在每个时间步骤只有一部分传感器向融合中心报告。

文章的其余部分安排如下。第二节介绍了目标跟踪和EKF过程的系统模型。在第三节中，我们介绍了稀疏性促进卡尔曼滤波问题。然后，在第四节中，我们提供了数值例子，最后我们在第五节总结了这篇文章。

第二节：系统模型

在这篇报告中，我们要解决的问题是使用一个无限传感器网络（WSN）来跟踪移动目标，其中传感器均匀地部署在一个面积为的方形感兴趣区域（ROI）中。注意，不需要假设统一布局，并且只要预先知道传感器放置位置，基于传感器读数的目标跟踪可以就可以对任意网络布局执行。 我们假设目标（例如，声源或电磁源）在每个离散时刻t从位置发射信号。 所有传感器都将其测量值报告给中央融合中心，该中心估计目标状态， 例如，位置和目标在水平和垂直方向上的速度。

在时刻t，目标动态由4行一列状态向量定义。 目标运动由以下白噪声加速模型定义：

(1)

在上述公式中F是4X4矩阵，其建立了动力学模型，是过程噪声，假定为零均值高斯白噪声，其下面的协方差矩阵也具有4X4的大小：

(2)

在（2）式中，△是传感器连续测量之间的时间间隔，tau;是过程噪声参数。 假设融合中心具有关于目标状态空间模型（1）以及过程噪声统计（2）的精确信息。 在任何给定时间t，让测量向量为，其形式为

(3)

其中表示由传感器背景噪声的累积效应和信号参数的建模误差引起的测量噪声。 假设是零均值高斯白噪声，其具有协方差矩阵，其中是大小为N * N的单位矩阵。 假设目标是声学或电磁源，其遵循由函数h(.)表征的各向同性衰减模型。 如[15]中所述，中的每个元素都是在传感器i处接收的噪声信号幅度，并且被假定为可表示为

(4)

在（4）中，表示信号源的信号功率，n是信号衰减指数。是目标和第i个传感器之间的距离，其中()是第i个传感器的坐标。 不失一般性，n假定为2。

扩展卡尔曼滤波器（EKF）是卡尔曼滤波器的非线性版本，它将非线性测量模型线性化为估计的预测状态^[16]。EKF的两个过程简要总结如下：在预测过程中，是预测状态估计,是预测估计的协方差矩阵。 在状态更新过程中，非线性测量模型首先归一化为，其中▽表示函数x的一阶导数。然后，是创新或测量残差，是创新（或残差）协方差，是大小4 * N的近似最优卡尔曼增益，其最小化了后验估计协方差矩阵的轨迹，最后是更新的状态估计。 注意，如果的特定列是大小为4 * 1的零向量，即，则来自传感器i的创新变为零。 换句话说，传感器i在时间 t时没有被选择。

第三节：基于稀疏表达的卡尔曼过滤问题

在本节中，我们制定了最优的稀疏卡尔曼滤波问题，并使用ADMM来解决这个问题。我们的处理方案与^[9],[10]联系很紧密，在^[9],[10]中，ADMM用于稀疏状态反馈增益的优化。在本篇文章中，我们获得卡尔曼增益矩阵，以此作为优化问题的解决方案，

(5)

在（5）中， 和是一个促进稀疏性的惩罚函数，定义为，

(6)

在上式中是矩阵,||.的第i列，表示2范数，而card（.）表示基数函数i.e，即向量的非零元素的数量。 而表示矩阵的非零列的数量。我们的目标是通过将函数结合到优化问题中来促进卡尔曼增益的稀疏性。标量gamma;gt; 0表示矩阵列的稀疏性的强调。的列稀疏性意味着更少的工作的传感器。 较大的gamma;使得中的非零列较少，而 = 0则表示从EKF中找到的卡尔曼增益=.

由于（5）中给出的问题涉及card（.）函数，因此它是一个组合问题^[17]乘法器的交替方向法（ADMM）结合了双上升的可分解性和乘法器方法的收敛性^[8],[9]。 通过引入新的优化变量，问题（5）可用如下公式重写

（7）

对于（7）中的约束问题，增广拉格朗日可写为，

（8）

在（8）中，矩阵是与约束相关联的双变量或拉格朗日乘数，||.表示Frobenius范数，并且是正常数。 ADMM算法通过迭代求解以下优化问题来找到（8）的最小值

(9)

（ (10)

(11)

直到满足以下两个收敛标准

在上面的等式中，t表示跟踪的时间步长，k表示ADMM迭代。 我们今后将解决问题（9）和（10）分别称为L-最小化步骤和G-最小化步骤。 当被保持固定时，ADMM算法迭代地求解，当被保持固定时求解，然后更新这两个变量。迭代将一直被重复直到实现收敛。 对于非凸优化问题，ADMM算法的收敛性无法被证明。 然而，在实践中已经观察到，当值选择的很大时，ADMM工作良好[9]。 这可以归因于这样的事实：对于很大的，对应于Frobenius范数的项主导增强拉格朗日。，

A.L-最小化步骤

如^[8],[9]所示，（9）中的最小化步骤可以改写为:

(12)

其中。 设使用性质目标函数可以写成，

(13)

后验估计协方差矩阵具有形式:

(14)

取相对于的导数并令其为零，得到最小化问题(12)的最优解

故

(15)

其中I是大小为N*N的单位矩阵。 注意，= 0，产生卡尔曼增益

B.-最小化步骤

对于G-最小化步骤，我们将[9]中的证明推广到列分区矩阵的情况。 与（12）中的最小化步骤类似，（10）中的G-最小化步骤可以被改写为，

(16)

在上述公式中.使用基数函数和Frobenius范数的可分性属性，我们可以重写的表达式：

（17）

在上述公式中是的第i列，而， 是的第i列。 因此，

(18)

注意，对于，产生的最小值为。 否则，令，得到的最小值为。 总之，根据下式使最小化：

（19）

第四节：仿真结果

在本节中，我们将通过仿真结果说明所提出地方法的效用。 我们考虑大小为的ROI，以及均匀部署的N = 36个传感器。 目标发射能量= 1000，并且选择过程噪声参数为。 每个目标的初始点由概率密度函数生成，假设为高斯，且均值，协方差矩阵为。请注意，diag（）函数内的元素位于的主对角线。 然后，很可能保留在ROI中。 观察目标秒。 在我们的模拟过程中，采样间隔△是变化的，并且在时间步长之间估计目标位置。 令MSE（t）为时间步骤t时的均方误差，其在trials上取平均值，并定义为，

（20）

附图一

图1.（a）不同值的跟踪性能，

（b）不同值的列基数，

附图2

图2.（a）在的不同值下的跟踪性能.

（b）在不同的的值下的列基数.

--续正文

在公式（20）中，,是第c次试验的目标位置，在时间步t并且是它们的相关估计。 ADMM参数选择为且。 ADMM迭代初始化为，且从（15）式中找到。 仿真结果表明，在满足停止准则之前所需的ADMM迭代次数大约为10.一般情况下，ADMM对非凸问题的收敛性，例如我们工作中考虑的问题，并不能保证^[8]。 当它收敛时，最终结果可能取决于的选择和的初始值^[8]。

在图1中，我们将ADMM的估计性能与标准EKF进行比较，标准EKF对应于（5）中的，并且所有N个传感器都传输它们的测量值。 而ADMM算法则是根

资料编号：[3122]